1.2: Subconjuntos y Conjuntos de Potencia
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A menudo vamos a querer comparar conjuntos. Y un tipo obvio de comparación que uno podría hacer es la siguiente: todo en un conjunto también está en el otro. Esta situación es lo suficientemente importante para que introduzcamos alguna nueva notación.
Definición\(\PageIndex{1}\): Subset
Si cada elemento de un conjunto\(A\) es también un elemento de\(B\), entonces decimos que\(A\) es un subconjunto de\(B\), y escribimos\(A \subseteq B\). Si no\(A\) es un subconjunto de\(B\) escribimos\(A \not\subseteq B\). Si\(A \subseteq B\) pero\(A \neq B\), escribimos\(A \subsetneq B\) y decimos que\(A\) es un subconjunto propio de\(B\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo, y\(\emptyset\) es un subconjunto de cada conjunto. El conjunto de números pares es un subconjunto del conjunto de números naturales. También,\(\{ a, b \} \subseteq \{ a, b, c \}\). Pero no\(\{ a, b, e \}\) es un subconjunto de\(\{ a, b, c \}\).
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
El número\(2\) es un elemento del conjunto de enteros, mientras que el conjunto de números pares es un subconjunto del conjunto de enteros. Sin embargo, un conjunto puede suceder que sea tanto un elemento como un subconjunto de algún otro conjunto, por ejemplo,\(\{0\} \in \{0, \{0\}\}\) y también\(\{0\} \subseteq \{0, \{0\}\}\).
La extensionalidad da un criterio de identidad para los conjuntos:\(A = B\) iff cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\) y viceversa. La definición de “subconjunto” define\(A \subseteq B\) precisamente como la primera mitad de este criterio: cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\). Por supuesto la definición también se aplica si cambiamos\(A\) y\(B\): es decir,\(B \subseteq A\) iff cada elemento de también\(B\) es un elemento de\(A\). Y esa, a su vez, es exactamente la parte “viceversa” de la extensionalidad. En otras palabras, la extensionalidad implica que los conjuntos son iguales si son subconjuntos entre sí.
Proposición\(\PageIndex{1}\)
\(A = B\)iff tanto\(A \subseteq B\) como\(B \subseteq A\).
Ahora también es una buena oportunidad para introducir algunos bits adicionales de notación útil. Al definir cuándo\(A\) es un subconjunto de\(B\) dijimos que “cada elemento de\(A\) es...”, y llenó el “\(\dots\)” con “un elemento de\(B\)”. Pero esta es una forma de expresión tan común que será útil introducir alguna notación formal para ello.
Definición\(\PageIndex{2}\)
\((\forall x \in A)\phi\)abrevia\(\forall x(x \in A \rightarrow \phi)\). De igual manera,\((\exists x \in A)\phi\) se abrevia\(\exists x(x \in A \land \phi)\).
Usando esta notación, podemos decir que\(A \subseteq B\) iff\((\forall x \in A)x \in B\).
Ahora pasamos a considerar un cierto tipo de conjunto: el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.
Definición\(\PageIndex{3}\): Power Set
El conjunto que consiste en todos los subconjuntos de un conjunto\(A\) se llama el conjunto de potencia de\(A\), escrito\(\Pow{A}\). \[\Pow{A} = \Setabs{B}{B \subseteq A}\nonumber\]
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
¿Cuáles son todos los subconjuntos posibles de\(\{ a, b, c \}\)? Ellos son:\(\emptyset\),\(\{a \}\),\(\{b\}\),\(\{c\}\),\(\{a, b\}\),\(\{a, c\}\),\(\{b, c\}\),\(\{a, b, c\}\). El conjunto de todos estos subconjuntos es\(\Pow{\{a,b,c\}}\):\[\Pow{\{ a, b, c \}} = \{\emptyset, \{a \}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\nonumber\]
Problema\(\PageIndex{1}\)
Enumere todos los subconjuntos de\(\{a, b, c, d\}\).
Problema\(\PageIndex{2}\)
Mostrar que si\(A\) tiene\(n\) elementos, entonces\(\Pow{A}\) tiene\(2^n\) elementos.