3.8: Resumen

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Una función$f\colon A \to B$ mapea cada elemento del dominio$A$ a un elemento único del codominio$B$. Si$x \in A$, llamamos a los$y$ que$f$ mapas$x$ al valor$f(x)$ de$f$ para argumento$x$. Si$A$ es un conjunto de pares, podemos pensar en la función$f$ como tomando dos argumentos. El rango$\ran{f}$ de$f$ es el subconjunto de$B$ que consta de todos los valores de$f$.

Si$\ran{f} = B$ entonces$f$ se llama suryectiva. El valor$f(x)$ es único en que$f$ mapea solo$x$ a uno$f(x)$, nunca a más de uno. Si también$f(x)$ es único en el sentido de que no se mapean dos argumentos diferentes al mismo valor,$f$ se llama inyectivo. Las funciones que son tanto inyectoras como suryectivas se denominan biyectivas.

Las funciones biyectivas tienen una función inversa única$f^{-1}$. Las funciones también se pueden encadenar entre sí: la función$(g \circ f)$ es la composición de$f$ con$g$. Las composiciones de las funciones inyectoras son inyectoras, y de las funciones suryectivas son suryectivas, y$(f^{-1} \circ f)$ es la función de identidad.

Si relajamos el requisito que$f$ debe tener un valor para cada$x \in A$, obtenemos la noción de una función parcial. Si$f\colon A \pto B$ es parcial, decimos que$f(x)$ está definido,$f(x) \fdefined$ si$f$ tiene un valor para argumento$x$, y de lo contrario decimos que$f(x)$ es indefinido,$f(x) \fundefined$. Cualquier función (parcial)$f$ está asociada con la gráfica$R_f$ de$f$, la relación que sostiene iff$f(x) = y$.