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1.5: Pares, Tuplas, Productos Cartesianos

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    103773
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Template:MathJaxZach

    De la extensionalidad se desprende que los conjuntos no tienen orden a sus elementos. Entonces, si queremos representar orden, utilizamos pares ordenados\(\tuple{x, y}\). En un par desordenado\(\{x, y\}\), el orden no importa:\(\{x, y\} = \{y, x\}\). En un par ordenado, lo hace: si\(x \neq y\), entonces\(\tuple{x, y} \neq \tuple{y, x}\).

    ¿Cómo debemos pensar en los pares ordenados en la teoría de conjuntos? Fundamentalmente, queremos preservar la idea de que los pares ordenados son idénticos si comparten el mismo primer elemento y comparten el mismo segundo elemento, es decir:

    \[\tuple{a, b}= \tuple{c, d}\text{ iff both }a = c \text{ and }b=d.\nonumber\]

    Podemos definir pares ordenados en teoría de conjuntos usando la definición de Wiener-Kuratowski.

    Definición\(\PageIndex{1}\): Ordered pair

    \(\tuple{a, b} = \{\{a\}, \{a, b\}\}\).

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Usando Definición\(\PageIndex{1}\), demostrar que\(\tuple{a, b}= \tuple{c, d}\) iff ambos\(a = c\) y\(b=d\).

    Habiendo fijado una definición de un par ordenado, podemos usarlo para definir más conjuntos. Por ejemplo, a veces también queremos secuencias ordenadas de más de dos objetos, por ejemplo\(\tuple{x, y, z}\), triples\(\tuple{x, y, z, u}\), cuatriples, etc. Podemos pensar en triples como pares ordenados especiales, donde el primer elemento es en sí mismo un par ordenado:\(\tuple{x, y, z}\) is\(\tuple{\tuple{x, y},z}\). Lo mismo ocurre con cuatriples:\(\tuple{x,y,z,u}\) es\(\tuple{\tuple{\tuple{x,y},z},u}\), y así sucesivamente. En general, hablamos de\(n\) -tuplas ordenadas\(\tuple{x_1, \dots, x_n}\).

    Ciertos conjuntos de pares ordenados, u otras\(n\) -tuplas ordenadas, serán útiles.

    Definición\(\PageIndex{2}\): Cartesian product

    Dados conjuntos\(A\) y\(B\), su producto cartesiano\(A \times B\) se define por

    \[A \times B = \Setabs{\tuple{x, y}}{x \in A \text{ and } y \in B}.\nonumber\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si\(A = \{0, 1\}\), y\(B = \{1, a, b\}\), entonces su producto es

    \[A \times B = \{ \tuple{0, 1}, \tuple{0, a}, \tuple{0, b}, \tuple{1, 1}, \tuple{1, a}, \tuple{1, b} \}.\nonumber\]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Si\(A\) es un conjunto, el producto de\(A\) consigo mismo,\(A \times A\), también está escrito\(A^2\). Es el conjunto de todos los pares\(\tuple{x, y}\) con\(x, y \in A\). El conjunto de todos los triples\(\tuple{x, y, z}\) es\(A^3\), y así sucesivamente. Podemos dar una definición recursiva:\[\begin{aligned} A^1 & = A\\ A^{k+1} & = A^k \times A\end{aligned}\]

    Problema\(\PageIndex{2}\)

    Listar todos los elementos de\(\{1, 2, 3\}^3\).

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Si\(A\) tiene\(n\) elementos y\(B\) tiene\(m\) elementos, entonces\(A \times B\) tiene\(n\cdot m\) elementos.

    Comprobante. Por cada elemento\(x\) en\(A\), hay\(m\) elementos de la forma\(\tuple{x, y} \in A \times B\). Vamos\(B_x = \Setabs{\tuple{x, y}}{y \in B}\). Desde siempre\(x_1 \neq x_2\),\(\tuple{x_1, y} \neq \tuple{x_2, y}\),\(B_{x_1} \cap B_{x_2} = \emptyset\). Pero si\(A = \{x_1, \dots, x_n\}\), entonces\(A \times B = B_{x_1} \cup \dots \cup B_{x_n}\), y así tiene\(n\cdot m\) elementos.

    Para visualizar esto, organice los elementos de\(A \times B\) en una cuadrícula:

    \[\begin{array}{rcccc} B_{x_1} = & \{\tuple{x_1, y_1} & \tuple{x_1, y_2} & \dots & \tuple{x_1, y_m}\}\\ B_{x_2} = & \{\tuple{x_2, y_1} & \tuple{x_2, y_2} & \dots & \tuple{x_2, y_m}\}\\ \vdots & & \vdots\\ B_{x_n} = & \{\tuple{x_n, y_1} & \tuple{x_n, y_2} & \dots & \tuple{x_n, y_m}\} \end{array}\nonumber\]

    Como los\(x_i\) son todos diferentes, y los\(y_j\) son todos diferentes, no hay dos de los pares en esta grilla iguales, y hay\(n\cdot m\) de ellos. ◻

    Problema\(\PageIndex{3}\)

    Mostrar, por inducción en\(k\), que para todos\(k \ge 1\), si\(A\) tiene\(n\) elementos, entonces\(A^k\) tiene\(n^k\) elementos.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Si\(A\) es un conjunto, una palabra sobre\(A\) es cualquier secuencia de elementos de\(A\). Una secuencia puede ser pensada como una\(n\) -tupla de elementos de\(A\). Por ejemplo, si\(A = \{a, b, c\}\), entonces la secuencia “\(bac\)” puede ser pensada como la triple\(\tuple{b, a, c}\). Las palabras, es decir, secuencias de símbolos, son de crucial importancia en la informática. Por convención, contamos los elementos de\(A\) como secuencias de longitud\(1\), y\(\emptyset\) como la secuencia de longitud\(0\). El conjunto de todas las palabras sobre\(A\) entonces es

    \[A^* = \{\emptyset\} \cup A \cup A^2 \cup A^3 \cup \dots\nonumber\]


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