11.4: Lógica Sentencial

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Bradley H. Dowden
California State University Sacramento

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Cuando creamos formas lógicas para argumentos, en algún momento abreviamos cláusulas u oraciones simples con palabras o solo letras mayúsculas. Si siempre usáramos mayúsculas y siempre usáramos los siguientes símbolos especiales para las frases conectivas, como “o” y “y”, entonces estaríamos expresando formas lógicas en el lenguaje de la Lógica Sentencial. Lógica Sentencial también se llama Lógica de Declaración y Lógica Proposicional. El símbolo conectivo 'v' abrevia la palabra conectiva inglesa 'o' que se utiliza para unir dos oraciones con el fin de construir una oración más larga. Del mismo modo, el símbolo '&' reemplaza la palabra conjuntiva inglesa “y” que también construye oraciones más grandes a partir de oraciones más pequeñas. El símbolo '~' representa la negación o la frase “No es cierto que...” que se puede agregar al frente de una oración para producir su negación. La flecha '→' representa 'sif-then.'

Aquí hay una lista de los símbolos conectivos de la Lógica Sentencial con las frases en inglés que reemplazan. Usaremos los símbolos con dos frases simples A y B:

~A	No-A (no es cierto que A)
A v B	A o B (ya sea A o B o ambos)
A y B	A y B (A pero B)
A → B	si A entonces B (B si A) (A solo si B)
A ↔ B	A si y solo si B (A solo en el caso B)

Existen reglas gramaticales para formar oraciones formales bien formadas de mayor y mayor complejidad. Para nuestro vocabulario de oraciones formales básicas utilizamos las letras mayúsculas de la A a la O en el alfabeto (y quizás estas mayúsculas con subíndices numéricos si necesitamos oraciones más básicas). Entonces las oraciones complejas se construyen a partir de estas oraciones aplicando los conectivos, de acuerdo con las siguientes reglas gramaticales:

Si P y Q son variables que representan cualquier oración simbólica, por compleja que sea, entonces ~P es una oración bien formada, y también lo es (P v Q), y (P & Q) y (P → Q) y (P ↔ Q).

'P' y 'Q' pueden representar o abreviar cualquier oración declarativa como A, o A & (B → A), o lo que sea. Las oraciones formales pueden ser tan complicadas como queramos, pero su longitud debe ser finita.

Estas reglas gramaticales implican que la compleja secuencia de símbolos ((A & B) → C) está bien formada, pero (A & B → C) no lo está. Por cierto, solemos caer el par de paréntesis más exterior (pero solo esos) al escribir oraciones bien formadas. Por ejemplo, (A & B) → C) es la misma oración que (A & B) → C.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Esta cadena de símbolos está bien formada gramaticalmente? (E v F y G)

Contestar: No, no se puede construir aplicando las reglas gramaticales a oraciones básicas. Sin embargo, las siguientes dos oraciones están bien formadas: E v (F & G), y (E v G) & G