9.3: Equilibrio de fuerzas y análisis dimensional

Podríamos tomar cualquiera de dos enfoques en este punto: hacer un análisis dimensional para desarrollar un marco gráfico para expresar y organizar racionalmente los resultados observacionales, o tratar de desarrollar una solución analítica. Primero voy a esbozar el enfoque analítico clásico, para ver a dónde conduce. Ese enfoque implica asumir que la partícula es pivotada fuera de su posición, alrededor de sus dos puntos de contacto aguas abajo, cuando el momento debido a la fuerza del fluido finalmente se hace mayor que el momento opuesto debido al peso de la partícula. Desafortunadamente, este enfoque analítico resulta ser de poco más ayuda que un simple análisis dimensional, por dos razones: irregularidad de la geometría, y complejidades de la propia fuerza del fluido.

Equilibrio de fuerzas

Las partículas comienzan a moverse sobre el lecho cuando las fuerzas combinadas de elevación y arrastre producidas por el fluido se vuelven lo suficientemente grandes como para contrarrestar la gravedad y las fuerzas de fricción que mantienen la partícula en su lugar. Es imposible definir el equilibrio de fuerzas o momentos que actúan sobre las partículas de manera única para todos los granos: algunas partículas se encuentran en posiciones desde las que se levantan, deslizan o enrollan más fácilmente que otras. Es igualmente imposible definir una sola fuerza de fluido que se aplique a todas las partículas: algunas partículas están más expuestas al flujo y sometidas a mayores fuerzas de fluido que otras partículas, y las fuerzas del fluido en el lecho fluctúan con el tiempo debido a la turbulencia en el flujo.

Comenzaremos considerando una partícula promedio, en una posición promedio sobre el lecho, sometida a una fuerza media del fluido; volveremos más adelante al problema de una definición apropiada de estos promedios. Para simplificar aún más las cosas, supongamos que la fricción evita el deslizamiento de una partícula más allá de otra y que la partícula en movimiento simplemente gira alrededor de un eje normal a la dirección del flujo. La condición para el inicio del movimiento entonces es que los momentos que tienden a girar la partícula aguas abajo están simplemente equilibrados por los momentos (en sentido contrario) que tienden a mantener el grano en su lugar (Figura 9.2.4).

Para determinar exactamente el momento fluido-fuerza, tendríamos que sumar todos los productos de las fuerzas por sus distancias normales desde las líneas de acción hasta el eje de pivote. Podemos simplificar aún más asumiendo que la cama es horizontal y considerando, al principio, solo las fuerzas de arrastre. Entonces es conveniente considerar solo aquellos componentes de la gravedad y las fuerzas de arrastre que actúan de manera normal a la línea que une el pivote al centro de gravedad de la partícula.

El momento total producido por la suma de las fuerzas del cuerpo (como las fuerzas de gravedad que actúan sobre cada elemento de volumen que compone la partícula) es el mismo que la fuerza total multiplicada por la distancia del centro de gravedad desde el pivote. Se puede ver fácilmente que si dividimos la fuerza de gravedad en dos componentes, normales a y paralelos a la línea que une el pivote al centro de gravedad, entonces el momento debido al segundo de estos componentes debe ser igual a cero, porque ese componente tiene una línea de acción que pasa por el propio pivote. Así podemos escribir la condición para el inicio del movimiento como

\[a_{1}\left(F_{G} \sin \alpha\right)=a_{2}(F_{D} \cos \alpha) \label{9.1} \]

El lado izquierdo de la Ecuación\ ref {9.1} es el momento total debido a la gravedad, que tiende a girar el grano aguas arriba alrededor del pivote o a sostenerlo en su lugar contra el momento debido a las fuerzas de arrastre del fluido que tienden a girar la partícula aguas abajo. El lado derecho representa este momento de arrastre de fluido de una manera puramente convencional. El momento de arrastre debe calcularse realmente como la integral de todos los productos de las fuerzas de arrastre que actúan sobre cada elemento de la superficie, multiplicado por la distancia normal de cada una de estas fuerzas desde el pivote. Pero como no conocemos la distribución de las fuerzas de arrastre sobre la superficie de la partícula, no hay manera de que podamos evaluar realmente esa integral, por lo que se representa convencionalmente simplemente como un producto del componente total de arrastre,\(F_{D} \cos \alpha\), que se opone al componente total de la gravedad,\(F_{G} \sin \alpha\), veces una distancia normal\(a_{2}\). El valor de\(a_{2}\) no se puede determinar analíticamente, por lo que en realidad\(a_{2}\) es un “factor de dulce de leche” que se elige para hacer el balance de la ecuación.

La fuerza de gravedad se\(F_{G}\) puede escribir

\[F_{G}=c_{1} D^{3} \gamma^{\prime} \label{9.2} \]

donde\(c_{1}\) es un coeficiente que toma en cuenta la forma de la partícula. La fuerza de arrastre del fluido se\(F_{D}\) puede suponer igual al esfuerzo cortante límite promedio a veces el área del grano, y se puede escribir

\[F_{D}=c_{2} D^{2} \tau_{\mathrm{o}} \label{9.3} \]

donde el coeficiente\(c_{2}\) toma en cuenta no solo la geometría y empaque de los granos (lo que determina el “área del grano”) sino también la variación del coeficiente de arrastre. Por lo tanto, se\(c_{2}\) puede esperar que varíe con el número de Reynolds límite. Sustituyendo Ecuaciones\ ref {9.2} y\ ref {9.3} para\(F_{G}\) y\(F_{D}\) en Ecuación\ ref {9.1} y escribir\(\tau_{\text{o}} = \tau_{c}\) para la condición crítica da

\[a_{1} c_{1} D^{3} \gamma^{\prime} \sin \alpha=a_{2} c_{2} D^{2} \tau_{c} \cos \alpha label{9.4} \]

o, resolviendo\(\tau_{c}\),

\[\tau_{c}=\frac{a_{1} c_{1}}{a_{2} c_{2}} \gamma^{\prime} D \tan \alpha \label{9.5} \]

La ecuación\ ref {9.5} se puede hacer adimensional dividiendo ambos lados por\(\gamma^{\prime} D\):

\[\beta_{c}=\frac{\tau_{c}}{\gamma^{\prime} D}=\frac{a_{1} c_{1}}{a_{2} c_{2}} \tan \alpha \label{9.6}\]

donde\(\beta_{c}\), el valor crítico de una variable adimensional\(\tau_{0} / \gamma^{\prime} D\), llamada parámetro Shields'\(\bf{\beta}\) o Shields', debe esperarse que sea una función de la geometría de grano y el número de Reynolds límite. (El parámetro Shields lleva el nombre de un ingeniero estadounidense que primero puso el estudio del movimiento incipiente sobre una base racional en la década de 1930 mientras trabajaba en un laboratorio de hidráulica en Alemania).

Lo que nos dice la Ecuación\ ref {9.6} es que el parámetro Shields es una función de un término que a su vez depende de diversos efectos, tanto geométricos como dinámicos.
Las cantidades\(a_{1}\),\(c_{1}\), y\(\tan \alpha\) son geométricas, y dependen de la forma del grano y empaque del grano. Las cantidades\(a_{2}\) y en parte también\(c_{2}\) son geométricas, pero también incluyen una dependencia de los detalles del flujo alrededor de los granos y las distribuciones resultantes de las fuerzas de presión y fuerzas viscosas, y por lo tanto son una función del número límite de Reynolds. No podemos avanzar más allá de la Ecuación\ ref {9.6} sin saber más sobre los detalles de esta\(Re_{*}\) dependencia, por no decir nada del problema de tomar en cuenta la forma de las partículas y el empaque.

El análisis anterior no es muy diferente si se considera elevación así como arrastre, ya que debe haber una proporcionalidad entre las dos fuerzas que también depende solo de la geometría del grano y el número de Reynolds límite.

Al derivar la Ecuación\ ref {9.6} se asumió que la pendiente del lecho es despreciablemente pequeña. Si este no es el caso, entonces se muestra fácilmente que\(\sin \alpha\) en la Ecuación\ ref {9.6} se debe reemplazar por\(\sin (\alpha-\phi)\), donde\(\phi\) está el ángulo de pendiente (positivo en la dirección aguas abajo). Entonces, si otras condiciones siguen siendo las mismas, el aumento de la pendiente del lecho disminuye el valor crítico de\(\beta\).

Muchos otros enfoques teóricos del movimiento incipiente, en la misma línea que el anterior pero tomando en consideración otros efectos, como las fuerzas de elevación y la pendiente del lecho, también han aparecido en la literatura. Ninguno nos lleva mucho más lejos que el anterior análisis simplificado.

Análisis Dimensional

La lista de variables que deben describir la condición de movimiento incipiente es bastante sencilla (Figura\(\PageIndex{1}\)):\(\tau_{\text{o}}\),\(D\),\(\rho\),\(\mu\),\(\rho_{s}\), y\(\gamma^{\prime}\). La profundidad de flujo no debe ser importante, porque las partículas se encuentran en la capa interna de una capa límite turbulenta (ver Capítulo 4 de la Parte I), en la que solo la estructura local del flujo gobierna las fuerzas sentidas por las partículas del lecho.

Figura\(\PageIndex{1}\): Variables que caracterizan el umbral de movimiento de las partículas.

Se podría pensar que la densidad del sedimento no\(\rho_{s}\) tiene nada que ver aquí, porque el sedimento no se mueve (por definición). En realidad podría ser importante, sin embargo, porque afecta la escala de tiempo de la respuesta de la partícula a una aceleración repentina del flujo: siendo otras cosas iguales, cuanto más densa es la partícula menos rápidamente se aceleraría en respuesta a un aumento repentino de la fuerza del fluido resultante a un valor grande suficiente para mover la partícula. Y eso es importante para el movimiento incipiente, porque la partícula podría ser sacudida fuera de su posición de reposo por un remolino inusualmente fuerte que pasa, solo para volver a caer a ella y no sufrir desplazamiento permanente.

Dos puntos sobre la lista de variables anterior merecen más comentarios. El primero tiene que ver con la elección de\(\tau_{\text{o}}\) como la variable que caracteriza la fuerza del flujo. Debido a que en el material de capítulos anteriores sobre el flujo alrededor de una esfera la fuerza de arrastre estaba relacionada con una velocidad, podría preguntarse razonablemente por qué no usar una velocidad en lugar de\(\tau_{\text{o}}\). Una respuesta es que, después de todo, lo que está moviendo los granos es básicamente una fuerza que actúa sobre el lecho, por lo que el esfuerzo cortante límite es una elección más lógica que cualquier velocidad. (Podría responder razonablemente que la fuerza en sí es causada por la velocidad local del flujo alrededor de los granos). Otra respuesta es que es difícil especificar exactamente qué velocidad se debe usar. Las velocidades más fáciles de medir (la velocidad media del flujo\(U\) o la velocidad superficial\(U_{s}\)) no están, de manera clara o directa, relacionadas con la velocidad medida cerca del lecho, que es lo que determina la fuerza que tiende a mover los granos. Si tuviéramos que usar la velocidad media tendríamos que añadir otra variable, la profundidad de flujo, porque las mismas velocidades medias pueden dar lugar a diferentes velocidades cercanas al lecho, o esfuerzos cortantes, si la profundidad del flujo es diferente. Para sortear estos problemas siempre ha parecido más natural usar\(\tau_{\text{o}}\) en lugar de una velocidad, pero recuerde que un gráfico o criterio para el movimiento incipiente en términos de\(\tau_{\text{o}}\) (como el famoso diagrama Shields, introducido a continuación) siempre se puede refundir en una forma que involucra velocidad de flujo y flujo profundidad, si es la velocidad lo que más te interesa.

El segundo punto es que al enumerar las variables he elegido combinar la gravedad\(g\) y la densidad del sedimento\(\rho_{s}\) en una sola variable con la densidad del fluido:\(\gamma^{\prime}=g\left(\rho_{s}-\rho\right)\). Esto equivale a suponer que el único efecto importante tanto de la gravedad como de la densidad de partículas es controlar el peso sumergido de la partícula. Suponemos que las ondas de gravedad superficial en el fluido no son importantes, lo que equivale a suponer que el flujo no es lo suficientemente superficial como para que el movimiento del fluido sobre los granos afecte la superficie libre. Esto es claramente una suposición inválida para ríos muy poco profundos, con lecho de grava.

Por lo que se debe esperar tratar con tres variables adimensionales independientes, y por lo tanto poder expresar la condición de movimiento incipiente como superficie en una gráfica tridimensional. Uno de estos puede ser la relación de densidad\(\rho_{S} / \rho\). Los otros dos entonces tienen que involucrar\(\tau_{\text{o}}\),\(D\),\(\mu\), y\(\gamma^{\prime}\). Las variables tradicionales han sido el número límite de Reynolds\(\rho u_{*} D / \mu\) y el parámetro Shields\(\tau_{0} / \gamma^{\prime} D\), ya introducidos anteriormente.

\[\text{threshold} =f\left(\rho, \mu, \gamma, D, \tau_{0}\right) \label{9.7} \]

y, no dimensionalizar,

\[\frac{\tau_{c}}{\gamma^{\prime} D}=f\left(\frac{\rho u_{*} D}{\mu}\right) \label{9.8} \]

donde\(\tau_{c}\) es el valor umbral de la tensión cortante del lecho.

Ya se conoce la importancia hidráulica del límite número de Reynolds: caracteriza la naturaleza o estructura del flujo cerca del lecho. Y recordemos del Capítulo 8 que el parámetro Shields también tiene un significado físico real: multiplicando la parte superior e inferior del parámetro Shields por se\(D^{2}\) puede ver que es proporcional a la relación entre la fuerza del fluido sobre la partícula y el peso de la partícula. El efecto de la relación de densidad aún no\(\rho_{s}/ \rho\) está claro, pero se sabe que no es grande, y de todos modos la mayoría de los problemas de sedimentos involucran sedimentos de densidad de cuarzo en el agua.

Entonces, con solo mirar la estructura dimensional del problema del movimiento incipiente, hemos llegado a la misma conclusión que a partir del análisis fuerza-equilibrio, expresado por la Ecuación\ ref {9.6}, en la sección anterior.