1.10: Resumen de la Lógica Proposicional

10. Resumen de Propositional Logic

10.1 Elementos del lenguaje

• Principio de Bivalencia: cada oración es verdadera o falsa, nunca ambas, nunca tampoco.
• Cada oración atómica es una oración.
• Sintaxis: si Φ y ψ son oraciones, entonces las siguientes son también oraciones
  • ¬ Φ
  • (Φ → ψ)
  • (Φ ^ ψ)
  • (Φ v ψ)
  • (Φ ↔ ψ)
• Semántica: si Φ y ψ son oraciones, entonces los significados de los conectivos están plenamente dados por sus tablas de verdad. Estas tablas de verdad son:

Φ	¬Φ
T	F
F	T

Φ	ψ	(Φ→ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Φ	ψ	(Φ ^ ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Φ	ψ	(Φ v ψ)
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Φ	ψ	(Φ ↔ ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

• Una frase de la lógica proposicional que debe ser cierta es una tautología.
• Una sentencia que debe ser falsa es una sentencia contradictoria.
• Una sentencia que no es ni tautología ni sentencia contradictoria es una sentencia contingente.
• Dos oraciones Φ y ψ son equivalentes, o lógicamente equivalentes, cuando (Φ ↔ ψ) es un teorema.

10.2 Razonamiento con el lenguaje

• Un argumento es una lista ordenada de oraciones, una frase de la que llamamos la “conclusión” y las otras de las que llamamos las “premisas”.
• Un argumento válido es un argumento en el que: necesariamente, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera.
• Un argumento sólido es un argumento válido con verdaderas premisas.
• Las reglas de inferencia nos permiten anotar una oración que debe ser cierta, asumiendo que ciertas otras oraciones son ciertas. Decimos que la nueva oración es “derivada de” esas otras oraciones que utilizan la regla de inferencia.
• Esquemáticamente, podemos escribir las reglas de inferencia de la siguiente manera (piense en estas como diciendo, si ha escrito la (s) oración (s) encima de la línea, entonces puede escribir la oración debajo de la línea):

Modus ponens	Modus tollens	Doble negación	Doble negación
(Φ→ψ) Φ _____ ψ	(Φ→ψ) ¬ψ _____ ¬Φ	Φ _____ ¬¬Φ	¬¬Φ _____ Φ
Adición	Adición	Modus tollendo ponens	Modus tollendo ponens
Φ _____ (Φ v ψ)	ψ _____ (Φ v ψ)	(Φ v ψ) ¬Φ _____ ψ	(Φ v ψ) ¬ψ _____ Φ
Adjunción	Simplificación	Simplificación	Bicondición
Φ ψ _____ (Φ ^ ψ)	(Φ ^ ψ) _____ Φ	(Φ ^ ψ) _____ ψ	(Φ→ψ) (^→Φ) _____ (Φ ↔ ψ)
Equivalencia	Equivalencia	Equivalencia	Equivalencia
(Φ ↔ ψ) Φ _____ ψ	(Φ ↔ ψ) ψ _____ Φ	(Φ ↔ ψ) ¬Φ _____ ¬ψ	(Φ ↔ ψ) ¬ψ _____ ¬Φ

• Una prueba (o derivación) es un método sintáctico para mostrar que un argumento es válido. Nuestro sistema cuenta con tres tipos de prueba (o derivación): directa, condicional e indirecta.
• Una prueba directa (o derivación directa) es una lista ordenada de oraciones en la que cada oración es una premisa o se deriva de líneas anteriores usando una regla de inferencia. La última línea de la prueba es la conclusión.
• Una prueba condicional (o derivación condicional) es una lista ordenada de oraciones en la que cada oración es una premisa, es la suposición especial para la derivación condicional, o se deriva de líneas anteriores usando una regla de inferencia. Si la suposición para la derivación condicional es Φ, y derivamos como algún paso en la prueba ψ, entonces podemos escribir después de esto (Φ → ψ) como nuestra conclusión.
• Una prueba indirecta (o derivación indirecta, y también conocida como reductio ad absurdum) es: una lista ordenada de oraciones en la que cada oración es 1) una premisa, 2) la suposición especial para la derivación indirecta (también llamada a veces la “suposición para reductio”), o 3) derivada de líneas anteriores usando un regla de inferencia. Si nuestra suposición para la derivación indirecta es ¬ Φ, y derivamos como algún paso en la prueba ψ y también como algún paso de nuestra prueba ¬ ψ, entonces concluimos que Φ.
• Podemos usar barras Fitch para escribir los tres esquemas de prueba de la siguiente manera:

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\ [\ fitchctx {\ subproof {\ pline {\ phi}} {\ elipsesline\\ pline {\ psi}}\ fpline {(\ phi\ lif\ psi)}}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-formato automático” height="139" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...973707f_l3.png "/>

\ [\ fitchctx {\ subproof {\ pline {\ lnot\ phi}} {\ elipsesline\\ pline {\ psi}\\ pline {\ lnot\ psi}}\ fpline {\ phi}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-formato” height="161" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...8d20cfa_l3.png "/>

• Una frase que podemos probar sin premisas es un teorema.
• Supongamos que Φ es un teorema, y contiene las oraciones atómicas P 1... P n. Si reemplazamos todas y cada una de las ocurrencias de una de esas oraciones atómicas P i en Φ por otra oración ψ, la oración resultante también es un teorema. Esto se puede repetir para cualquier oración atómica en el teorema.