7.3: El número de Rossby y las corrientes de inercia

El número de Rossby

¿Cómo podemos hacernos una idea general sobre si el movimiento de un objeto fluido o sólido sobre o cerca de la superficie de la Tierra manifestaría de manera no despreciable el efecto Coriolis? La respuesta radica en un parámetro adimensional llamado número Rossby. Cualquier movimiento de este tipo, ya sea un flujo de un fluido o el vuelo de una bala o un proyectil de artillería o un cohete, tiene cierta velocidad característica\(U\) y se mueve sobre alguna distancia característica\(L\). Dependiendo de la latitud, existe algún valor particular del parámetro Coriolis, que va desde cero en el Ecuador hasta un máximo en los polos. La idea esencial es esta: ¿cuánto tiempo tarda el material en hacer su viaje, en comparación con cuánto gira la Tierra bajo el material mientras realiza su viaje?

La única manera de combinar las tres variables\(U\) con dimensiones de longitud/tiempo),\(L\) (con dimensiones de longitud) y\(f\) (con dimensiones\(1\) de/longitud) es\(U/fL\), que es una forma de lo que se llama el número de Rossby. Se puede pensar en el número de Rossby como la relación de dos velocidades, porque la combinación\(fL\) tiene las dimensiones de una velocidad. En el caso de la corriente oceánica, moviéndose a unos centímetros por segundo sobre una distancia de, digamos, mil kilómetros, el número de Rossby es muy pequeño; en el caso de una bala a exceso de velocidad, la velocidad es muy grande y la distancia de recorrido no es más que algo así como mil metros, el número de Rossby es muy grande. En otras palabras, la Tierra gira bastante en el tiempo que tarda la corriente oceánica en moverse de un lugar a otro, por lo que el efecto de la rotación de la Tierra sobre el movimiento del fluido es grande. Por el contrario, la Tierra gira muy poco en el tiempo que tarda la bala en viajar desde el fusil hasta el objetivo, por lo que la aceleración de Coriolis es despreciable.

Corrientes de inercia

Mencioné anteriormente que podrías generar una corriente en el interior de la sartén grande en tu plato giratorio y luego estudiar el efecto de la aceleración de Coriolis sobre esa corriente. Si la sartén es lo suficientemente amplia y profunda, la masa de agua que pones en movimiento puede moverse durante bastante tiempo y distancia solo por su propia inercia antes de ser detenida por las fuerzas de fricción ejercidas por el fluido adyacente. Las corrientes de este tipo se llaman corrientes de inercia. En la naturaleza pueden producirse por el paso de una tormenta repentina o una tormenta de viento de rápido movimiento sobre una gran masa de agua.

Considera un pequeño paquete de agua en cualquier parte de tu corriente de inercia. Tu primer pensamiento podría ser que, debido a que no hay fuerzas que actúen sobre ello, se movería en línea recta a velocidad constante y eso sería cierto, si tu tocadiscos no estuviera girando. Pero recuerda que, desde el punto de vista de un observador en el plato giratorio, la rotación del plato giratorio resulta en una aceleración de Coriolis, por lo que hay que lidiar con una fuerza por unidad de masa de fluido igual a\(fv\), la aceleración de Coriolis (\(v\)es la velocidad y\(f\) es el parámetro Coriolis), actuando en ángulo recto con respecto a la dirección del movimiento. Si el plato giratorio gira en sentido antihorario como se ve desde arriba, entonces la fuerza Coriolis actúa a la derecha de la dirección del movimiento. Ese sentido de rotación es el mismo que en el Hemisferio Norte en la Tierra. Si el plato giratorio gira en sentido horario, entonces la fuerza Coriolis actúa a la izquierda de la dirección de movimiento, como en el hemisferio sur.

El enfoque del dinamista al problema de cómo se mueve el agua en la corriente de inercia en función del tiempo es derivar las ecuaciones gobernantes del movimiento, incluyendo las fuerzas de presión, las fuerzas viscosas, las fuerzas de gravedad y las fuerzas de Coriolis, y luego especializar las ecuaciones para el flujo particular, haciendo cualquier simplificaciones juiciosas necesarias para un buen progreso matemático. Aquí no vamos a pasar por tal ejercicio. Para las corrientes de inercia las ecuaciones simplifican muy bien, solo porque estamos asumiendo que la única fuerza con la que tenemos que lidiar es la fuerza Coriolis.

Cuando se escribe en un sistema de\(xyz\) coordenadas con referencia al plano horizontal en algún punto de la Tierra (\(z\)siendo vertical,\(x\) al este y\(y\) al norte), las dos ecuaciones horizontales salen a ser justas

\ begin {array} {l} {\ frac {d u} {d t} =2 v\ omega\ sin\ phi}\\ {\ frac {d v} {d t} =-2 u\ omega\ sin\ phi}\ etiqueta {7.3}\ end {array}

o, usando la notación para el parámetro Coriolis,

\ begin {array} {l} {\ frac {d u} {d t} =f v}\\ {\ frac {d v} {d t} =-f u}\ label {7.4}\ end {array}

donde\(u\) y\(v\) son los\(y\) componentes\(x\) y, respectivamente, de la velocidad del fluido con respecto al plano horizontal definido anteriormente.

No se preocupe por las señales frente a los términos de Coriolis; se producen cuando se derivan\(y\) los componentes\(x\) y de la aceleración de Coriolis para el plano horizontal. Se trata de un conjunto simple de ecuaciones. Su solución, para una condición inicial que\(u = U\) y\(v = 0\) en\(t = 0\), es

\ begin {array} {l} {u=u\ cos ft}\\ {v=-u\ sin f t}\ label {7.5}\ end {array}

Si vuelves a tu almacén de conocimientos matemáticos puedes demostrarte fácilmente que esta solución representa el movimiento alrededor de un círculo a velocidad constante, con el tiempo\(t\) como parámetro. Para un movimiento circular como este, el radio del círculo es justo\(U/f\), y el tiempo que tarda una partícula en recorrer todo el círculo lo es\(2 \pi /f\). A este círculo se le llama círculo de inercia, y al período se le llama período de inercia.

Que el agua en una corriente de inercia en un sistema giratorio se mueva en círculos no me parece intuitivamente obvio (¡al menos a mí no!). Ten en cuenta aquí que la situación con la corriente de inercia no es la misma que con la bola rodante. La corriente de inercia actúa en un cuerpo de agua que se mueve alrededor con el plato giratorio, mientras que la bola rodante se movió en línea recta con relación a las estrellas fijas y no tiene conexión con el plato giratorio en sí.

Al principio pensaste que podrías adivinar que el periodo de inercia es el mismo que el periodo de rotación de la propia plataforma giratoria. ¡Pero te equivocarías! Llamar al periodo de rotación\(T_{r}\), y al periodo de inercia\(T_{I}\). Te dije arriba que

\ begin {alineado} T_ {I} &=2\ pi/f\\ &=2\ pi/2\ omega\ sin\ phi\ end {alineado}

\[=\pi / \omega \sin \phi \label{7.6} \]

Permítanme recordarles que en cualquier movimiento de rotación la relación entre la velocidad angular y el periodo es\(\omega T r=2 \pi\), o\(T_{r}=2 \pi / \omega\), o\(\omega=2 \pi / T r\). Sustituyendo esto en la Ecuación\ ref {7.6},

\[T_{I}=\frac{T_{r}}{2 \sin \phi} \label{7.7} \]

Un resultado interesante, ¿no? El periodo de inercia no es el mismo que el periodo de rotación. Para su tocadiscos, que actúa como un plano horizontal en el Polo Norte, donde está la latitud\(90^{\circ}\), el período de inercia es exactamente la mitad del período de rotación.

Solo para darte una idea de lo grande que sería el círculo de inercia en tu plato giratorio y en la Tierra real, aquí tienes algunos ejemplos simples. Supongamos que su tocadiscos está rotando con un período de\(100\)\(\mathrm{s}\) —lo suficientemente lento como para que no tenga ningún problema para permanecer a bordo, y probablemente tampoco desarrollaría mareo por movimiento. Una corriente de inercia de\(1\)\(\mathrm{cm} / \mathrm{s}\) en tu gran sartén tendría un radio de círculo de inercia de\(8\)\(\mathrm{cm}\), y una corriente de\(10\)\(\mathrm{cm} / \mathrm{s}\) tendría un radio de círculo de inercia de\(80\)\(\mathrm{cm}\). Una corriente de cualquier velocidad tendría un periodo de inercia de\(50\)\(\mathrm{s}\). Así que en realidad sería capaz de observar los círculos de inercia, si la cacerola es lo suficientemente grande y la velocidad actual es lo suficientemente pequeña.

En el Polo Norte el periodo de inercia es\(12\)\(\mathrm{hours}\), y aumenta (¡no linealmente!) con latitud decreciente, yendo al infinito en el Ecuador. En latitud se\(45^{\circ}\) trata\(17.5\)\(\mathrm{hours}\), y en latitud se\(30^{\circ}\) trata\(24\)\(\mathrm{hours}\). En latitud\(45^{\circ}\) el radio del círculo de inercia es aproximadamente\(1\)\(\mathrm{km}\) para una corriente inercial de\(10\)\(\mathrm{cm} / \mathrm{s}\), y aproximadamente\(10\)\(\mathrm{km}\) para una corriente inercial de\(1\)\(\mathrm {m} / \mathrm{s}\).

La figura\(\PageIndex{1}\) muestra la trayectoria de un trazador en una corriente de inercia que se midió durante un periodo de aproximadamente una semana en el Mar Báltico (Gustafson y Kullenberg, 1933). Los periodos de los bucles coinciden muy estrechamente con el periodo de inercia teórica para esa latitud. Hay traslación neta del marcador porque la corriente de inercia se superpuso a una corriente de mayor escala de algún otro tipo. Tenga en cuenta que el tamaño de los círculos de inercia disminuye con el tiempo, presumiblemente porque la corriente se ralentizó debido a la fricción.

Figura\(\PageIndex{1}\): Círculos de inercia en el Mar Báltico. (De Neumann y Pierson, 1966.)