6.2: Expresar las propiedades de las estructuras
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Definición\(\PageIndex{1}\): Model of a set
\(\Gamma\)Sea un conjunto de oraciones en un idioma\(\Lang L\). Decimos que una estructura\(\Struct M\) es un modelo de\(\Gamma\) si\(\Sat{M}{A}\) para todos\(A \in \Gamma\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
La oración\(\lforall{x}{x \le x}\) es verdadera en\(\Struct M\) iff\(\Assign{\le}{M}\) es una relación reflexiva. La oración\(\lforall{x}{\lforall{y}{((x \le y \land y \le x) \lif x = y)}}\) es verdadera en\(\Struct M\) iff\(\Assign{\le}{M}\) es antisimétrico. La sentencia\(\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x \le y \land y \le z) \lif x \le z)}}}\) es verdadera en\(\Struct M\) iff\(\Assign{\le}{M}\) es transitiva. Así, los modelos de\[\begin{aligned} \{\quad &\lforall{x}{x \le x}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{((x \le y \land y \le x) \lif x = y)}}, \\ &\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x \le y \land y \le z) \lif x \le z)}}} \quad \}\end{aligned}\] son exactamente aquellas estructuras en las que\(\Assign{\le}{M}\) es reflexiva, antisimétrica y transitiva, es decir, un orden parcial. De ahí que podamos tomarlos como axiomas para la teoría de primer orden de los órdenes parciales.