9.14: Resumen
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Si hay una derivación con fórmula final\(A\) y se descargan todos los supuestos, decimos que\(A\) es un teorema y escribimos\(\Proves A\). Si todos los supuestos no descargados están en algún conjunto\(\Gamma\), decimos que\(A\) es derivable\(\Gamma\) y escribir\(\Gamma \Proves A\). Si\(\Gamma \Proves \lfalse\) decimos\(\Gamma\) es inconsistente, por lo demás consistente. Estas nociones están interrelacionadas, por ejemplo,\(\Gamma \Proves A\) iff\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\) es inconsistente. También están relacionados con las nociones semánticas correspondientes, e.g., si\(\Gamma \Proves A\) entonces\(\Gamma \Entails A\). Esta propiedad de los sistemas de prueba —de lo que\(\Gamma\) se puede derivar está garantizada por\(\Gamma\) — se llama solidez. El teorema de solidez se prueba por inducción sobre la longitud de las derivaciones, demostrando que cada inferencia individual preserva la vinculación de su conclusión a partir de supuestos abiertos siempre que sus premisas sean constreñidas por sus supuestos no descargados.