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Un conjunto es una colección de objetos, considerados como un solo objeto. Los objetos que componen el conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Si$$x$$ es un elemento de un conjunto$$a$$, escribimos$$x \in a$$; si no, escribimos$$x \notin a$$. El conjunto que no tiene elemento s se llama el conjunto vacío y se denota “$$\emptyset$$”.

No importa cómo especifiquemos el conjunto, ni cómo ordenemos su elemento s, o de hecho cuántas veces contamos sus elementos s. Todo lo que importa es lo que son sus elementos. Esto lo codificamos en el siguiente principio.

Definición$$\PageIndex{1}$$: Extensionality

Si$$A$$ y$$B$$ son conjuntos, entonces$$A = B$$ iff cada elemento de$$A$$ es también un elemento de$$B$$, y viceversa.

Extensionalidad licencia alguna notación. En general, cuando tenemos algunos objetos$$a_{1}$$,...$$a_{n}$$, entonces$$\{a_{1}, \dots, a_{n}\}$$ es el conjunto cuyo elemento s son$$a_1, \ldots, a_n$$. Hacemos énfasis en la palabra “el”, ya que la extensionalidad nos dice que sólo puede haber uno de esos conjuntos. En efecto, la extensibilidad también otorga licencias a lo siguiente:

$\{a, a, b\} = \{a, b\} = \{b,a\}.\nonumber$

Esto entrega en el punto de que, cuando consideramos conjuntos, no nos importa el orden de sus elementos, ni cuántas veces se especifican.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Siempre que tengas un montón de objetos, puedes recogerlos juntos en un conjunto. El conjunto de hermanos de Richard, por ejemplo, es un conjunto que contiene a una persona, y podríamos escribirlo como$$S=\{\textrm{Ruth}\}$$. El conjunto de enteros positivos menor que$$4$$ es$$\{1, 2, 3\}$$, pero también se puede escribir como$$\{3, 2, 1\}$$ o incluso como$$\{1, 2, 1, 2, 3\}$$. Estos son todos el mismo conjunto, por extensionalidad. Por cada elemento de$$\{1, 2, 3\}$$ es también un elemento de$$\{3, 2, 1\}$$ (y de$$\{1, 2, 1, 2, 3\}$$), y viceversa.

Frecuentemente vamos a especificar un conjunto por alguna propiedad que su elemento s comparten. Usaremos la siguiente notación taquigráfica para eso:$$\{x : \phi(x)\}$$, donde el$$\phi(x)$$ representa la propiedad que$$x$$ tiene que tener para ser contada entre los elementos s del conjunto.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

En nuestro ejemplo, podríamos haber especificado$$S$$ también como

$S = \{x : x \text{ is a sibling of Richard}\}.\nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Un número se llama perfecto iff es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, números que lo dividen uniformemente pero no son idénticos al número). Por ejemplo,$$6$$ es perfecto porque sus divisores adecuados son$$1$$,$$2$$, y$$3$$, y$$6 = 1 + 2 + 3$$. De hecho,$$6$$ es el único entero positivo menor que$$10$$ eso es perfecto. Entonces, usando la extensionalidad, podemos decir:

$\{6\} = \{x : x\text{ is perfect and }0 \leq x \leq 10\}\nonumber$

Leemos la notación de la derecha como “el conjunto de$$x$$'s tal que$$x$$ es perfecto y$$0 \leq x \leq 10$$”. La identidad aquí confirma que, cuando consideramos conjuntos, no nos importa cómo se especifican. Y, de manera más general, la extensionalidad garantiza que siempre hay un solo conjunto de$$x$$'s tal que$$\phi(x)$$. Entonces, la extensionalidad justifica llamar$$\{x : \phi(x)\}$$ al conjunto de$$x$$'s tal que$$\phi(x)$$.

La extensionalidad nos da una manera de mostrar que los conjuntos son idénticos: para mostrar eso$$A = B$$, mostrar eso siempre$$x \in A$$ entonces también$$x \in B$$, y siempre que$$y \in B$$ entonces también$$y \in A$$.

Problema$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que hay a lo sumo un conjunto vacío, es decir, mostrar que si$$A$$ y$$B$$ son conjuntos sin elemento s, entonces$$A = B$$.

This page titled 1.1: Extensionalidad is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .