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# 11.7: Ejercicios

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## Equivalencia lógica

■ 1. ¿Cada declaración es lógicamente equivalente a sí misma?

■ 2. ¿La definición de equivalencia lógica permite alguna vez que las frases falsas sean lógicamente equivalentes entre sí?

3. Sea A = “x es 4”, deje B = “x es un número par”, y dejar que C = “x es 8/2”. Entonces, ¿A y B son lógicamente equivalentes?

4. Sea A = “x es 4”, deje B = “x es un número par”, y dejar que C = “x es 8/2”. Entonces, ¿A y C son lógicamente equivalentes?

5. Si ningún artículo de la columna C es indeducible, ¿podemos inferir con certeza que todos los artículos de la columna C son deducibles? ¿Y viceversa?

## La lógica de no, y, o, y si-entonces

■ 1. Demostrar, apelando a su forma lógica en lógica sentencial, por qué el siguiente argumento es válido o no es válido, y asegúrese de decir cuál es.

Si los políticos son corruptos, sus amigos también son corruptos. Así, si los políticos no son corruptos, no tienen amigos peculiares porque tienen amigos peculiares si sus amigos son corruptos.

■ 2. El siguiente argumento es

a. deductivamente válido
b. deductivamente nulo.

No sé si los polivinilos son corrosivos o no, pero sí sé que si lo son, entonces los ferrofenilos también son corrosivos. Por lo tanto, si los polivinilos no son corrosivos, no tienen propiedades picoferrosas porque tienen propiedades picoferrosas si los ferrofenilos son corrosivos.

Defiende tu respuesta apelando a la forma lógica.

3. El siguiente argumento es

a. deductivamente válido
b. deductivamente nulo

No sé si los polivinilos son corrosivos o no, pero sí sé que si son corrosivos, entonces los ferrofenilos también son corrosivos. ¿No es razonable entonces suponer que, si los polivinilos son corrosivos, tienen propiedades picoferrosas porque, como ya dijiste, tienen propiedades picoferrosas si los ferrofenilos son corrosivos?

Defiende tu respuesta apelando a la forma lógica.

4. Considera este divertido argumento: “Si Dios hubiera querido que la gente volara, no nos habría dado bicicletas”. Aquí está su premisa implícita: Pero Él nos las ha dado; así queda claro lo que Dios quiere.

a. Exponer la conclusión implícita.
b. Declarar la forma lógica del argumento en la lógica sentencial.
c. ¿El argumento es válido deductivamente? ¿Por qué o por qué no?
d. ¿Asume el arguer que Dios no es malo?

5. El siguiente pasaje contiene uno o más subargumentos deductivos, todas cuyas premisas se enuncian explícitamente. Para cada uno, (a) identificar el subargumento reescribiéndolo en forma estándar, (b) dar su forma lógica, y (c) decir si es válido.

Tienes que renunciar a este tipo de comportamiento. Dios frunce el ceño ante la homosexualidad Además, todos los estándares de la comunidad se oponen a ello, y esto está perjudicando los negocios de tu padre. Tiene que servir al público, recuerden. Si tu homosexualidad es ilegal, deberías renunciar a ella, y tu homosexualidad es ilegal, como bien sabes. Dices que está bien porque se siente bien, pero hay más en este mundo que tus sentimientos. Te quiero, pero debes dejar esta tontería.

■ 6. ¿Válido o inválido?

■ 7. ¿Es este un patrón de argumento deductivamente válido?

■ 8. ¿La siguiente forma argumental es deductivamente válida en la lógica sentencial?

9. Aquí está la forma lógica de un argumento en la lógica sentencial. ¿Es válido o inválido?

10. ¿Qué patrones de declaración a continuación serían inconsistentes con el patrón “P o Q”?

a. no-p
b. no-q
c. no-p y no-q
d. no-p o no-q
e. Si P, entonces no-Q

11. ¿Cuál de las siguientes formas de declaración tiene la forma lógica “Si A, entonces B”?

a. A, de lo que se desprende que B.
b. A, que se desprende de B.

■ 12. ¿Este argumento es deductivamente válido?

La redacción del informe no fue difícil. Dado que la redacción del informe es difícil o agradable, la redacción del informe debe haber sido agradable.

13. Identifica la letra minúscula que precede a cualquier pasaje de abajo que contenga un argumento o un subargumento que tenga la siguiente forma lógica:

no -B
A implica B
no-A

a. X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. Si X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo, entonces X se cierra bajo la operación de intersección. En consecuencia, X no se cierra bajo la operación de intersección.
b. X no es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. Si X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo, entonces X se cierra bajo la operación de intersección. En consecuencia, X no se cierra bajo la operación de intersección.
c. X no es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. Pero X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo si X se cierra bajo la operación de intersección. En consecuencia, X no se cierra bajo la operación de intersección.
d. Si X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo, entonces X se cierra bajo la operación de intersección. X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. En consecuencia, X se cierra bajo la operación de intersección.
e. X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. Si X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo, entonces X se cierra bajo la operación de intersección. En consecuencia, X se cierra bajo la operación de intersección.
f. Si X se cierra bajo la operación de intersección, entonces X es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. X no es la familia de todos los intervalos abierto-cerrados junto con el conjunto nulo. En consecuencia, X no se cierra bajo la operación de intersección.

14. En relación con la pregunta anterior, identificar las letras de los pasajes que sean deductivamente inválidas.

15. ¿Este argumento es deductivamente válido? Defiende tu respuesta apelando a la lógica sentencial.

Si los senadores estatales son corruptos, sus funcionarios son corruptos. Los miembros del personal de los senadores estatales son efectivamente corruptos, por lo que los senadores estatales son corruptos.

■ 16. ¿Este argumento es deductivamente válido? Defiende tu respuesta apelando a la lógica sentencial.

Si Einstein estuviera vivo hoy, el departamento de física de la Universidad de Princeton en Nueva Jersey se vería afectado por su presencia. Entonces, si miras el departamento, verás que es un pato muerto.

■ 17. ¿Es éste un secuente válido en la Lógica Sentencial?

A → B, ~A ~B

Es decir, si obedecemos las reglas de las tablas de la verdad, ¿podemos estar seguros de que no hay manera de asignar valores de verdad a las simples letras de declaración que producirán un contraejemplo?

## La lógica de solo, solo si, y menos

■ 1. Por lo general, se puede llegar desde la planta baja hasta la planta superior de un edificio que tiene ascensor _________ subes las escaleras.

a. solo si
b. si y solo si
c. justo cuando
d. a menos que
e. ninguno de los anteriores

a. solo si
b. si y solo si
c. siempre que
d. si e. a menos que

■ 3. Eres presidente de Estados Unidos ________________ no eres presidente de la

a. solo si
b. si y solo si
c. justo cuando
d. si
e. a menos que

4. Para cualquier número entero x, x es par ____________ x es impar. (¿Cuáles no se pueden usar para rellenar el espacio en blanco y aún así dejar una declaración verdadera?)

a. solo si
b. si y solo si
c. siempre que
d. si
e. a menos que

■ 5. Para cualquier número entero x, x es par ____________ x no es impar. (¿Cuáles no se pueden usar para rellenar el espacio en blanco y aún así dejar una declaración verdadera?)

a. solo si
b. si y solo si
c. siempre que
d. si
e. a menos que

6. Si fuera el caso de que solo las personas que favorecen las técnicas de reducción de costos en la administración son defensores de disminuir el número de puestos administrativos, se seguiría que tienes que ser un defensor de disminuir el número de puestos administrativos para ser una persona favoreciendo las técnicas de reducción de costos en la administración?

7. Un letrero dice: “Solo los adultos pueden ver esta película”. ¿Sigue con certeza que si eres adulto, puedes ver esta película?

8. Joseph no se graduará en cosmetología a menos que apruebe ya sea el curso de cosmetología del desarrollo o el curso de diseño experimental. Entonces, si José pasa el diseño experimental, se graduará en cosmetología.

a. deductivamente válido
b. no deductivamente válido

9. Carlucci nos llama sólo si la sala de guerra está en condición naranja, pero la sala de guerra está en condición naranja. Entonces, llamará Carlucci.

Al analizar este argumento, dejemos que la palabra Orange signifique la afirmación “La sala de guerra está en condición naranja”, y que la palabra Call signifique “Carlucci nos llama”. Reescribir la primera premisa como condicional y luego generalizar al argumento el patrón arroja cuál de las siguientes?

a. si es naranja, entonces llame.
Naranja.
b. Si Call, luego Orange.
Naranja.
c. Llame sólo si es naranja.
Naranja.

10. El argumento de la pregunta anterior comete la falacia de negar el antecedente cuando la primera premisa se reescribe como una declaración condicional lógicamente equivalente y luego el argumento se traduce a su forma en lógica sentencial.

b. falso

11. Considera esta nota de un empleador:

Se debe dar a los empleados la oportunidad de dar o retener su consentimiento antes de que se investiguen los aspectos privados de sus vidas. La firma se justifica en indagar sobre la vida del empleado sólo si éste tiene un claro entendimiento de que se está realizando la indagación. Los medios utilizados para obtener esta información también son importantes; métodos extraordinarios incluirían micrófonos ocultos, pruebas de detector de mentiras, espías y pruebas de inventario de personalidad.

■ i. Si la cotización es correcta, entonces si el empleado tiene un claro entendimiento de que se está realizando la consulta, la firma se justifica al indagar sobre la vida del empleado.

a. sigue
b. no sigue

ii. Si la cotización es correcta, la firma se justifica al indagar en la vida del empleado si éste tiene un claro entendimiento de que se está realizando la indagación.

a. sigue
b. no sigue

iii. Si la cotización es correcta, entonces si la firma está justificada al indagar sobre la vida del empleado, éste tiene un claro entendimiento de que se está realizando la indagación.

a. sigue
b. no sigue

12. Supongamos x = 4 si y solo si y < 22. De este hecho, ¿cuáles siguen con certeza? (Podría haber más de uno.)

a. x = 4 siempre que y < 22.
b. x = 4 a menos que y < 22.
c. y < 22 si x = 4.
d. x = 4 o y < 22.
e. (y = 22 o y > 22) justo cuando x no es igual a 4.

13. ¿Estos dos argumentos son lógicamente análogos? ¿Alguno de ellos tiene validez deductiva?

Carlucci nos llamará sólo si la sala de guerra está en condición naranja, pero la sala de guerra está en condición naranja. Entonces, llamará Carlucci.

Carlucci nos llamará sólo si está vivo. Carlucci está vivo, así que llamará.

■ 14. ¿Estas dos formas de oración son lógicamente equivalentes?

No-A a menos que B.

A solo si B.

## Lógica Sentencial

1. Crea una tabla de verdad para este argumento en (lógica sentencial ordinaria): B & (~C → ~B), entonces C, luego di cómo puedes mirar la tabla y decir si el argumento es válido. ¿Es válido?

2. Crea una tabla de verdad para este argumento: B & (C v ~B), entonces C, luego di cómo puedes mirar la tabla y decir si el argumento es válido. ¿Es válido?

3. (a) ¿Es esta frase una tautología: (C & B) v (~C v ~B)?
(b) Mostrar su tabla de verdad.
(c) Di cómo puedes mirar la tabla de la verdad y decir si la oración es una tautología.
d) ¿Es esta oración una tautología en la lógica de 3 valores?
(e) Mostrar su tabla de verdad en lógica de 3 valores.
(f) Di cómo puedes mirar la tabla de la verdad de 3 valores y decir si la oración es una tautología.

4. ¿Los logísticos inventan la lógica o la descubren?

## Soluciones

Equivalencia lógica

1 Sí.

2 He aquí un ejemplo: “Churchill fue el primer primer ministro” y “El primer primer ministro fue Churchill”.

La lógica de no, y, o, y si-diez

1 El argumento puede ser tratado en lógica sentencial utilizando las siguientes definiciones de las oraciones (cláusulas):

PC = los políticos son corruptos
FC = los amigos de los políticos son corruptos
PF = los políticos tienen amigos peculiares

Aquí está la forma lógica (notando que la conclusión no es la última declaración en inglés):

Si PC, entonces FC.
Si FC, entonces PF.

Si no es PC, entonces no-PF.

Este formulario no es válido. Si no se puede decir si este formulario es válido, tal vez la invalidez sea más fácil de ver mediante el uso de una analogía lógica. Aquí hay un argumento análogo que también es inválido:

Si es un gato de la casa, entonces es un felino.
Si es un felino, entonces es un mamífero.
Entonces, si no es un gato de la casa, entonces no es un mamífero.

2 No es válido. Aquí está la forma: Si PVC entonces FC. Si FC entonces PF. Entonces, Si no es PVC entonces no-PF.

6 Válido.

7 Sí.

8 El formulario es válido, y cualquier argumento específico con esa forma también es válido.

12 Este es un ejemplo de razonamiento válido, y sigue siendo válido aunque supieras que una de las premisas es falsa.

16 Válido porque su forma sentencial es modus tollens. El argumento es superficialmente inválido pero en realidad es válido cuando el principio de la caridad se utiliza de estas dos maneras: (1) decir que la conclusión es lógicamente equivalente a “Einstein no está vivo”, y (2) agregar la premisa implícita de que el departamento de física de la Universidad de Princeton en Nueva Jersey no es afectados por la presencia de Einstein.

17 No. Este argumento tiene la forma inválida llamada negando el antecedente. En una situación en la que A es falsa y B es verdadera, tenemos un contraejemplo porque entonces el argumento tiene verdaderas premisas y una conclusión falsa.

La lógica de solo, solo si y menos

1 Respuesta (e).

3 Respuesta (e).

5 Respuesta (e). Sería cierto decir “x es par a menos que x sea impar”. Agregar el no hace que (e) no quepa en la pieza en blanco.

11 i) Respuesta b). La frase solo si funciona como si-entonces en el sentido de que “La investigación se justifica solo si el empleado tiene comprensión” es lógicamente equivalente a “Si la indagación está justificada, entonces el empleado tiene comprensión”. Tenga en cuenta que la declaración (i) es lo contrario de esto, a saber, “Si el empleado tiene entendimiento, entonces se justifica la indagación”. En consecuencia, el inciso i) no se desprende del enunciado que contiene el único si, razón por la cual la respuesta es b).

14 Sí. El primero es equivalente a “No-A o B.” El segundo equivale a “A implica B.” Estos dos son equivalentes entre sí.