1.1: Extensionalidad

Un conjunto es una colección de objetos, considerados como un solo objeto. Los objetos que componen el conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Si\(x\) es un elemento de un conjunto\(a\), escribimos\(x \in a\); si no, escribimos\(x \notin a\). El conjunto que no tiene elemento s se llama el conjunto vacío y se denota “\(\emptyset\)”.

No importa cómo especifiquemos el conjunto, ni cómo ordenemos su elemento s, o de hecho cuántas veces contamos sus elementos s. Todo lo que importa es lo que son sus elementos. Esto lo codificamos en el siguiente principio.

Definición\(\PageIndex{1}\): Extensionality

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, entonces\(A = B\) iff cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\), y viceversa.

Extensionalidad licencia alguna notación. En general, cuando tenemos algunos objetos\(a_{1}\),...\(a_{n}\), entonces\(\{a_{1}, \dots, a_{n}\}\) es el conjunto cuyo elemento s son\(a_1, \ldots, a_n\). Hacemos énfasis en la palabra “el”, ya que la extensionalidad nos dice que sólo puede haber uno de esos conjuntos. En efecto, la extensibilidad también otorga licencias a lo siguiente:

\[\{a, a, b\} = \{a, b\} = \{b,a\}.\nonumber\]

Esto entrega en el punto de que, cuando consideramos conjuntos, no nos importa el orden de sus elementos, ni cuántas veces se especifican.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Siempre que tengas un montón de objetos, puedes recogerlos juntos en un conjunto. El conjunto de hermanos de Richard, por ejemplo, es un conjunto que contiene a una persona, y podríamos escribirlo como\(S=\{\textrm{Ruth}\}\). El conjunto de enteros positivos menor que\(4\) es\(\{1, 2, 3\}\), pero también se puede escribir como\(\{3, 2, 1\}\) o incluso como\(\{1, 2, 1, 2, 3\}\). Estos son todos el mismo conjunto, por extensionalidad. Por cada elemento de\(\{1, 2, 3\}\) es también un elemento de\(\{3, 2, 1\}\) (y de\(\{1, 2, 1, 2, 3\}\)), y viceversa.

Frecuentemente vamos a especificar un conjunto por alguna propiedad que su elemento s comparten. Usaremos la siguiente notación taquigráfica para eso:\(\{x : \phi(x)\}\), donde el\(\phi(x)\) representa la propiedad que\(x\) tiene que tener para ser contada entre los elementos s del conjunto.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

En nuestro ejemplo, podríamos haber especificado\(S\) también como

\[S = \{x : x \text{ is a sibling of Richard}\}.\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Un número se llama perfecto iff es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, números que lo dividen uniformemente pero no son idénticos al número). Por ejemplo,\(6\) es perfecto porque sus divisores adecuados son\(1\),\(2\), y\(3\), y\(6 = 1 + 2 + 3\). De hecho,\(6\) es el único entero positivo menor que\(10\) eso es perfecto. Entonces, usando la extensionalidad, podemos decir:

\[\{6\} = \{x : x\text{ is perfect and }0 \leq x \leq 10\}\nonumber\]

Leemos la notación de la derecha como “el conjunto de\(x\)'s tal que\(x\) es perfecto y\(0 \leq x \leq 10\)”. La identidad aquí confirma que, cuando consideramos conjuntos, no nos importa cómo se especifican. Y, de manera más general, la extensionalidad garantiza que siempre hay un solo conjunto de\(x\)'s tal que\(\phi(x)\). Entonces, la extensionalidad justifica llamar\(\{x : \phi(x)\}\) al conjunto de\(x\)'s tal que\(\phi(x)\).

La extensionalidad nos da una manera de mostrar que los conjuntos son idénticos: para mostrar eso\(A = B\), mostrar eso siempre\(x \in A\) entonces también\(x \in B\), y siempre que\(y \in B\) entonces también\(y \in A\).

Problema\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que hay a lo sumo un conjunto vacío, es decir, mostrar que si\(A\) y\(B\) son conjuntos sin elemento s, entonces\(A = B\).