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11.3.5: La lógica de solo, solo si y menos

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    La palabra sólo es importante para fines lógicos. Para explorar sus complejidades, supongamos que para obtener una calificación A en Matemáticas 101 hay que hacer dos cosas: obtener una media A- o mejor en la tarea, y obtener una media A en las pruebas. Entonces sería correcto decir: “Obtienes una calificación A en Matemáticas 101 solo si obtienes un promedio A- o mejor en toda la tarea”. Ahora baja sólo de la sentencia. ¿Hace la diferencia? Sí, porque ahora te quedas con la declaración falsa “Obtienes una calificación A en Matemáticas 101 si obtienes un promedio A- o mejor en la tarea”. Hablando de manera más general, dejar caer el único de sólo si suele marcar una diferencia significativa a la lógica de lo que se dice. Desafortunadamente, muchas personas son descuidadas al usar estos términos. Vamos a mostrar las formas lógicas de las dos frases en la lógica sentencial, usando estas abreviaturas:

    A = Obtienes una A en Matemáticas 101.
    B = Obtienes un promedio A- o mejor en toda la tarea.

    Ahora, “A solo si B” es cierto pero “A si B” es falso. Entonces “A solo si B” y “A si B” no son equivalentes; deben estar diciendo algo diferente. Tienen una “lógica” diferente.

    Aquí hay un resumen de los diferentes comportamientos lógicos de si en contraposición a solo si. Los siguientes tres patrones de declaración son lógicamente equivalentes:

    (1) P solo si Q
    (2) P implica Q
    (3) Si P, entonces Q

    pero ninguno de los tres anteriores equivale a ninguno de los tres siguientes:

    (4) P si Q.
    (5) Q implica P.
    (6) Si Q entonces P.

    Sin embargo, (4), (5) y (6) son todos lógicamente equivalentes entre sí.

    La frase si y solo si es una combinación de si más solo si. Por ejemplo, decir: “Estás entrando aquí si y solo si obtienes la autorización del gerente” significa “Estás entrando aquí si obtienes el OK del gerente, y estás entrando aquí solo si obtienes el OK del gerente”.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuáles de las siguientes son ciertas?

    Para todos x, x = 4 solo si x es par.
    Para todos x, x es par solo si x = 4.
    Para todos x, x es par si y solo si x = 4.

    Responder

    Solo el primero

    Bandera USA
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Las tres oraciones son lógicamente equivalentes entre sí? Si no, ¿cuáles dos son equivalentes entre sí? Cuidado. Esto es complicado porque tus conocimientos previos sobre geografía son inútiles aquí.

    a. si eres de Estados Unidos, entonces eres de Dakota del Norte.
    b. eres de Estados Unidos solo si eres de Dakota del Norte.
    c. Eres de Dakota del Norte si eres de Estados Unidos.

    Responder

    Los tres son equivalentes entre sí, y los tres son falsos

    La forma lógica de las oraciones que contienen la palabra a menos que sea importante de examinar porque se producen tantos errores y trucos con la palabra. Por lo general significa lo mismo que o, aunque mucha gente, al escuchar esto por primera vez, jura que está mal. Vas a ir a la cárcel a menos que pagues tus impuestos, ¿verdad? Entonces, o pagas tus impuestos o vas a la cárcel.

    Considera una situación más complicada. Supongamos que no obtendrá una A en este curso a menos que esté registrado. ¿Sigue con certeza que si estás registrado, obtendrás una A? No. ¿Sigue que no obtendrás una A? No, eso tampoco sigue. ¿Sigue en cambio que si no obtienes una A, no estás registrado? No. Lo que, en cambio, sería válido es esto:

    No obtendrás una A en este curso a menos que estés registrado.
    Entonces, si obtienes una A, entonces estás registrado.

    La forma lógica del razonamiento es

    No-A a menos que REG.
    Entonces, si A, entonces REG.

    ¿Esto realmente parece válido? Lo es.

    Lo que habrás notado en este y en los capítulos anteriores es al traducir del inglés a la forma simbólica, a menudo hacemos uso de nuestro conocimiento previo de lo que es equivalente a qué. Eso es lo que sucede cuando traducimos “Ella está aquí” como S pero también “Ella está aquí” como S aunque las dos frases tengan letras distintas; una tiene un apóstrofe, y la otra no. Cuando traducimos condiciones, hacemos un uso considerable de nuestro conocimiento previo sobre equivalencia. Hacemos uso de nuestro conocimiento que el tiempo (pasado, presente, futuro) y el estado de ánimo (indicativo, subjuntivo) es o no importante para el argumento. Por ejemplo, observe el sutil paso del presente al tiempo futuro en este argumento válido:

    Si Samantha toma un auto, llegará más rápido.
    Ella se llevará un auto.
    Entonces, ella llegará más rápido.

    “Ella toma” está presente tensa, pero “Ella tomará” es pasado tensa. Ignoramos toda esta información tensa cuando traducimos el argumento como

    Si TOMA, entonces MÁS RÁPIDO.
    TOMAS.
    Entonces, MÁS RÁPIDO.

    Se necesita una buena comprensión del idioma para saber cuándo se puede ignorar la información del tiempo y cuándo no se puede. No se puede pasar por alto en este argumento:

    Si toma un auto, llegará más rápido, pero no si espera otros cinco minutos.
    Ella tomará un auto, pero no por diez minutos.
    Entonces, ella llegará más rápido.

    No, no lo hará. Esto es un razonamiento inválido.

    Aquí hay otro ejemplo de hacer uso de la información de fondo. ¿Es válido este argumento?

    Si Samantha se cuida, llegará más rápido.
    Ella se llevará un auto.
    Entonces, ella llegará más rápido.

    Tal vez. Dijimos que era válido hace un par de párrafos, pero es válido sólo si estamos justificados al ignorar el hecho de que la palabra “ella” podría estar refiriéndose a la esposa de Abraham Lincoln, y no a Samantha. Nuestro conocimiento previo nos dice si necesitamos prestar atención a esta posibilidad o no.


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