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Considera esta frase:

35. Pavel le debe dinero a todos los demás.

Que la UD sea gente; esto nos permitirá traducir 'todos' como cuantificador universal. Que$$Oxy$$ signifique '$$x$$le debe dinero a$$y$$', y que$$p$$ signifique Pavel. Ahora podemos simbolizar la oración 35 como p$$xOpx$$. Desafortunadamente, esta traducción tiene algunas consecuencias extrañas. Dice que Pavel le debe dinero a cada miembro de la UD, incluido Pavel; implica que Pavel se debe dinero a sí mismo. No obstante, la sentencia 35 no dice que Pavel se deba dinero a sí mismo; le debe dinero a todos los demás. Esto es un problema, porque a$$xOpx$$ es la mejor traducción que podemos dar de esta frase a QL.

La solución es agregar otro símbolo a QL. El símbolo '=' es un predicado de dos lugares. Como tiene un significado lógico especial, lo escribimos un poco diferentemente: Para dos términos$$t$$ 1 y$$t$$ 2,$$t$$ 1 =$$t$$ 2 es una fórmula atómica.

El predicado$$x$$ =$$y$$ significa '$$x$$es idéntico a$$y$$.' Esto no significa simplemente eso$$x$$ y$$y$$ son indistinguibles o que todos los mismos predicados sean ciertos de ellos. Más bien, significa eso$$x$$ y$$y$$ son lo mismo.

Cuando escribimos$$x$$$$y$$, queremos decir eso$$x$$ y no$$y$$ somos idénticos. No hay razón para introducir esto como predicado adicional. En cambio,$$x$$$$y$$ es una abreviatura de ¬ ($$x$$=$$y$$).

Ahora supongamos que queremos simbolizar esta frase:

36. Pavel es el señor Checkov.

Que la constante$$c$$ signifique señor Checkov. La oración 36 puede simbolizarse como$$p$$ =$$c$$. Esto quiere decir que las constantes$$p$$ y$$c$$ ambas se refieren al mismo tipo.

Todo esto está bien, pero ¿cómo ayuda con la sentencia 35? Esa frase se puede parafrasear como: 'A todo el que no es Pavel se le debe dinero por Pavel'. Esta es una estructura de oraciones que ya sabemos simbolizar: 'Para todos$$x$$, si no$$x$$ es Pavel, entonces$$x$$ se le debe dinero por Pavel'. En QL con identidad, esto se convierte en$$x$$ α ($$x$$$$p$$$$Opx$$).

Además de las oraciones que usan la palabra 'else', la identidad será útil a la hora de simbolizar algunas oraciones que contienen las palabras 'además de' y 'solo'. Considera estos ejemplos:

38. Sólo Pavel le debe dinero a Hikaru.

A nosotros le sumamos la constante$$h$$, lo que significa Hikaru.

La sentencia 37 puede parafrasearse como: 'Nadie que no sea Pavel le debe dinero a Hikaru'. Esto puede traducirse como$$x$$ ¬($$x$$$$p$$ &$$Oxh$$).

La sentencia 38 puede parafrasearse como, 'Pavel le debe a Hikaru y nadie además de Pavel le debe dinero a Hikaru'. Ya hemos traducido una de las conjunciones, y la otra es sencilla. La oración 38 se convierte en$$Oph$$$$x$$ &¬($$x$$$$p$$ &$$Oxh$$).

También podemos usar la identidad para decir cuántas cosas hay de un tipo particular. Por ejemplo, considera estas frases:

39. Hay al menos una manzana sobre la mesa.
40. Hay al menos dos manzanas sobre la mesa.
41. Hay al menos tres manzanas sobre la mesa.

Que la UD sea cosas sobre la mesa, y que Ax signifique '$$x$$es una manzana'.

La sentencia 39 no requiere identidad. Se puede traducir adecuadamente como$$xAx$$: Hay alguna manzana sobre la mesa —quizás muchas, pero al menos una.

Podría ser tentador traducir también la frase 40 sin identidad. Sin embargo, considere la$$x$$ oración$$y$$ ($$Ax$$&$$Ay$$). Significa que hay alguna manzana$$x$$ en la UD y alguna manzana$$y$$ en la UD. Dado que nada$$y$$ impide$$x$$ y escoger al mismo integrante de la UD, esto sería cierto aunque sólo hubiera una manzana. Para asegurarnos de que hay dos manzanas diferentes, necesitamos un predicado de identidad. La oración 40 necesita decir que las dos manzanas que existen no son idénticas, por lo que se puede traducir$$x$$ como$$y$$ ($$Ax$$&$$Ay$$ &$$x$$$$y$$).

La sentencia 41 requiere hablar de tres manzanas diferentes. Se puede traducir como$$z$$ ($$x$$&$$y$$ &$$Ax$$ &$$x$$$$Ay$$$$Az$$ & ≠$$y$$ &$$y$$$$z$$ &$$x$$$$z$$).

Continuando de esta manera, podríamos traducir 'Hay al menos$$n$$ manzanas sobre la mesa'. Hay un resumen de cómo simbolizar oraciones como estas en la p. 151.

Ahora considera estas frases:

42. Hay como máximo una manzana sobre la mesa.
43. Hay como máximo dos manzanas sobre la mesa.

La sentencia 42 puede parafrasearse como, 'No es el caso que haya al menos dos manzanas sobre la mesa'. Esto es solo la negación de la sentencia 40:

$$x$$$$y$$¬($$Ax$$ &$$Ay$$ &$$x$$$$y$$)

La sentencia 42 también puede abordarse de otra manera. Significa que cualquier manzana que haya sobre la mesa debe ser la misma manzana, por lo que puede traducirse como$$x$$$$y$$ [($$Ax$$&$$Ay$$) →$$x$$ =$$y$$]. Las dos traducciones son lógicamente equivalentes, por lo que ambas son correctas.

De manera similar, la oración 43 puede traducirse de dos maneras equivalentes. Se puede parafrasear como, 'No es el caso de que haya tres o más manzanas distintas', por lo que puede traducirse como la negación de la sentencia 41. Usando cuantificadores universales, también se puede traducir como

$$x$$$$z$$[$$y$$($$Ax$$&$$Ay$$ &$$Az$$) → ($$x$$=$$y$$$$x$$ =$$z$$$$y$$ =$$z$$)].

Los ejemplos anteriores son oraciones sobre manzanas, pero la estructura lógica de las oraciones traduce desigualdades matemáticas como$$a$$ ≥ 3,$$a$$ ≤ 2, y así sucesivamente. También queremos poder traducir declaraciones de igualdad que digan exactamente cuántas cosas hay. Por ejemplo:

44. Hay exactamente una manzana sobre la mesa.
45. Hay exactamente dos manzanas sobre la mesa.

La frase 44 puede parafrasearse como: 'Hay al menos una manzana sobre la mesa, y como mucho hay una manzana sobre la mesa'. Esta es solo la conjunción de la oración 39 y la oración 42:$$xAx$$$$x$$$$y$$ α [($$Ax$$&$$Ay$$) →$$x$$ =$$y$$]. Esta es una forma algo complicada de hacerlo. Quizás sea más sencillo parafrasear la frase 44 como, 'Hay una cosa que es la única manzana sobre la mesa'. Pensado de esta manera, la oración puede traducirse$$x$$ [$$Ax$$$$y$$&¬($$Ay$$ &$$x$$$$y$$)].

De igual manera, la frase 45 puede parafrasearse como: 'Hay dos manzanas diferentes sobre la mesa, y estas son las únicas manzanas sobre la mesa'. Esto se puede traducir como$$x$$$$y$$ [$$Ax$$&$$Ay$$ &$$x$$$$y$$$$z$$ &¬($$Az$$ &$$x$$$$y$$ &$$y$$$$z$$)].

Por último, considere esta frase:

46. Hay como máximo dos cosas sobre la mesa.

Podría ser tentador agregar un predicado así que eso$$Tx$$ significaría '$$x$$es una cosa sobre la mesa'. Sin embargo, esto es innecesario. Dado que la UD es el conjunto de cosas sobre la mesa, todos los integrantes de la UD están sobre la mesa. Si queremos hablar de algo sobre la mesa, solo necesitamos usar un cuantificador. La oración 46 puede simbolizarse como la oración 43 (que decía que había como máximo dos manzanas), pero dejando fuera el predicado por completo. Es decir, la oración 46 se puede traducir como [beta] [$$x$$[$$y$$beta] [$$x$$$$x$$=$$y$$] [eta$$z$$]$$z$$ ($$y$$=$$z$$).

Las técnicas para simbolizar expresiones de cantidad ('a lo máximo', 'al menos' y 'exactamente') se resumen en la p. 151.

## Descripciones de Deﬁnite

Recordemos que una constante de QL debe referirse a algún miembro de la UD. Esta restricción nos permite evitar el problema de términos no referidos. Ante un UD que incluía solo criaturas realmente existentes pero una constante$$c$$ que significaba 'quimera' (una criatura mítica), las oraciones que contenían$$c$$ serían imposibles de evaluar.

La solución más ampliamente influyente a este problema fue introducida por Bertrand Russell en 1905. Russell preguntó cómo deberíamos entender esta frase:

47. El actual rey de Francia es calvo.

Se supone que la frase 'el actual rey de Francia' escoge a un individuo por medio de una descripción deﬁnite. No obstante, no había rey de Francia en 1905 y ahora no hay ninguno. Dado que la descripción es un término no referencial, no podemos simplemente definir una constante para significar 'el actual rey de Francia' y traducir la oración como$$Kf$$.

La idea de Russell era que las oraciones que contienen descripciones definitivas tienen una estructura lógica diferente a las oraciones que contienen nombres propios, aunque compartan la misma forma gramatical. ¿Qué queremos decir cuando usamos una descripción sin problemas y de referencia, como 'el pico más alto en el estado de Washington'? Nos referimos a que hay tal pico, porque no podríamos hablar de ello de otra manera. También queremos decir que es el único pico de este tipo. Si hubiera otro pico en el estado de Washington exactamente de la misma altura que el Monte Rainier, entonces el Monte Rainier no sería el pico más alto.

Según este análisis, la frase 47 dice tres cosas. Primero, hace una afirmación de existencia: Hay algún rey actual de Francia. Segundo, hace una afirmación de singularidad: Este tipo es el único rey presente de Francia. Tercero, hace una afirmación de predicación: Este tipo es calvo.

Para simbolizar las descripciones de la definición de esta manera, necesitamos el predicado de identidad. Sin ella, no podríamos traducir la afirmación de singularidad que (según Russell) está implícita en la descripción deﬁnite.

Que la UD sea gente realmente viva, digamos$$Fx$$ '$$x$$es el actual rey de Francia', y dejar que$$Bx$$ signifique'$$x$$ es calvo '. La oración 47 puede entonces traducirse como$$x$$ [$$Fx$$$$y$$&¬($$Fy$$ &$$x$$$$y$$) &$$Bx$$]. Esto dice que hay algún tipo que es el actual rey de Francia, es el único rey presente de Francia, y es calvo.

Entendida de esta manera, la frase 47 es significativa pero falsa. Dice que este tipo existe, pero no lo hace.

El problema de los términos no referidos es más molesto cuando tratamos de traducir las negaciones. Así que considera esta frase:

48. El actual rey de Francia no es calvo.

Según Russell, esta frase es ambigua en inglés. Podría significar cualquiera de dos cosas:

48a. No es así que el actual rey de Francia sea calvo.
48b. El actual rey de Francia no es calvo.

Ambos significados posibles niegan la oración 47, pero ponen la negación en diferentes lugares.

La oración 48a se llama negación de amplio alcance, porque niega toda la oración. Se puede traducir como$$xFx$$$$y$$ ¬&¬($$Fy$$ &$$x$$$$y$$) &$$Bx$$. Esto no dice nada sobre el actual rey de Francia, sino que dice que alguna frase sobre el actual rey de Francia es falsa. Ya que la sentencia 47 si es falsa, la oración 48a es verdadera.

La sentencia 48b dice algo sobre el actual rey de Francia. Dice que le falta la propiedad de la calvicie. Al igual que la frase 47, hace un reclamo de existencia y un reclamo de singularidad; simplemente niega el reclamo de predicación. Esto se llama negación de alcance estrecho. Se puede traducir como$$xFx$$$$y$$ &¬($$Fy$$ &$$x$$$$y$$) &¬$$Bx$$. Como no existe un rey presente de Francia, esta frase es falsa.

La teoría de Russell sobre las descripciones deﬁnitas resuelve el problema de los términos no referidos y también explica por qué parecía tan paradójico. Antes de distinguir entre las negaciones de amplio alcance y de alcance estrecho, parecía que oraciones como 48 deberían ser tanto verdaderas como falsas. Al demostrar que tales frases son ambiguas, Russell demostró que son verdaderas entendidas de una manera pero falsas entendidas de otra manera.

Para una discusión más detallada de la teoría de Russell sobre las descripciones definitivas, incluidas las objeciones a la misma, véase la entrada 'descripciones' de Peter Ludlow en La enciclopedia de Stanford de la filosofía: edición de verano de 2005, editada por Edward N. Zalta, http://plato.stanford.edu/archives/s... /descripciones/

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