1.1: Extensionalidad

Un conjunto es una colección de objetos, considerados como un solo objeto. Los objetos que componen el conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Si$x$ es un elemento de un conjunto$a$, escribimos$x \in a$; si no, escribimos$x \notin a$. El conjunto que no tiene elemento s se llama el conjunto vacío y se denota “$\emptyset$”.

No importa cómo especifiquemos el conjunto, ni cómo ordenemos su elemento s, o de hecho cuántas veces contamos sus elementos s. Todo lo que importa es lo que son sus elementos. Esto lo codificamos en el siguiente principio.

Definición$\PageIndex{1}$: Extensionality

Si$A$ y$B$ son conjuntos, entonces$A = B$ iff cada elemento de$A$ es también un elemento de$B$, y viceversa.

Extensionalidad licencia alguna notación. En general, cuando tenemos algunos objetos$a_{1}$,...$a_{n}$, entonces$\{a_{1}, \dots, a_{n}\}$ es el conjunto cuyo elemento s son$a_1, \ldots, a_n$. Hacemos énfasis en la palabra “el”, ya que la extensionalidad nos dice que sólo puede haber uno de esos conjuntos. En efecto, la extensibilidad también otorga licencias a lo siguiente:

$$\{a, a, b\} = \{a, b\} = \{b,a\}.\nonumber$$

Esto entrega en el punto de que, cuando consideramos conjuntos, no nos importa el orden de sus elementos, ni cuántas veces se especifican.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Siempre que tengas un montón de objetos, puedes recogerlos juntos en un conjunto. El conjunto de hermanos de Richard, por ejemplo, es un conjunto que contiene a una persona, y podríamos escribirlo como$S=\{\textrm{Ruth}\}$. El conjunto de enteros positivos menor que$4$ es$\{1, 2, 3\}$, pero también se puede escribir como$\{3, 2, 1\}$ o incluso como$\{1, 2, 1, 2, 3\}$. Estos son todos el mismo conjunto, por extensionalidad. Por cada elemento de$\{1, 2, 3\}$ es también un elemento de$\{3, 2, 1\}$ (y de$\{1, 2, 1, 2, 3\}$), y viceversa.

Frecuentemente vamos a especificar un conjunto por alguna propiedad que su elemento s comparten. Usaremos la siguiente notación taquigráfica para eso:$\{x : \phi(x)\}$, donde el$\phi(x)$ representa la propiedad que$x$ tiene que tener para ser contada entre los elementos s del conjunto.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

En nuestro ejemplo, podríamos haber especificado$S$ también como

$$S = \{x : x \text{ is a sibling of Richard}\}.\nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Un número se llama perfecto iff es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, números que lo dividen uniformemente pero no son idénticos al número). Por ejemplo,$6$ es perfecto porque sus divisores adecuados son$1$,$2$, y$3$, y$6 = 1 + 2 + 3$. De hecho,$6$ es el único entero positivo menor que$10$ eso es perfecto. Entonces, usando la extensionalidad, podemos decir:

$$\{6\} = \{x : x\text{ is perfect and }0 \leq x \leq 10\}\nonumber$$

Leemos la notación de la derecha como “el conjunto de$x$'s tal que$x$ es perfecto y$0 \leq x \leq 10$”. La identidad aquí confirma que, cuando consideramos conjuntos, no nos importa cómo se especifican. Y, de manera más general, la extensionalidad garantiza que siempre hay un solo conjunto de$x$'s tal que$\phi(x)$. Entonces, la extensionalidad justifica llamar$\{x : \phi(x)\}$ al conjunto de$x$'s tal que$\phi(x)$.

La extensionalidad nos da una manera de mostrar que los conjuntos son idénticos: para mostrar eso$A = B$, mostrar eso siempre$x \in A$ entonces también$x \in B$, y siempre que$y \in B$ entonces también$y \in A$.

Problema$\PageIndex{1}$

Demostrar que hay a lo sumo un conjunto vacío, es decir, mostrar que si$A$ y$B$ son conjuntos sin elemento s, entonces$A = B$.