B.3: Inducción Fuerte
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Existe una variante del principio de inducción en la que no sólo asumimos que la reclamación se sostiene para el predecesor\(k-1\) de\(k\), sino para todos los números menores que\(k\), y utilizamos esta suposición para establecer el reclamo para\(k\). Esto también nos da el reclamo\(P(n)\) para todos\(n \in \Nat\). Por una vez que hemos establecido\(P(0)\), con ello hemos establecido que\(P\) sostiene para todos los números menores que\(1\). Y si sabemos que si\(P(l)\) por todos\(l<k\), entonces\(P(k)\), sabemos esto en particular para\(k=1\). Entonces podemos concluir\(P(1)\). Con esto hemos demostrado\(P(0)\) y\(P(1)\), es decir,\(P(l)\) para todos\(l<2\), y como tenemos también el condicional, si\(P(l)\) por todos\(l<2\), entonces\(P(2)\), podemos concluir \(P(2)\), y así sucesivamente.
De hecho, si podemos establecer el condicional general “para todos\(k\), si\(P(l)\) para todos\(l<k\), entonces”\(P(k)\), ya no tenemos que establecer,\(P(0)\) ya que de ello se desprende. Porque recuerda que un reclamo general como “para todos\(P(l)\)”\(l<k\), es cierto si no los hay\(l<k\). Este es un caso de cuantificación vacia: “todos los\(A\) s son\(B\) s” es cierto si no hay\(A\) s,\(\lforall{x}{(A(x) \lif B(x))}\) es cierto si no\(x\) satisface\(A(x)\). En este caso, la versión formalizada sería “\(\lforall{l}{(l < k \lif P(l))}\)” —y eso es cierto si no la hay\(l < k\). Y si\(k=0\) ese es exactamente el caso: no\(l<0\), de ahí “para todos\(P(0)\)”\(l<0\), es cierto, lo que\(P\) sea. Una prueba de “si\(P(l)\) para todos\(l<k\), entonces\(P(k)\)” así se establece automáticamente\(P(0)\).
Esta variante es útil si establecer el reclamo para no se\(k\) puede hacer para simplemente confiar en el reclamo para\(k-1\) sino que puede requerir la suposición de que es cierto para uno o más\(l<k\).