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# 1.5: Pares, Tuplas, Productos Cartesianos

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De la extensionalidad se desprende que los conjuntos no tienen orden a sus elementos. Entonces, si queremos representar orden, utilizamos pares ordenados$$\tuple{x, y}$$. En un par desordenado$$\{x, y\}$$, el orden no importa:$$\{x, y\} = \{y, x\}$$. En un par ordenado, lo hace: si$$x \neq y$$, entonces$$\tuple{x, y} \neq \tuple{y, x}$$.

¿Cómo debemos pensar en los pares ordenados en la teoría de conjuntos? Fundamentalmente, queremos preservar la idea de que los pares ordenados son idénticos si comparten el mismo primer elemento y comparten el mismo segundo elemento, es decir:

$\tuple{a, b}= \tuple{c, d}\text{ iff both }a = c \text{ and }b=d.\nonumber$

Podemos definir pares ordenados en teoría de conjuntos usando la definición de Wiener-Kuratowski.

Definición$$\PageIndex{1}$$: Ordered pair

$$\tuple{a, b} = \{\{a\}, \{a, b\}\}$$.

Problema$$\PageIndex{1}$$

Usando Definición$$\PageIndex{1}$$, demostrar que$$\tuple{a, b}= \tuple{c, d}$$ iff ambos$$a = c$$ y$$b=d$$.

Habiendo fijado una definición de un par ordenado, podemos usarlo para definir más conjuntos. Por ejemplo, a veces también queremos secuencias ordenadas de más de dos objetos, por ejemplo$$\tuple{x, y, z}$$, triples$$\tuple{x, y, z, u}$$, cuatriples, etc. Podemos pensar en triples como pares ordenados especiales, donde el primer elemento es en sí mismo un par ordenado:$$\tuple{x, y, z}$$ is$$\tuple{\tuple{x, y},z}$$. Lo mismo ocurre con cuatriples:$$\tuple{x,y,z,u}$$ es$$\tuple{\tuple{\tuple{x,y},z},u}$$, y así sucesivamente. En general, hablamos de$$n$$ -tuplas ordenadas$$\tuple{x_1, \dots, x_n}$$.

Ciertos conjuntos de pares ordenados, u otras$$n$$ -tuplas ordenadas, serán útiles.

Definición$$\PageIndex{2}$$: Cartesian product

Dados conjuntos$$A$$ y$$B$$, su producto cartesiano$$A \times B$$ se define por

$A \times B = \Setabs{\tuple{x, y}}{x \in A \text{ and } y \in B}.\nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Si$$A = \{0, 1\}$$, y$$B = \{1, a, b\}$$, entonces su producto es

$A \times B = \{ \tuple{0, 1}, \tuple{0, a}, \tuple{0, b}, \tuple{1, 1}, \tuple{1, a}, \tuple{1, b} \}.\nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Si$$A$$ es un conjunto, el producto de$$A$$ consigo mismo,$$A \times A$$, también está escrito$$A^2$$. Es el conjunto de todos los pares$$\tuple{x, y}$$ con$$x, y \in A$$. El conjunto de todos los triples$$\tuple{x, y, z}$$ es$$A^3$$, y así sucesivamente. Podemos dar una definición recursiva:\begin{aligned} A^1 & = A\\ A^{k+1} & = A^k \times A\end{aligned}

Problema$$\PageIndex{2}$$

Listar todos los elementos de$$\{1, 2, 3\}^3$$.

Proposición$$\PageIndex{1}$$

Si$$A$$ tiene$$n$$ elementos y$$B$$ tiene$$m$$ elementos, entonces$$A \times B$$ tiene$$n\cdot m$$ elementos.

Comprobante. Por cada elemento$$x$$ en$$A$$, hay$$m$$ elementos de la forma$$\tuple{x, y} \in A \times B$$. Vamos$$B_x = \Setabs{\tuple{x, y}}{y \in B}$$. Desde siempre$$x_1 \neq x_2$$,$$\tuple{x_1, y} \neq \tuple{x_2, y}$$,$$B_{x_1} \cap B_{x_2} = \emptyset$$. Pero si$$A = \{x_1, \dots, x_n\}$$, entonces$$A \times B = B_{x_1} \cup \dots \cup B_{x_n}$$, y así tiene$$n\cdot m$$ elementos.

Para visualizar esto, organice los elementos de$$A \times B$$ en una cuadrícula:

$\begin{array}{rcccc} B_{x_1} = & \{\tuple{x_1, y_1} & \tuple{x_1, y_2} & \dots & \tuple{x_1, y_m}\}\\ B_{x_2} = & \{\tuple{x_2, y_1} & \tuple{x_2, y_2} & \dots & \tuple{x_2, y_m}\}\\ \vdots & & \vdots\\ B_{x_n} = & \{\tuple{x_n, y_1} & \tuple{x_n, y_2} & \dots & \tuple{x_n, y_m}\} \end{array}\nonumber$

Como los$$x_i$$ son todos diferentes, y los$$y_j$$ son todos diferentes, no hay dos de los pares en esta grilla iguales, y hay$$n\cdot m$$ de ellos. ◻

Problema$$\PageIndex{3}$$

Mostrar, por inducción en$$k$$, que para todos$$k \ge 1$$, si$$A$$ tiene$$n$$ elementos, entonces$$A^k$$ tiene$$n^k$$ elementos.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Si$$A$$ es un conjunto, una palabra sobre$$A$$ es cualquier secuencia de elementos de$$A$$. Una secuencia puede ser pensada como una$$n$$ -tupla de elementos de$$A$$. Por ejemplo, si$$A = \{a, b, c\}$$, entonces la secuencia “$$bac$$” puede ser pensada como la triple$$\tuple{b, a, c}$$. Las palabras, es decir, secuencias de símbolos, son de crucial importancia en la informática. Por convención, contamos los elementos de$$A$$ como secuencias de longitud$$1$$, y$$\emptyset$$ como la secuencia de longitud$$0$$. El conjunto de todas las palabras sobre$$A$$ entonces es

$A^* = \{\emptyset\} \cup A \cup A^2 \cup A^3 \cup \dots\nonumber$

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