5.3: Flujo Uniforme

El flujo uniforme sirve como un buen caso de referencia para pensar en el efecto de la gravedad sobre la superficie libre en un flujo de canal abierto. Solo si un flujo de canal abierto puede ajustarse de alguna manera para que sea estrictamente uniforme, en el sentido de que la superficie del agua sea plana y la profundidad del flujo sea la misma en todas las secciones transversales a lo largo del flujo (Figura\(\PageIndex{1}\)), se puede ignorar el efecto de la gravedad en la conformación del flujo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un flujo uniforme de canal abierto: la profundidad y el perfil de velocidad son los mismos en todas las secciones a lo largo del flujo.

Los flujos en el laboratorio se pueden configurar para que sean casi uniformes, y los flujos al aire libre como los de canales largos a menudo también están cerca de ser uniformes. Pero la uniformidad es una abstracción: los flujos reales nunca son perfectamente uniformes, porque, por muy cerca que se ajusten las condiciones de flujo, siempre hay sutiles efectos de superficie libre que se extienden aguas abajo desde la fuente del flujo y aguas arriba del sumidero para el flujo, o aguas arriba y aguas abajo desde lugares donde cambia la geometría del canal, como presas o muelles de puente.

Un tipo de problema que está asociado con el flujo uniforme es cuál será la pendiente del canal si se especifica o impone al flujo la descarga\(Q\)\(d\), la profundidad del agua y el tamaño\(D\) del sedimento del lecho. Puedes investigar esto construyendo un canal abierto en tu patio trasero, simplemente clavado en madera, como si fueras a buscar oro. Intenta hacer el canal de varios metros de largo y algo así como un metro de ancho, con un fondo plano y paredes laterales verticales planas. Sumerja el extremo aguas abajo del canal en una de esas grandes piscinas sobre el suelo que tantas personas tienen en sus patios en estos días. (Esta es la clave para imponer la profundidad de flujo en el canal aguas arriba: cuanto mayor sea el nivel del agua en la piscina en relación con el lecho sedimentario en el canal, más profundo es el flujo en el canal). Poner una bomba sumergible en la piscina para recircular el agua, y el sedimento transportado también, al extremo aguas arriba del canal en una descarga dada\(Q\). Colocar un lecho lleno de arena en el canal, lo suficientemente grueso como para que el flujo pueda redistribuirlo por erosión y deposición si así lo desea, sin exponer el fondo del canal. Montar el extremo aguas arriba del canal en una tijera o similar, para que puedas variar la pendiente del canal.

Debería parecerle obvio que para una descarga dada, y una pendiente arbitraria del fondo del canal que establece al principio, la profundidad del flujo en el canal variaría de aguas arriba a aguas abajo: en general el flujo en su canal no es uniforme, antes de que el flujo erosione la arena de un extremo del canal y se deposita en el otro extremo en su deseo de establecer un flujo uniforme. Si eso no te parece obvio, imagina que para una descarga dada primero aumentaste la pendiente del canal; eventualmente tendrías una condición en la que el flujo era relativamente poco profundo en el extremo aguas arriba y relativamente profundo en el extremo aguas abajo (Figura\(\PageIndex{2}\) A). Por otro lado, si disminuyes la pendiente del canal para que sea muy suave, eventualmente tendrías una condición en la que el flujo era relativamente profundo en el extremo aguas arriba y relativamente poco profundo en el extremo aguas abajo (Figura\(\PageIndex{2}\) B). En algún lugar entre esas dos condiciones extremas habría una pendiente para la que el flujo era casi uniforme. La pregunta entonces es: ¿qué gobierna cuál es la pendiente para un flujo uniforme?

Figura\(\PageIndex{2}\): A) Un flujo de canal abierto para el cual la pendiente de la superficie del agua es menor que la pendiente del fondo del canal. B) Un flujo de canal abierto para el cual la pendiente de la superficie del agua es mayor que la pendiente del fondo del canal.

La clave de la respuesta radica en la resistencia al flujo, la cual fue abordada extensamente en el Capítulo 4. Pero ahí analizamos la dinámica de la resistencia al flujo después de asumir que el flujo ya había sido ajustado por uniformidad. Ahora nos preguntamos cómo podemos predecir cuál será la pendiente para un flujo uniforme. Este es un problema de ingeniería importante: si tienes que diseñar una cloaca de drenaje o un canal de riego, quieres asegurarte de que el flujo no sea groseramente poco uniforme, o podría terminar desbordando sus bancos ya sea aguas arriba o aguas abajo, y hacerte vulnerable a demandas.

El problema es bastante sencillo. En primer lugar, tienes a tu disposición la ecuación básica de resistencia para el flujo de canal abierto (Ecuación 4.2.1, repetida aquí):

\[\tau_{0}=\gamma d \sin \alpha \label{5.1} \]

También tiene una ecuación empírica para el esfuerzo cortante del lecho\(\tau_{\text{o}}\) en términos de un coeficiente de resistencia, que podría ser el factor de fricción\(f\) o el coeficiente de Chézy\(C\) (Ecuación 4.6.1, repetida aquí en forma ligeramente reordenada):

\[\tau_{0}=\frac{f}{8} \rho U^{2} \label{5.2} \]

También conoces la velocidad media\(U\), porque te has elegido a\(Q\) ti mismo y ya sabes\(d\), así que por la relación\(Q = Ud b\) (donde\(b\) está el ancho conocido del canal) puedes resolver por\(U\). Calcular el número de Reynolds de flujo medio\(\text{Re}\), vaya a un diagrama como el de la Figura 4.7.7 (ese diagrama se encontró para el flujo en una tubería circular, pero se sabe que da resultados bastante buenos para el flujo de canal abierto, siempre que use el radio hidráulico tanto para el flujo del canal como para la tubería flujo) para encontrar\(f\) y así, por Ecuación\ ref {5.2},\(\tau_{\text{o}}\). Entonces, sabiendo\(\tau_{\text{o}}\), puedes usar la Ecuación\ ref {5.1} para encontrar el ángulo de pendiente\(\alpha\). Podrías ajustar la pendiente del canal usando tu gato de tijera, y tendrías que hacerlo si el fondo del canal es rígido en lugar de manto con sedimentos sueltos, pero con el lecho completo de sedimentos, el flujo eventualmente ajusta la pendiente a la condición de flujo uniforme erosionando el sedimento y uno y depositar sedimentos en el otro extremo.

Ahora para otro aspecto de flujo uniforme, uno que es más relevante para los flujos naturales de canal abierto en la superficie de la Tierra. Excavar un canal recto muy largo, que termina al borde de un pozo grande, profundo y abierto en el que el flujo caerá libremente, en un área suave y uniformemente inclinada de la superficie del terreno. Una longitud de muchos kilómetros sería buena. Haga arreglos para pasar una descarga\(Q\) de su elección por el canal. Se puede apreciar fácilmente que si el canal es suficientemente largo el flujo en el canal estará cerca de ser uniforme, aunque puede ayudar al acercamiento a la uniformidad tocando un poco con el flujo en el extremo aguas abajo, instalando una compuerta de compuerta o un vertedero poroso para evitar la disminución en aguas arriba profundidad a medida que el flujo cae fuera del canal. También habrá que estar preparado para alimentar en algún lecho sedimento en el extremo aguas arriba, para reponer lo que se transporta por el canal y fuera del extremo, si el flujo resulta ser lo suficientemente fuerte como para mover parte del sedimento. De lo contrario, estarías modelando el comportamiento a largo plazo de un río real, por lo que el río desgasta gradualmente la superficie terrestre sobre la que fluye, disminuyendo así la pendiente de la tierra a largo plazo.

La gran pregunta ahora es: ¿cuál será la profundidad de flujo uniforme, dada la pendiente y la descarga impuestas? ¿El flujo es rápido y superficial, o es lento y profundo? Tienes las mismas relaciones hidráulicas disponibles que en la situación anterior, pero ahora su aplicación no es tan sencilla. Piensa en lo que sabes y en lo que no sabes. Lo que se da es el ángulo de pendiente\(\alpha\), la descarga\(Q\), el tamaño del sedimento del\(D\) lecho y el ancho del canal\(b\) Las incógnitas son la velocidad media del flujo\(U\), la profundidad del flujo\(d\), el coeficiente de resistencia o factor de fricción\(f\), y la tensión cortante límite \(\tau_{\text{o}}\). Tienes cuatro relaciones disponibles que involucran estos conocimientos e incógnitas:

• \(\tau_{text{o}}=\gamma d \sin \alpha\)(la ecuación de resistencia básica para el flujo de canal uniforme)
• \(Q = Ud b\)(conservación del volumen de flujo)
• \(\tau_{0}=(f / 8) \rho U^{2}\)(la relación entre la velocidad de flujo y el esfuerzo cortante límite)
• \(f = f(\text{Re}, D/d)\)(la dependencia del coeficiente de fricción en la velocidad de flujo, profundidad de flujo y rugosidad del lecho)

Estas son las mismas ecuaciones utilizadas en la situación anterior. La diferencia es que no se puede proceder paso a paso para encontrar la respuesta: hay que lidiar con ellos todos a la vez. El problema está bien planteado (cuatro incógnitas, cuatro ecuaciones), pero no se puede obtener la solución analíticamente, en forma cerrada; es necesario encontrar la solución mediante alguna técnica numérica iterativa. El punto importante aquí, sin embargo, es que existe una solución única: para cualquier combinación dada de pendiente del canal, sedimento del lecho y descarga de agua, hay una cierta profundidad de flujo, velocidad media de flujo y esfuerzo cortante límite. Y tu intuición te dice, correctamente en este caso, que la profundidad de flujo uniforme aumenta con la descarga de agua y también con la rugosidad del lecho: cuanto mayor es la descarga, y cuanto más áspero es el lecho (es decir, más resistencia al flujo), mayor es la profundidad de flujo para un flujo uniforme. También está claro que la profundidad del flujo depende de la pendiente: cuanto mayor sea la pendiente, menor será la profundidad del flujo.