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6.2: Expresar las propiedades de las estructuras

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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A menudo es útil e importante expresar condiciones sobre funciones y relaciones, o más generalmente, que las funciones y relaciones en una estructura satisfagan estas condiciones. Por ejemplo, nos gustaría tener formas de distinguir esas estructuras para un lenguaje que “capturen” lo que queremos que “signifiquen” los símbolos predicados de los que no. Por supuesto que somos completamente libres de especificar qué estructuras “pretendemos”, por ejemplo, podemos especificar que la interpretación del símbolo predicado$$\le$$ debe ser un orden, o que solo nos interesan las interpretaciones de$$\Lang L$$ en las que el dominio consiste en conjuntos y $$\Obj \in$$se interpreta por la relación “es un elemento de”. Pero, ¿podemos hacer esto con oraciones del idioma? En otras palabras, ¿qué condiciones sobre una estructura$$\Struct M$$ podemos expresar por una oración (o tal vez un conjunto de oraciones) en el lenguaje de$$\Struct M$$? Hay algunas condiciones que no podremos expresar. Por ejemplo, no hay oración de la$$\Lang L_A$$ cual sólo es verdadera en una estructura$$\Struct M$$ si$$\Domain M = \Nat$$. No podemos expresar “el dominio contiene sólo números naturales”. Pero hay “propiedades estructurales” de las estructuras que quizás podamos expresar. ¿Qué propiedades de las estructuras podemos expresar por oraciones? O, para decirlo de otra manera, ¿qué colecciones de estructuras podemos describir como aquellas que hacen cierta una oración (o conjunto de oraciones)?

Definición$$\PageIndex{1}$$: Model of a set

$$\Gamma$$Sea un conjunto de oraciones en un idioma$$\Lang L$$. Decimos que una estructura$$\Struct M$$ es un modelo de$$\Gamma$$ si$$\Sat{M}{A}$$ para todos$$A \in \Gamma$$.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

La oración$$\lforall{x}{x \le x}$$ es verdadera en$$\Struct M$$ iff$$\Assign{\le}{M}$$ es una relación reflexiva. La oración$$\lforall{x}{\lforall{y}{((x \le y \land y \le x) \lif x = y)}}$$ es verdadera en$$\Struct M$$ iff$$\Assign{\le}{M}$$ es antisimétrico. La sentencia$$\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x \le y \land y \le z) \lif x \le z)}}}$$ es verdadera en$$\Struct M$$ iff$$\Assign{\le}{M}$$ es transitiva. Así, los modelos de\begin{aligned} \{\quad &\lforall{x}{x \le x}, \\ & \lforall{x}{\lforall{y}{((x \le y \land y \le x) \lif x = y)}}, \\ &\lforall{x}{\lforall{y}{\lforall{z}{((x \le y \land y \le z) \lif x \le z)}}} \quad \}\end{aligned} son exactamente aquellas estructuras en las que$$\Assign{\le}{M}$$ es reflexiva, antisimétrica y transitiva, es decir, un orden parcial. De ahí que podamos tomarlos como axiomas para la teoría de primer orden de los órdenes parciales.

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