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5.1: Introducción

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    Para desarrollar la teoría y metateoría de la lógica de primer orden, primero debemos definir la sintaxis y semántica de sus expresiones. Las expresiones de la lógica de primer orden son términos y fórmulas. Los términos se forman a partir de variables, símbolos constantes y símbolos de función. Las fórmulas, a su vez, se forman a partir de símbolos predicados junto con términos (estos forman las fórmulas más pequeñas, “atómicas”), y luego a partir de fórmulas atómicas podemos formar otras más complejas usando conectivos lógicos y cuantificadores. Hay muchas formas diferentes de establecer las reglas de formación; damos solo una posible. Otros sistemas elegirán diferentes símbolos, seleccionarán diferentes conjuntos de conectivos como primitivos, usarán paréntesis de manera diferente (o incluso no en absoluto, como en el caso de la llamada notación polaca). Sin embargo, lo que todos los enfoques tienen en común es que las reglas de formación definen inductivamente el conjunto de términos y fórmulas. Si se hace correctamente, cada expresión puede resultar esencialmente de una sola manera de acuerdo con las reglas de formación. La definición inductiva que resulta en expresiones que son legibles de manera única significa que podemos dar significados a estas expresiones usando el mismo método: definición inductiva.

    Dar el significado de las expresiones es el dominio de la semántica. El concepto central en semántica es el de satisfacción en una estructura. Una estructura da sentido a los bloques de construcción del lenguaje: un dominio es un conjunto no vacío de objetos. Los cuantificadores se interpretan como que van sobre este dominio, a los símbolos constantes se les asignan elementos en el dominio, a los símbolos de función se les asignan funciones del dominio a sí mismo, y a los símbolos de predicado se les asignan relaciones en el dominio. El dominio junto con las asignaciones al vocabulario básico constituye una estructura. Las variables pueden aparecer en fórmulas, y para dar una semántica, también tenemos que asignarles elementos del dominio, esto es una asignación de variables. La relación de satisfacción, finalmente, los une. Una fórmula puede satisfacerse en una estructura\(\Struct{M}\) relativa a una asignación variable\(s\), escrita como\(\Sat[,s]{M}{A}\). Esta relación también se define por inducción sobre la estructura de\(A\), utilizando las tablas de verdad para que los conectivos lógicos definan, digamos, satisfacción de\(A \land B\) en términos de satisfacción (o no) de\(A\) y\(B\). Entonces resulta que la asignación de variables es irrelevante si la fórmula\(A\) es una oración, es decir, no tiene variables libres, y así podemos hablar de oraciones simplemente satisfechas (o no) en estructuras.

    A partir de la relación\(\Sat{M}{A}\) de satisfacción de las oraciones podemos definir entonces las nociones semánticas básicas de validez, vinculación y satisfacción. Una sentencia es válida,\(\Entails A\), si toda estructura la satisface. Se implica por un conjunto de oraciones,\(\Gamma \Entails A\), si cada estructura que satisface todas las oraciones en\(\Gamma\) también satisface\(A\). Y un conjunto de oraciones es satisfecha si alguna estructura satisface todas las oraciones en él al mismo tiempo. Debido a que las fórmulas se definen inductivamente y la satisfacción se define a su vez por la inducción sobre la estructura de las fórmulas, podemos usar la inducción para probar propiedades de nuestra semántica y relacionar las nociones semánticas definidas.


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