A.1: Introducción

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Según tus experiencias en la lógica introductoria, podrías sentirte cómodo con un sistema de pruebas, probablemente una deducción natural o un sistema de prueba de estilo Fitch, o tal vez un sistema de árbol de prueba. Probablemente recuerdes haber hecho pruebas en estos sistemas, ya sea probando una fórmula o demostrando que un argumento dado es válido. Para ello, aplicaste las reglas del sistema hasta que obtuviste el resultado final deseado. Al razonar sobre la lógica, también probamos las cosas, pero en la mayoría de los casos no estamos usando un sistema de prueba. De hecho, la mayoría de las pruebas que consideramos se hacen en inglés (quizás, con algún lenguaje simbólico) en lugar de enteramente en el lenguaje de la lógica de primer orden. Al construir tales pruebas, al principio podrías estar perdiendo, ¿cómo pruebo algo sin un sistema de pruebas? ¿Cómo empiezo? ¿Cómo sé si mi comprobante es correcto?

Antes de intentar una prueba, es importante saber qué es una prueba y cómo construirla. Como implica el nombre, una prueba está destinada a demostrar que algo es cierto. Podrías pensar en esto en términos de un diálogo: alguien te pregunta si algo es cierto, digamos, si cada primo que no sea dos es un número impar. Responder “sí” no es suficiente; tal vez quieran saber por qué. En este caso, les darías una prueba.

En el discurso cotidiano, podría bastar con hacer gestos ante una respuesta, o dar una respuesta incompleta. En lógica y matemática, sin embargo, queremos pruebas rigurosas, queremos demostrar que algo es cierto más allá de toda duda. Esto significa que cada paso en nuestra prueba debe estar justificado, y la justificación debe ser convincente (es decir, la suposición que estás usando es realmente asumida en la declaración del teorema que estás probando, las definiciones que aplicas deben aplicarse correctamente, las justificaciones apeladas deben ser inferencias correctas, etc.).

Por lo general, estamos demostrando alguna declaración. Llamamos a las declaraciones que estamos probando por diversos nombres: proposiciones, teoremas, lemmas, o corolarios. Una proposición es una declaración básica digna de prueba: lo suficientemente importante como para grabar, pero quizás no particularmente profunda ni aplicada a menudo. Un teorema es una proposición significativa e importante. Su prueba a menudo se rompe en varios pasos, y a veces lleva el nombre de la persona que la probó por primera vez (por ejemplo, el teorema de Cantor, el teorema de Löwenheim-Skolem) o por el hecho que concierne (por ejemplo, el teorema de integridad). Un lema es una proposición o teorema a la que se utiliza en la prueba de un resultado más importante. De manera confusa, a veces los lemmas son resultados importantes en sí mismos, y también llevan el nombre de la persona que los introdujo (por ejemplo, el lema de Zorn). Un corolario es un resultado que se desprende fácilmente de otro.

Una declaración por probar a menudo contiene alguna suposición que aclara sobre qué tipo de cosas estamos demostrando algo. Podría comenzar con “Let\(A\) be a formula de la forma\(B \lif C\)” o “Supongamos\(\Gamma \Proves A\)” o algo por el estilo. Estas son hipótesis de la proposición, teorema o lema, y puedes asumir que éstas son ciertas en tu prueba. Restringen lo que estamos probando, y también introducen algunos nombres para los objetos de los que estamos hablando. Por ejemplo, si tu proposición comienza con “Let\(A\) be una fórmula de la forma”\(B \lif C\), estás demostrando algo sobre todas las fórmulas de cierto tipo solamente (es decir, condicionales), y se entiende que\(B \lif C\) es un condicional arbitrario que tu prueba hablará de.