2.2: “Todos” y “algunos”

12. “Todos” y “algunos”

12.1 El reto de traducir “todos” y “algunos”

Todavía no somos capaces de traducir completamente el argumento de Aristóteles. Comenzó:

Todos los hombres son mortales.

¿Qué significa este “todo”?

Empecemos con un ejemplo más sencillo. Supongamos que por un momento consideramos la frase

Todo es mortal.

O, equivalentemente,

Todo es mortal.

¿Cómo debemos entender este “todo” o “todo”? Este es un rompecabezas que dejó perplejo a muchas generaciones de logísticos. El motivo es que, al principio, parece obvio cómo manejar este caso. “Todos”, se podría concluir, es un nombre especial. Es un nombre para todo en mi dominio del discurso. Entonces podríamos introducir un nombre especial para esto, con la siguiente clave de traducción.

ε: todos (o todo)

M x: x es mortal

Y, así traducimos la frase

M ε

Hasta el momento, tan bien. Pero ahora, ¿qué pasa con nuestra primera frase? Vamos a agregar a nuestra clave de traducción

H x: x es humano

Ahora, ¿cómo traduciremos “todos los hombres son mortales”? La mayoría de los filósofos piensan que esto debería ser capturado con un condicional (veremos por qué a continuación), pero mira esta frase:

(H ε →M ε)

Eso no capta en absoluto lo que pretendíamos decir. Esa frase dice: si todo es humano, entonces todo es mortal. Queremos decir justamente que todos los humanos son mortales.

Usar un conectivo diferente no ayudará.

(H ε ^ M ε)

(H ε v M ε)

(H ε ↔ M ε)

Todos estos no logran decir lo que queremos decir. El primero dice que todo es humano y que todo es mortal. El segundo, que todo es humano o todo es mortal. El tercero que todo es humano si y sólo si todo es mortal.

El problema es aún peor para otra palabra que parece bastante similar en su uso a “todos”: la palabra “algunos”. Esta frase es seguramente cierta:

Algunos hombres son mortales.

Supongamos que tratamos a “algunos” como un nombre, ya que también parece actuar como uno. Podríamos tener una clave como esta:

σ: algunos

Y supongamos, por un momento, que esto significó, al menos una cosa en nuestro dominio del discurso. Y luego traducir nuestra frase de ejemplo, al menos como un primer intento, como

(H σ ^ M σ)

Esto dice que algunas cosas son humanas, y otras son mortales. Podría parecer que al principio funcionaba. Pero ahora consideremos una frase diferente.

Algunas cosas son humanas y otras son cangrejos.

Eso es cierto. Introduzcamos el predicado K x para x es un cangrejo. Entonces, parecería que deberíamos traducir esto

(H σ ^ K σ)

Pero eso no funciona. Para σ, si es un nombre, debe referirse a lo mismo. Pero, entonces algo es a la vez un humano y un cangrejo, lo cual es falso.

“Todos” y “algunos” son en realidad sutiles. Se ven y (de alguna manera) actúan como nombres, pero son diferentes a los nombres. Entonces, no debemos tratarlos como nombres.

ε: todos (o todo)

σ: algunos

Esto perplejo a muchos filósofos y matemáticos, pero finalmente un pensador muy profundo al que ya hemos mencionado —Gottlob Frege— quedó claro sobre lo que está sucediendo aquí, y desarrolló lo que hoy llamamos el “cuantificador”.

La perspicacia necesaria para el cuantificador es que necesitamos tratar a “todos” y “algunos” como operadores especiales que pueden “unir” o “llegar” potencialmente a varios de los lugares de arity en uno o más predicados. Para ver la idea, considera primero el caso más simple. Introducimos el símbolo p para todos. Sin embargo, también introducimos una variable, en este caso usaremos x para ser un tipo especial de soporte de lugar. (O: se podría pensar en [p] como significando cada y x como cosa que significa, y entonces [p] x significa todo. ) Ahora, para decir “todo es humano”, escribiríamos

A x Alto x

Piensa en esta frase como diciendo, puedes tomar cualquier objeto de nuestro dominio del discurso, y esa cosa tiene propiedad H. En otras palabras, si p x H x es verdadera, entonces H a es verdadera, y H b es verdadera, y H c es verdadera, y así sucesivamente, para todos los objetos de nuestro dominio del discurso.

Hasta el momento, esto no es muy diferente a usar un solo nombre para significar “todo”. Pero hay una diferencia muy significativa cuando consideramos una fórmula más compleja. Considera “Todos los hombres son mortales”. La mayoría de los logísticos creen que esto significa que “todo es tal que, si es humano, entonces es mortal”. Podemos escribir

P x (Alto x →M x)

Entonces, si p x (H x →M x) es verdadero, entonces (H a →M a) y (H b →M b ) y (H c →M c) y así sucesivamente son verdaderas.

Esto captura exactamente lo que queremos. No queríamos decir si todo es humano, entonces todo es mortal. Queríamos decir, para cada cosa, si es humano, entonces es mortal.

Un enfoque similar funcionará para “algunos”. Que “” sea nuestro símbolo para “algunos”. Entonces podemos traducir

Algunos hombres son mortales

Con

x (Alto x ^M x)

(Discutiremos en la sección 13.3 a continuación por qué no usamos un condicional aquí; en este punto, solo queremos enfocarnos en el significado del “”). Lee esto como diciendo, para este ejemplo, hay al menos una cosa de nuestro dominio del discurso que tiene propiedades H y M. En otras palabras, o bien (H a ^ M a) es verdadero o (H b ^ M b) es verdadero o (H c ^ M c) es verdadero o etc.

Estos nuevos elementos a nuestro lenguaje se llaman “cuantificadores”. Al símbolo “p” se le llama el “cuantificador universal”. Al símbolo “” se le llama el “cuantificador existencial” (para recordar esto, piense en ello como diciendo, “existe al menos una cosa tal que...”). Decimos que “cuantifican sobre” las cosas de las que trata nuestro lenguaje (es decir, las cosas en nuestro dominio del discurso).

Ahora estamos listos para proporcionar la sintaxis de términos, predicados y cuantificadores.

12.2 Una nueva sintaxis

Para la lógica proposicional, nuestra sintaxis siempre fue trivial. Para la lógica de primer orden nuestra sintaxis será más compleja. Vamos a necesitar un nuevo concepto, el concepto de una “fórmula bien formada”. Y tendremos que hacer un uso más explícito del hecho de que nuestra sintaxis es una sintaxis recursiva, lo que significa que nuestras reglas deben ser enunciadas con un primer caso, y luego una forma de aplicar repetidamente nuestras reglas sintácticas. También vamos a cambiar una característica de nuestro metalenguaje. El símbolo Φ ya no significará una oración. En cambio, es cualquier expresión bien formada de nuestro lenguaje. Podemos escribir Φ (a) para significar que el nombre a aparece en Φ; esto no quiere decir que Φ sea un predicado de arity-one con el único nombre a. Φ puede ser muy complejo. Por ejemplo, Φ podría ser la expresión ((F a ↔ G bc) ^H d).

Un término simbólico es un nombre, un nombre indefinido, un término arbitrario, o una variable (vamos a explicar qué son los términos indefinidos y los términos arbitrarios más adelante). Los nombres son a, b, c, d... Los nombres indefinidos son p, q, r... Las variables son u, v, w, x, y, z. Los términos arbitrarios son u′, v′, w′, x′, y′, z′.

Un predicado de arity n seguido de n términos simbólicos es una fórmula bien formada.

Si Φ y ψ son fórmulas bien formadas, y α es una variable, entonces las siguientes son fórmulas bien formadas:

¬Φ

(Φ → ψ)

(Φ ^ ψ)

(Φ v ψ)

(Φ ↔ ψ)

αΦ

αΦ

Si la expresión Φ (α) no contiene cuantificadores, y α es una variable, entonces decimos que α es una “variable libre” en Φ (α). Si la expresión Φ (α) no contiene cuantificadores, y α es una variable, entonces decimos que α está “enlazado” en α αΦ (α) y α es “enlazado” en αΦ (α). Una variable que está enlazada no es libre.

Si Φ es una fórmula bien formada sin variables libres, entonces es una oración.

Si Φ y ψ son oraciones, entonces las siguientes son oraciones:

¬Φ

(Φ→ψ)

(Φ ^ ψ)

(Φ v ψ)

(Φ ↔ ψ)

Esta forma de expresarnos es precisa; pero, para algunos de nosotros, al verla por primera vez, es difícil de seguir. Demos un paso a la vez. Supongamos que F es un predicado de arity uno, que G es un predicado de arity dos, y que H es un predicado de arity tres. Entonces las siguientes son todas fórmulas bien formadas.

F x

F y

F a

G xy

G yx

G ab

hacha G

H xyz

H axc

H czy

Y, si combinamos estos con conectivos, forman fórmulas bien formadas. Todas estas son fórmulas bien formadas:

¬F x

(F x →F y)

(F a ^G xy)

(G yx v G ab)

(G ax ↔ H xyz)

A x H axc

z H czy

Para estas fórmulas, decimos que x es una variable libre en cada una de las primeras cinco fórmulas bien formadas. La variable x está unida en la sexta fórmula bien formada. La variable z está unida en la última fórmula bien formada, pero y es libre en esa fórmula.

Para las siguientes fórmulas, no existen variables libres.

f x F x

z G za

F a

G bc

Cada una de estas cuatro fórmulas bien formadas es, por tanto, una oración. Si se combinan usando nuestras conectivas, estas harían oraciones adicionales. Por ejemplo, estas son todas las oraciones:

¬ ¬ x F x

(P x F x →z G za)

(F a ^ G bc)

(G bc ↔ z G za)

(G bc v z G za)

La idea básica es que además de las oraciones, reconocemos fórmulas que tienen la forma correcta para ser una oración, si tan solo tuvieran nombres en lugar de variables en ciertos lugares de la fórmula. Estas luego se convierten en oraciones cuando se combinan con un cuantificador que une esa variable, porque ahora la variable ya no es un marcador de posición sin sentido, y en su lugar representa cualquiera o algún objeto en nuestro lenguaje.

¿Y la semántica para los cuantificadores? Esto, lamentablemente, tendrá que seguir siendo intuitivo durante nuestro desarrollo de la lógica de primer orden. Necesitamos teoría de conjuntos para desarrollar una semántica para los cuantificadores; las tablas de verdad no funcionarán. En el capítulo 17, se puede leer un poco sobre cómo construir una semántica adecuada para los cuantificadores. Aquí, entendamos simplemente el cuantificador universal, “α ”, como que significa cada objeto en nuestro dominio del discurso; y entendamos el cuantificador existencial, “”, como que significa al menos un objeto en nuestro dominio del discurso.

Una nota sobre el cuantificador existencial. “Algunos” en inglés no suele significar al menos uno. Si le pides a tu amiga algunas de sus papas fritas, y ella te da exactamente una, te sentirás engañado. No obstante, probablemente estaremos de acuerdo en que no existe una norma clara para el número de papas fritas que ella debe darle, a fin de satisfacer su solicitud. En definitiva, la palabra “algunos” es vaga en inglés. Esto es una vaguedad útil, no queremos tener que decir cosas como: “Dame 11 papas fritas, por favor”. Pero, nuestro lenguaje lógico debe ser preciso, y así, no debe tener vaguedad. Por esta razón, interpretamos que el cuantificador existencial significa al menos uno.

12.3 Formas de oración comunes para cuantificadores

Las fórmulas que utilizan cuantificadores pueden tener significados muy complejos. Sin embargo, traducir del inglés a expresiones lógicas de primer orden suele ser sorprendentemente fácil, porque en inglés muchas de nuestras frases que usan “all” o “algunas” o frases similares son de ocho formas básicas. Una vez que memorizamos esas formas, podemos traducir este tipo de frases del inglés a la lógica.

Aquí hay ejemplos de las ocho formas, utilizando algunas frases hipotéticas.

Todo es humano.

Algo es humano.

Algo no es humano.

Nada es humano.

Todos los humanos son mortales.

Algunos humanos son mortales.

Algunos humanos no son mortales.

Ningún ser humano es mortal.

Nuestro objetivo es decidir la mejor manera de traducir cada uno de estos. Entonces, vamos a generalizar. Usemos nuestra clave anterior, en la que “H x” significa x es humano, y “M x” significa x es mortal.

Las dos primeras frases son sencillas. Las siguientes son traducciones.

A x Alto x

x Alto x

¿Y qué pasa con la tercera oración? Está diciendo que hay algo, y esa cosa no es humana. Una mejor traducción de eso sería comenzar con el “algo”.

x ¬H x

Eso captura lo que queremos. Al menos una cosa no es humana. Contraste esto con la siguiente frase. Podemos entenderlo como decir, No es el caso de que algo sea humano. Eso se traduce:

¬x H x

(Resulta que “x ¬H x” y “¬ α x H x” son equivalentes y “¬x H x” y “α x ¬H x” son equivalentes; así también podríamos traducir “Algo no es humano” con “¬ α x H x”, y “Nada es humano” con “α x ¬H x”. Sin embargo, este autor los encuentra menos cercanos al inglés en forma sintáctica.)

Los cuatro siguientes son más sutiles. “Todos los humanos son mortales” parece estar diciendo, si algo es humano, entonces esa cosa es mortal. Eso nos dice directamente cómo traducir la expresión:

P x (Alto x →M x)

¿Qué pasa con “algunos humanos son mortales”? Esto se traduce correctamente con:

x (Alto x ^M x)

Muchos estudiantes sospechan que hay cierta similitud profunda entre “todos los humanos son mortales” y “algunos humanos son mortales”, por lo que quieren traducir “algunos humanos son mortales” como x (H x →M x). Esto sería un error. Recuerda la tabla de la verdad para el condicional; si el antecedente es falso, entonces el condicional es verdadero. Así, la fórmula x (H x →M x) sería cierta si no hubiera humanos, y sería verdad si no hubiera humanos ni mortales.

Eso puede parecer un poco abstracto, así que dejemos de lado nuestro lenguaje sobre los humanos y la mortalidad, y consideremos un lenguaje lógico de primer orden diferente, este sobre los números. Nuestro dominio del discurso, supongamos, son los números naturales (1, 2, 3,...). Que “F x” signifique “x es par” y “G x” significa “x es impar”. Ahora considere la siguiente fórmula:

Algún número par es impar.

Podemos estar de acuerdo en que, para la interpretación habitual de “impar” y “par”, esta frase es falsa. Pero ahora supongamos que lo tradujimos como

x (F x →G x)

Esta frase es cierta. Eso es porque hay al menos un objeto en nuestro dominio del discurso para el que es cierto. Por ejemplo, considere el número 3 (o cualquier número impar). Supongamos que en nuestro lenguaje lógico, un medio 3. Entonces, la siguiente frase es cierta:

(F a →G a)

Esta frase es cierta porque el antecedente es falso, y lo consecuente es cierto. Eso hace que todo el condicional sea cierto.

Claramente, “x (F x →G x)” no puede ser una buena traducción de “Algún número par es impar”, porque mientras que “Algún número par es impar” es falso, “x (F x →G x)” es verdad. La mejor traducción es

x (F x ^G x)

Esto dice, algún número es par e impar. Eso es claramente falso, coincidiendo con el valor de verdad de la expresión inglesa.

Volver a nuestro lenguaje sobre los humanos y la mortalidad. Debe traducirse la frase “algún humano es mortal”

x (Alto x ^M x)

Y esto deja claro cómo podemos traducir, “algún humano no es mortal”:

x (Alto x ^ ¬M x)

La última frase, “No los humanos son mortales” es similar a “Nada es humano”. Podemos leerlo como significado No es el caso de que algunos humanos sean mortales, lo que podemos traducir:

¬x (Alto x ^M x)

(Resulta que esta frase equivale a, “todos los humanos no son mortales”. Así, también podríamos traducir la frase con:

f x (Alto x →¬M x).)

Tenemos que generalizar estas ocho formas. Que Φ y ψ sean expresiones (estas pueden ser complejas). Que α sea cualquier variable. Entonces, podemos dar las ocho formas esquemáticamente de la siguiente manera.

Todo es Φ

αΦ (α)

Algo es Φ

αΦ (α)

Algo no es Φ

α¬φ (α)

Nada es Φ

¬αΦ (α)

Todos Φ son ψ

α α (Φ (α) →ψ (α))

Algunos Φ son ψ

α (Φ (α) ^ ψ (α))

Algunos Φ no son ψ

α (Φ (α) ^ ¬ψ (α))

No Φ son ψ

¬α (Φ (α) ^ ψ (α))

Estas ocho formas incluyen las formas más comunes de oraciones que encontramos en inglés que utilizan cuantificadores. Esto puede no parecer, al principio, plausible, pero, cuando reconocemos que estas formas generalizadas permiten que la expresión Φ o ψ pueda ser compleja, entonces, vemos que los siguientes son ejemplos de las ocho formas, dadas en el mismo orden:

Todo es una mujer humana de Texas.

Algo es un humano masculino de Texas.

Algo no es una mujer informática humana de Texas.

Nada es un informático varón de Texas.

Todos los humanos machos son mamíferos mortales.

Algunas mujeres humanas son informáticas que viven en Texas.

Algunas mujeres humanas no son informáticas que viven en Texas.

Ningún humano masculino es un científico informático que vive en Texas.

La tarea de traducir tales frases es ver, cuando nos referimos de nuevo a nuestros esquemas, que Φ y ψ pueden ser complejos. Así, si añadimos a nuestra clave los siguientes predicados:

F x: x es hembra

G x: x es macho

T x: x es de Texas

S x: x es un científico informático

L x: x es un mamífero

Entonces, podemos ver que las siguientes son traducciones de las ocho frases en inglés, y utilizan las ocho formas.

f x ((F x ^A x) ^ T x)

x ((G x ^A x) ^T x)

x ¬ ((F x ^H x) ^ (S x ^T x))

¬x ((G x ^S x) ^T x)

α x ((G x ^H x) → (M x ^L x))

x ((F x ^H x) ^ (S x ^T x))

x ((F x ^H x) ^ ¬ (S x ^T x))

¬x ((G x ^H x) ^ (S x ^T x))

Otro tema importante a tener en cuenta a la hora de traducir expresiones con cuantificadores es que “solo” juega un papel especial en algunas expresiones inglesas. Considera las siguientes frases.

Todos los tiburones son peces.

Sólo los tiburones son peces.

El primero de ellos es cierto; el segundo es falso. Comenzaremos un nuevo lenguaje lógico y clave. Que F x signifique que x es un pez, y S x significa que x es un tiburón. Sabemos traducir la primera frase.

P x (S x → F x)

No obstante, ¿cómo traduciremos “Sólo los tiburones son peces”? Esta frase nos dice que las únicas cosas que son peces son los tiburones. Pero entonces, todos los peces son tiburones. Es decir, la traducción es:

f x (F x → S x)

También sería posible combinar estas afirmaciones:

Todos y sólo los tiburones son peces.

Que debe traducirse:

f x (S x ↔ F x)

Esto indica dos esquemas adicionales para la traducción que pueden ser útiles. En primer lugar, se deben traducir las oraciones de la forma “Solo Φ son ψ”:

α α (ψ (α) → Φ (α))

Segundo, las oraciones de la forma “todos y solo Φ son ψ” deben traducirse de la siguiente manera:

α α (Φ (α) ↔ ψ (α))

12.4 Problemas

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene una variable libre? Identificar la variable libre si la hay. Supongamos que F es un predicado de arity uno, y G es un predicado de arity dos.
   1. F a
   2. F x
   3. G xa
   4. x F x
   5. f x G xa
   6. B x G XY
   7. f x (F x → G xa)
   8. (f xFx → G xa)
   9. (α xFx → α x G xa)
   10. f x (F x → G xy)
2. Proporcione una clave y traduzca las siguientes expresiones en lógica de primer orden. Supongamos que el dominio del discurso son los organismos terrestres. Por lo tanto , α x F x significaría que todos los organismos terrestres son F, y x F x significaría que al menos uno de los organismos terrestres es F. No se preocupe que algunas de estas frases sean obviamente falsas.
   1. Todos los caballos son mamíferos.
   2. Algunos caballos son mamíferos.
   3. Ningún caballo es mamíferos.
   4. Algunos caballos no son mamíferos.
   5. Algunos mamíferos ponen huevos, y algunos mamíferos no.
   6. Algunos caballos castaños son mamíferos que no ponen huevos.
   7. Ningún caballo castaño son mamíferos que ponen huevos.
   8. Algunos mamíferos ponedoras no son caballos.
   9. No hay caballos.
   10. Hay algunos mamíferos.
   11. Sólo los caballos son mamíferos.
   12. Todos y sólo los caballos son mamíferos.
3. Proporcione su propia clave y traduzca las siguientes expresiones de lógica de primer orden a oraciones en inglés que suenan naturales. Todos los predicados aquí están destinados a ser arity uno. No te preocupes si algunas de tus frases son obviamente falsas; prefieres mostrar que puedes traducir de la lógica al inglés que suena normal.
   1. f x ((F x ^G x) →H x)
   2. f x (F x →¬H x)
   3. x ((F x ^ (G x ^H x))
   4. x ((F x ^¬ (G x ^H x))
   5. ¬x (F x ^G x)