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# Sección 5: Sentencias de QL

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En esta sección, proporcionamos una deﬁnición formal para una fórmula bien formada (w) y una oración de QL.

## Expresiones

Hay seis tipos de símbolos en QL:

 predicados con subíndices, según sea necesario $$A$$,$$B$$,$$C$$,... ,$$Z$$ $$A$$1,$$B$$ 1,$$Z$$ 1,$$A$$ 2,$$A$$ 25,$$J$$ 375,... constantes con subíndices, según sea necesario $$a$$,$$b$$,$$c$$,... ,$$w$$ $$a$$1,$$w$$ 4,$$h$$ 7,$$m$$ 32,... variables con subíndices, según sea necesario $$x$$,$$y$$,$$z$$ $$x$$1,$$y$$ 1,$$z$$ 1,$$x$$ 2,... conectivos ¬, &, ricardo, →, ↔ paréntesis (,) cuantificadores ,

Deﬁne una expresión de Ql como cualquier cadena de símbolos de QL. Toma cualquiera de los símbolos de QL y escríbelos, en cualquier orden, y tienes una expresión.

Por deﬁnición, un término de ql es una constante o una variable.

Una fórmula atómica de ql es un predicado n-place seguido de n términos.

Así como lo hicimos para SL, daremos una deﬁnición recursiva para una w de QL. De hecho, la mayor parte de la deﬁnición se verá como la deﬁnición de para un w de SL: Cada fórmula atómica es un w, y se pueden construir nuevos ws aplicando los conectivos sentenciales.

Podríamos simplemente agregar una regla para cada uno de los cuantificadores y terminar con ella. Por ejemplo: Si$$\mathcal{A}$$ es un w, entonces ∀x$$\mathcal{A}$$ y x$$\mathcal{A}$$ son ws. Sin embargo, esto permitiría oraciones extrañas como ∀xxDx y ∀xDW. ¿Qué podrían significar estos? Podríamos adoptar alguna interpretación de tales frases, pero en su lugar escribiremos la deﬁnición de un wpara que tales abominaciones ni siquiera cuenten como bien formadas.

Para$$\mathcal{A}$$ que ∀x sea un w,$$\mathcal{A}$$ debe contener la variable x y no debe contener ya un cuantificador x. ∀xDW no contará como un wporque 'x' no ocurre en Dw, y ∀xxDx no contará como un wporque xDx contiene un cuantificador x

1. Toda fórmula atómica es un w.
2. Si$$\mathcal{A}$$ es un w, entonces ¬$$\mathcal{A}$$ es un w.
3. Si$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son ws, entonces ($$\mathcal{A}$$&$$\mathcal{B}$$), es un w.
4. Si$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son ws, ($$\mathcal{A}$$45°$$\mathcal{B}$$) es un w.
5. Si$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son ws, entonces ($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) es un w.
6. Si$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son ws, entonces ($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) es un w.
7. Si$$\mathcal{A}$$ es un w,$$\mathcal{x}$$ es una variable,$$\mathcal{A}$$ contiene al menos una ocurrencia de$$\mathcal{x}$$, y no$$\mathcal{A}$$ contiene$$\mathcal{x}$$ -cuantificadores, entonces ∀$$\mathcal{x}$$$$\mathcal{A}$$ es un w.
8. Si$$\mathcal{A}$$ es un w,$$\mathcal{x}$$ es una variable,$$\mathcal{A}$$ contiene al menos una ocurrencia de$$\mathcal{x}$$, y no$$\mathcal{A}$$ contiene$$\mathcal{x}$$ -cuantificadores, entonces$$\mathcal{x}$$$$\mathcal{A}$$ es un w.
9. Todas y solo las WF de QL pueden ser generadas por las aplicaciones de estas reglas.

Observe que el$$\mathcal{x}$$ '' que aparece en la deﬁnición anterior no es la variable$$x$$. Es una metavariable que representa cualquier variable de QL. Entonces, ∀$$xAx$$ es un w, pero también lo son ∀$$yAy$$, ∀$$zAz$$, ∀$$x$$ 4$$Ax$$ 4, y ∀$$z$$ 9$$Az$$ 9.

Ahora podemos dar una deﬁnición formal para el alcance: El alcance de un cuantificador es la subfórmula para la que el cuantificador es el operador lógico principal.

## Sentencias

Una oración es algo que puede ser verdadero o falso. En SL, cada wera una sentencia. Este no será el caso en QL. Considere la siguiente clave de simbolización:

UD: gente
Lxy:$$x$$ ama$$y$$
b: Boris

Considera la expresión$$Lzz$$. Se trata de una forúmula atómica: un predicado de dos lugares seguido de dos términos. Todas las fórmulas atómicas son ws, así$$Lzz$$ es un w. ¿Significa algo? Se podría pensar que significa que se$$z$$ ama a sí mismo, de la misma manera que eso$$Lbb$$ significa que Boris se ama a sí mismo. Sin embargo,$$z$$ es una variable; no nombra a alguna persona como lo haría una constante. El$$Lzz$$ wno nos dice cómo interpretar$$z$$. ¿Significa todo el mundo? ¿alguien? alguien? Si tuviéramos un$$z$$ -cuantificador, nos diría cómo interpretar$$z$$. Por ejemplo,$$zLzz$$ significaría que alguien se ama a sí mismo.

Algunos lenguajes formales tratan a un$$Lzz$$ wcomo tener implícitamente un cuantificador universal al frente. No vamos a hacer esto por QL. Si quieres decir que todos se aman a sí mismos, entonces necesitas escribir el cuantificador: ∀$$zLzz$$ Para darle sentido a una variable, necesitamos un cuantificador que nos diga cómo interpretar esa variable. El alcance de un$$x$$ -cuantificador, por ejemplo, es la parte de la fórmula donde el cuantificador dice cómo interpretar$$x$$.

Para ser precisos sobre esto, determinamos que una variable enlazada es una ocurrencia de una variable$$\mathcal{x}$$ que está dentro del alcance de un$$\mathcal{x}$$ -cuantificador. Una variable libre es una aparición de una variable que no está vinculada.

Por ejemplo, considérese el$$x$$$$Ex$$ w($$Dy$$) →$$z$$ ($$Ex$$$$Lzx$$). El alcance del cuantificador universal ∀$$x$$ es (ʼ$$Ex$$$$Dy$$), por lo que el primero$$x$$ está ligado por el cuantificador universal pero el segundo y tercer$$x$$ s son libres. No hay$$y$$ -cuantiﬁer, entonces el$$y$$ es gratis. El alcance del cuantificador existencial$$z$$ es ($$Ex$$$$Lzx$$), por lo que ambas ocurrencias de$$z$$ están ligadas por él.

Deﬁne una frase de QL como una wde QL que no contiene variables libres.

## Convenciones notacionales

Vamos a adoptar las mismas convenciones notacionales que hicimos para SL (p. 30.) Primero, podemos dejar los paréntesis más externos de una fórmula. Segundo, usaremos corchetes '[' y ']' en lugar de paréntesis para aumentar la legibilidad de las fórmulas. Tercero, dejaremos fuera paréntesis entre cada par de conjunciones al escribir series largas de conjunciones. Cuarto, dejaremos fuera paréntesis entre cada par de disjuntos al escribir largas series de disyunciones.

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