1.1: Desarrollo de un lenguaje preciso

1. Desarrollo de un lenguaje preciso

1.1 Comenzando con oraciones

Comenzamos el estudio de la lógica construyendo un lenguaje lógico preciso. Esto nos permitirá hacer al menos dos cosas: primero, decir algunas cosas con mayor precisión de lo que de otro modo podríamos hacer; segundo, estudiar el razonamiento. Usaremos un idioma natural, el inglés, como guía, pero nuestro lenguaje lógico será mucho más simple, mucho más débil, pero más riguroso que el inglés.

Debemos decidir por dónde empezar. Podríamos elegir casi cualquier parte del inglés para tratar de emular: nombres, adjetivos, preposiciones, sustantivos generales, etc. Pero es tradicional, y como veremos, bastante útil, comenzar con oraciones enteras. Por ello, el primer lenguaje que desarrollaremos se llama “la lógica proposicional”. También a veces se le llama “la lógica sentencial” o incluso “el cálculo sentencial”. Todos estos significan lo mismo: la lógica de las oraciones. En esta lógica proposicional, las partes independientes más pequeñas del lenguaje son las oraciones (a lo largo de este libro, asumiré que oraciones y proposiciones son lo mismo en nuestra lógica, y usaré los términos “oración” y “proposición” indistintamente).

Por supuesto, hay muchos tipos de oraciones. Para tomar ejemplos de nuestro lenguaje natural, estos incluyen:

¿Qué hora es?

Abre la ventana.

¡Maldito seas!

Prometo devolverte el dinero.

Llovió en Central Park el 26 de junio de 2015.

Podríamos multiplicar tales ejemplos. Las oraciones en inglés se pueden usar para hacer preguntas, dar órdenes, maldecir o insultar, formar contratos y expresar emociones. Pero, el último ejemplo anterior es de especial interés porque pretende describir al mundo. Tales frases, que a veces se denominan “oraciones declarativas”, serán nuestras oraciones modelo para nuestro lenguaje lógico. Conocemos una sentencia declarativa cuando la encontramos porque puede ser verdadera o falsa.

1.2 Precisión en oraciones

Queremos que nuestra lógica de oraciones declarativas sea precisa. Pero, ¿qué significa esto? Podemos ayudar a aclarar cómo podríamos perseguir esto al mirar oraciones en un lenguaje natural que son desconcertantes, aparentemente porque no son precisas. Aquí hay tres.

Tom es un poco alto.

Cuando Karen tuvo un bebé, su madre le dio un bolígrafo.

Esta frase es falsa.

Ya hemos observado que una característica importante de nuestras sentencias declarativas es que pueden ser verdaderas o falsas. A esto lo llamamos el “valor de verdad” de la oración. Estas tres frases son desplejas porque sus valores de verdad no están claros. La primera frase es vaga, no está claro bajo qué condiciones sería verdad, y bajo qué condiciones sería falsa. Si Tom mide seis pies de altura, ¿es un poco alto? No hay una respuesta clara. La segunda frase es ambigua. Si “pluma” significa escribir implemento, y la madre de Karen compró un corralito para el bebé, entonces la sentencia es falsa. Pero hasta que sepamos lo que significa “pluma” en esta frase, no podemos decir si la oración es cierta.

La tercera frase es extraña. Muchos logísticos han pasado muchos años estudiando esta frase, que tradicionalmente se llama “el mentiroso”. Se relaciona con una vieja paradoja sobre un cretense que decía: “Todos los cretenses son mentirosos”. Lo extraño del Mentiroso es que su valor de verdad parece explotar. Si es verdad, entonces es falso. Si es falso, entonces es verdad. Algunos filósofos piensan que esta frase no es, por tanto, ni verdadera ni falsa; algunos filósofos piensan que es a la vez verdadera y falsa. En cualquier caso, es confuso. ¿Cómo podría una oración que parece una sentencia declarativa tener ambos o ningún valor de verdad?

Desde la antigüedad, los filósofos han creído que nos engañaremos a nosotros mismos, y llegaremos a creer falsedades, si no aceptamos un principio a veces llamado “bivalencia”, o un principio relacionado llamado “el principio de no contradicción”. La bivalencia es la visión de que sólo hay dos valores de verdad (verdadero y falso) y que se excluyen entre sí. El principio de no contradicción establece que usted ha cometido un error si ambos hacen valer y niegan una reclamación. Uno u otro de estos principios parece ser violado por el Mentiroso.

Podemos tomar estas observaciones para nuestra guía: queremos que nuestro lenguaje no tenga vaguedad ni ambigüedad. En nuestra lógica proposicional, esto significa que queremos que sea el caso de que cada oración sea verdadera o falsa. No será algo cierto, o parcialmente cierto, o cierto desde una perspectiva y no cierto desde otra. También queremos evitar cosas como el Mentiroso. No necesitamos ponernos de acuerdo sobre si el Mentiroso es verdadero y falso, o ni verdadero ni falso. O sería lamentable. Entonces, especificaremos que nuestras sentencias no tienen ni vicio.

Podemos formular nuestra propia versión revisada del principio de bivalencia, que establece que:

Principio de Bivalencia: Cada frase de nuestra lengua debe ser verdadera o falsa, no ambas, ni tampoco.

Este requisito puede sonar trivial, pero de hecho constriñe lo que hacemos a partir de ahora de formas interesantes e incluso sorprendentes. Aun cuando construyamos lenguajes lógicos más complejos posteriormente, este principio será fundamental.

Algunos lectores pueden estar pensando: ¿y si rechazo la bivalencia, o el principio de no contradicción? Hay una larga fila de filósofos que quisieran discutir contigo, y proponer que cualquiera de los dos movimientos sería un error, y tal vez incluso incoherente. Dejen esos argumentos a un lado. Si tienes dudas sobre la bivalencia, o el principio de no contradicción, apégate a la lógica. Eso es porque podríamos desarrollar una lógica en la que hubiera más de dos valores de verdad. Se han creado y estudiado lógicas en las que permitimos tres valores de verdad, o valores continuos de verdad, o posibilidades extrañas. El tema para nosotros es que debemos comenzar por alguna parte, y el principio de bivalencia es una forma intuitiva y —parecería— la forma más sencilla de comenzar con respecto a los valores de la verdad. Aprende primero la lógica básica y luego puedes explorar estas alternativas.

Esto nos señala un rasgo importante, y quizás un misterio, de la lógica. En parte, lo que nos muestra un lenguaje lógico son las consecuencias de nuestras suposiciones. Eso puede sonar trivial, pero, de hecho, es cualquier cosa menos. A partir de suposiciones muy simples, descubriremos nuevos, y en última instancia impactantes, hechos. Entonces, si alguien quiere estudiar un lenguaje lógico donde rechacemos el principio de bivalencia, puede hacerlo. La diferencia entre lo que están haciendo, y lo que haremos nosotros en los capítulos siguientes, es que descubrirán las consecuencias de rechazar el principio de bivalencia, mientras que descubriremos las consecuencias de adherirse a él. En cualquier caso, sería prudente aprender primero la lógica tradicional, antes de intentar estudiar o desarrollar una lógica alternativa.

Debemos señalar en este punto que no vamos a tratar de explicar lo que significan “verdadero” y “falso”, aparte de decir que “falso” significa no verdadero. Cuando agregamos algo a nuestro idioma sin explicar su significado, lo llamamos un “primitivo”. Los filósofos han hecho mucho para tratar de entender qué es la verdad, pero sigue siendo bastante difícil definir la verdad de alguna manera que no sea polémica. Afortunadamente, tomar la verdad como primitivo no nos meterá en problemas, y parece poco probable que haga misteriosa la lógica. Todos tenemos alguna comprensión de lo que significa “verdadero”, y esta comprensión será suficiente para nuestro desarrollo de la lógica proposicional.

1.3 Oraciones atómicas

Nuestro lenguaje se ocupará de las oraciones declarativas, oraciones que sean verdaderas o falsas, nunca ambas, y nunca tampoco. Aquí hay algunas frases de ejemplo.

2+2=4.

Malcolm Little es alto.

Si Lincoln gana la elección, entonces Lincoln será Presidente.

La Tierra no es el centro del universo.

Todas estas son sentencias declarativas. Todos estos parecen satisfacer nuestro principio de bivalencia. Pero difieren en formas importantes. Las dos primeras frases no tienen oraciones como partes. Por ejemplo, intenta romper la primera oración. “2+2” es una función. “4” es un nombre. “=4” es un fragmento sin sentido, al igual que “2+”. Sólo toda la expresión, “2+2=4”, es una oración con un valor de verdad. La segunda frase es similar en este sentido. “Malcolm Little” es un nombre. “es alto” es una frase adjetiva (descubriremos más adelante que los lógicos llaman a esto un “predicado”). “Malcolm Little is” o “is tall” son fragmentos, no tienen valor de verdad. ^[2] Sólo “Malcolm Little is tall” es una oración completa.

Las dos primeras frases de ejemplo anteriores son de un tipo que llamamos “oraciones atómicas”. La palabra “átomo” proviene de la antigua palabra griega “atomos”, lo que significa que no se puede cortar. Cuando los antiguos griegos razonaban sobre la materia, por ejemplo, algunos de ellos creían que si tomabas alguna sustancia, digamos una roca, y la cortabas en pedazos, luego cortabas las piezas en pedazos, y así sucesivamente, eventualmente llegarías a algo que no se podía cortar. Esto sería lo más pequeño posible. (El hecho de que ahora hablemos de haber “dividido el átomo” simplemente va a demostrar que cambiamos el significado de la palabra “átomo”. Llegamos a usarlo como nombre para un tipo particular de cosas, que luego resultaron tener partes, como electrones, protones y neutrones). En lógica, la idea de una oración atómica es de una oración que no puede tener partes que sean oraciones.

Al razonar sobre estas oraciones atómicas, podríamos seguir usando el inglés. Pero por razones que se aclaran a medida que avanzamos, hay muchas ventajas en idear nuestra propia forma de escribir nuestras oraciones. Es tradicional en lógica usar letras mayúsculas de P on (P, Q, R, S...) para representar oraciones atómicas. Así, en lugar de escribir

Malcolm Little es alto.

Podríamos escribir

P

Si queremos saber cómo traducir P al inglés, podemos proporcionar una clave de traducción. Del mismo modo, en lugar de escribir

Malcolm Little es un gran orador.

Podríamos escribir

Q

Y así sucesivamente. Por supuesto, escrito de esta manera, todo lo que podemos ver de tal oración es que se trata de una oración, y que quizás P y Q son oraciones diferentes. Pero por ahora, estos serán suficientes.

Tenga en cuenta que no todas las oraciones son atómicas. La tercera oración de nuestros cuatro ejemplos anteriores contiene partes que son oraciones. Contiene la frase atómica, “Lincoln gana la elección” y también la frase atómica, “Lincoln será presidente”. Podríamos representar toda esta frase con una sola letra. Es decir, podríamos dejar

Si Lincoln gana la elección, Lincoln será presidente.

estar representado en nuestro lenguaje lógico por

S

No obstante, esto tendría la desventaja de que ocultaría algunas de las frases que están dentro de esta oración, y también ocultaría su relación. Nuestro lenguaje nos diría más si pudiéramos capturar la relación entre las partes de esta oración, en lugar de ocultarlas. Esto lo haremos en el capítulo 2.

1.4 Sintaxis y semántica

Un principio importante y útil para entender un lenguaje es la diferencia entre sintaxis y semántica. “Sintaxis” se refiere a la “forma” de una expresión en nuestro lenguaje. No se ocupa de lo que significan los elementos del lenguaje, sino que solo especifica cómo se pueden escribir.

Podemos hacer una distinción similar (aunque no exactamente la misma) en un lenguaje natural. Esta expresión en inglés tiene un significado incierto, pero tiene la “forma” correcta para ser una oración:

Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente.

Es decir, en inglés, esta frase es sintácticamente correcta, aunque puede expresar algún tipo de error de significado.

Una expresión hecha con las partes de nuestro lenguaje debe tener la sintaxis correcta para que sea una oración. A veces, también llamamos a una expresión con la forma sintáctica correcta una “fórmula bien formada”.

Contrastamos la sintaxis con la semántica. “Semántica” se refiere al significado de una expresión de nuestra lengua. La semántica depende de la relación de ese elemento del lenguaje con otra cosa. Por ejemplo, el valor de verdad de la oración, “La Tierra tiene una luna” depende no del idioma inglés, sino de algo exterior al idioma. Dado que los elementos autónomos de nuestra lógica proposicional son las oraciones, y la propiedad más importante de éstas es su valor de verdad, la única característica semántica de las oraciones que nos preocuparán en nuestra lógica proposicional es su valor de verdad.

Siempre que introduzcamos un nuevo elemento en la lógica proposicional, especificaremos su sintaxis y su semántica. En la lógica proposicional, la sintaxis es generalmente trivial, pero la semántica lo es menos. Hasta ahora hemos introducido oraciones atómicas. La sintaxis de una oración atómica es trivial. Si P es una oración atómica, entonces es sintácticamente correcto escribir

P

Al decir que esto es sintácticamente correcto, no estamos diciendo que P sea cierto. Más bien, estamos diciendo que P es una oración.

Si la semántica en la lógica proposicional se refiere únicamente al valor de la verdad, entonces sabemos que solo hay dos valores semánticos posibles para P; puede ser verdadero o falso. Tenemos una forma de escribir esto que luego resultará útil. Se le llama una “tabla de la verdad”. Para una oración atómica, la tabla de la verdad es trivial, pero cuando miramos otro tipo de oraciones sus tablas de verdad serán más complejas.

La idea de una tabla de verdad es describir las condiciones en las que una oración es verdadera o falsa. Esto lo hacemos identificando todas las oraciones atómicas que componen esa oración. Entonces, en el lado izquierdo, estipulamos todos los posibles valores de verdad de estas oraciones atómicas y las escribimos. Del lado derecho, entonces identificamos bajo qué condiciones la oración (que se compone de las otras oraciones atómicas) es verdadera o falsa.

La idea es que la oración de la derecha depende de la (s) oración (s) de la izquierda. Entonces la tabla de la verdad se llena así:

Sentencia (s) atómica (s) que componen la oración dependiente a la derecha	Sentencia dependiente compuesta por las oraciones atómicas de la izquierda
Todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las oraciones atómicas que componen	Valores de verdad resultantes para cada combinación posible de valores de verdad de las oraciones atómicas que componen

Estipulamos todos los posibles valores de verdad en la parte inferior izquierda porque la lógica proposicional por sí sola no determinará si una oración atómica es verdadera o falsa; así, simplemente tendremos que considerar ambas posibilidades. Tenga en cuenta que hay muchas maneras en que una oración atómica puede ser verdadera, y hay muchas maneras en que puede ser falsa. Por ejemplo, la frase “Tom es estadounidense” podría ser cierta si Tom nació en Nueva York, en Texas, en Ohio, y así sucesivamente. La sentencia podría ser falsa porque Tom nació de padres italianos en Italia, de padres franceses en Francia, y así sucesivamente. Entonces, agrupamos todos estos casos juntos en dos tipos de casos.

Estas son dos filas de la tabla de la verdad para una oración atómica. Cada fila de la tabla de la verdad representa una especie de manera que el mundo podría ser. Entonces aquí está el lado izquierdo de una tabla de verdad con una sola oración atómica, P. Escribiremos “T” para verdadero y “F” para falso.

P
T
F

Sólo hay dos tipos relevantes de formas en que puede ser el mundo, cuando estamos considerando la semántica de una oración atómica. El mundo puede ser una de las muchas condiciones tal que P es verdad, o puede ser una de las muchas condiciones tales que P es falso.

Para completar la tabla de verdad, colocamos la oración dependiente en la parte superior derecha y describimos su valor de verdad en relación con el valor de verdad de sus partes. Queremos identificar la semántica de P, que tiene sólo una parte, P. La tabla de la verdad tiene así la forma final:

P	P
T	T
F	F

Esta tabla de la verdad nos dice el significado de P, en la medida en que nuestra lógica proposicional nos puede decir al respecto. Así, nos da la semántica completa para P. (Como veremos más adelante, las tablas de verdad tienen tres usos: proporcionar la semántica para una especie de oración; determinar bajo qué condiciones una oración compleja es verdadera o falsa; y determinar si un argumento es bueno. Aquí estamos describiendo sólo este primer uso.)

En esta tabla de la verdad, la primera fila combinó todas las clases de formas en las que podría estar el mundo en la que P es verdad. En la segunda columna vemos que por todo este tipo de formas el mundo podría estar en el que P es cierto, como era de esperar, P es cierto. La segunda fila combina en conjunto todo tipo de formas en las que el mundo podría estar en las que P es falso. En esos, P es falso. Como señalamos anteriormente, en el caso de una oración atómica, la tabla de la verdad es trivial. No obstante, el concepto básico es muy útil, como comenzaremos a ver en el próximo capítulo.

Una última herramienta nos será útil. Estrictamente hablando, lo que hemos hecho anteriormente es dar la sintaxis y semántica para una oración atómica particular, P. Necesitamos una manera de hacer afirmaciones generales sobre todas las oraciones de nuestro lenguaje, y luego dar la sintaxis y semántica para cualquier oración atómica. Esto lo hacemos usando variables, y aquí usaremos letras griegas para esas variables, como Φ y ψ. Las cosas dichas usando estas variables se llama nuestro “metalenguaje”, que significa literalmente el lenguaje posterior, pero que tomamos como significado, nuestro lenguaje sobre nuestro idioma. La lógica proposicional particular que creamos se llama nuestro “lenguaje de objetos”. P y Q son frases de nuestro lenguaje objeto. Φ y ψ son elementos de nuestro metalenguaje. Para especificar ahora la sintaxis de las oraciones atómicas (es decir, de todas las oraciones atómicas) podemos decir: Si Φ es una oración atómica, entonces

Φ

es una sentencia. Esto nos dice que simplemente escribir Φ (cualquiera que sea la oración atómica que sea), como acabamos de hacer, es anotar algo que sea sintácticamente correcto.

Para especificar ahora la semántica de las oraciones atómicas (es decir, de todas las oraciones atómicas) podemos decir: Si Φ es una oración atómica, entonces la semántica de Φ viene dada por

Φ	Φ
T	T
F	F

Anote un punto importante y sutil. Las oraciones atómicas de nuestra lógica proposicional serán lo que denominamos oraciones “contingentes”. Una sentencia contingente puede ser verdadera o falsa. Veremos más adelante que algunas oraciones complejas de nuestra lógica proposicional deben ser ciertas, y algunas oraciones complejas de nuestra lógica proposicional deben ser falsas. Pero para la lógica proposicional, cada oración atómica es (hasta donde podemos decir usando solo la lógica proposicional) contingente. Esta observación importa porque ayuda mucho a aclarar dónde comienza la lógica, y dónde terminan los métodos de otra disciplina. Por ejemplo, supongamos que tenemos una oración atómica como:

La fuerza es igual a la masa por aceleración.

Rocas ígneas formadas bajo presión.

Alemania infló su moneda en 1923 para reducir su deuda de reparaciones.

La lógica no puede decirnos si estos son verdaderos o falsos. Pasaremos a los físicos, y usaremos sus métodos, para evaluar la primera afirmación. Volveremos a los geólogos, y usaremos sus métodos, para evaluar la segunda afirmación. Volveremos a los historiadores, y usaremos sus métodos, para evaluar la tercera afirmación. Pero el lógico puede decirle al físico, geólogo e historiador lo que se desprende de sus afirmaciones.

1.5 Problemas

1. La vaguedad surge cuando las condiciones bajo las cuales una oración puede ser verdadera son “difusas”. Es decir, en algunos casos, no podemos identificar si la sentencia es verdadera o falsa. Si decimos “Tom es alto”, esta frase es ciertamente cierta si Tom es la persona más alta del mundo, pero no está claro si es cierto si Tom mide 185 centímetros de altura. Identificar o crear cinco frases declarativas en inglés que sean vagas.
2. La ambigüedad suele surgir cuando una palabra o frase tiene varias interpretaciones distintas posibles. En nuestro ejemplo anterior, la palabra “pluma” podría significar ya sea un implemento de escritura o una estructura para sostener a un niño. Una frase que incluya “pluma” podría ser ambigua, en cuyo caso podría ser cierta para una interpretación y falsa para otra. Identificar o crear cinco oraciones declarativas en inglés que sean ambiguas. (Esto probablemente requerirá que identifiques un homónimo, una palabra que tiene más de un significado pero suena o se escribe igual. Si estás perplejo, considera la jerga: muchos términos del argot son ambiguos porque redefinen las palabras existentes. Por ejemplo, en la década de 1980, en algunas comunidades y contextos, decir algo era “malo” significaba que era bueno; esto obviamente puede crear frases ambiguas.)
3. A menudo podemos precisar una frase vaga definiendo una interpretación específica del significado de un adjetivo, término u otro elemento del lenguaje. Por ejemplo, podríamos hacer precisa la frase “Tom es alto” especificando a una persona a la que se hace referencia por “Tom”, y también definiendo “... es alto” como cierto para cualquiera de 180 centímetros de altura o más alto. Para cada una de las cinco frases vagas que identificaste o creaste para el problema 1, describe cómo la interpretación de ciertos elementos de la oración podría hacer que la oración dejara de ser vaga.
4. A menudo podemos precisar una oración ambigua especificando cuál de los posibles significados pretendemos utilizar. Podríamos hacer que la frase “Tom está por la pluma” sea inequívoca especificando a qué Tom nos referimos, y también definiendo “pluma” para que signifique un bolígrafo infantil. Para cada una de las cinco frases ambiguas que identificaste o creaste para el problema 2, identifica y describe cómo la interpretación de ciertos elementos de la oración podría hacer que la oración dejara de ser ambigua.
5. Crea cinco ejemplos propios de frases en inglés que no sean oraciones declarativas. (Los ejemplos pueden incluir comandos, exclamaciones y promesas).

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[2] Aquí hay un tema complejo que discutiremos más adelante. Pero, en resumen: “es” es ambiguo; tiene varios significados. “Malcolm Little is” es una frase si se pretende hacer valer la existencia de Malcolm Little. El “es” que aparece en la frase, “Malcolm Little es alto”, sin embargo, es lo que llamamos el “'es' de la predicación”. En esa frase, “es” se utiliza para afirmar que Malcolm Little tiene una propiedad (la propiedad de ser alto); y aquí “es alto” es lo que estamos llamando un “predicado”. Entonces, el “es” de la predicación no tiene un significado claro cuando aparece sin el resto del predicado; no afirma la existencia.