9.12: Derivaciones con predicado de identidad

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Las derivaciones con predicado de identidad requieren reglas de inferencia adicionales.

9.12.1.png

En las reglas anteriores,\(t\),\(t_1\), y\(t_2\) son términos cerrados. La\(\Intro{\eq[][]}\) regla nos permite derivar cualquier declaración de identidad de la forma de\(\eq[t][t]\) plano, a partir de ninguna suposición.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si\(s\) y\(t\) son términos cerrados, entonces\(A(s), \eq[s][t] \Proves A(t)\):

9.12.2.png

Esto puede ser familiar como el “principio de sustituibilidad de las mismas”, o Ley de Leibniz.

Problema\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que\(=\) es tanto simétrico como transitivo, es decir, dar derivaciones de\(\lforall{x}{\lforall{y}{(\eq[x][y] \lif \eq[y][x])}}\) y\(\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{}((\eq[x][y] \land \eq[y][z]) \lif \eq[x][z])}}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Derivamos la sentencia

\[\lforall{x}{\lforall{y}{((A(x) \land A(y)) \lif \eq[x][y])}} \nonumber\]

de la sentencia

\[\lexists{x}{\lforall{y}{(A(y) \lif \eq[y][x])}}\nonumber\]

Desarrollamos la derivación hacia atrás:

9.12.3.png

Ahora tendremos que usar el supuesto principal: al tratarse de una fórmula existencial, utilizamos\(\Elim{\lexists{}{}}\) para derivar la conclusión intermediaria\(\eq[a][b]\).

9.12.4.png

La subderivación en la parte superior derecha se completa utilizando sus supuestos para mostrar eso\(\eq[a][c]\) y\(\eq[b][c]\). Esto requiere dos derivaciones separadas. La derivación para\(\eq[a][c]\) es la siguiente:

9.12.5.png

De\(\eq[a][c]\) y\(\eq[b][c]\) derivamos\(\eq[a][b]\) por\(\Elim{\eq[][]}\).

Problema\(\PageIndex{2}\)

Dar derivaciones de las siguientes fórmulas:

\(\lforall{x}{\lforall{y}{((\eq[x][y] \land A(x)) \lif A(y))}}\)
\(\lexists{x}{A(x)} \land \lforall{y}{\lforall{z}{((A(y) \land A(z)) \lif \eq[y][z])}} \lif \lexists{x}{(A(x) \land \lforall{y}{(A(y) \lif \eq[y][x])})}\)