2.1: Nombres y predicados

11. Nombres y predicados

11.1 Una limitación de la lógica proposicional

La lógica proposicional es un lenguaje perfecto para lo que hace. Es rigurosamente preciso y fácil de usar. Pero no es el único tipo de lógica que desarrollaron los filósofos. El filósofo Aristóteles (384-322 a.C.) escribió varios libros sobre lógica, y famoso, utilizó el siguiente argumento como uno de sus ejemplos.

Todos los hombres son mortales.

Sócrates es un hombre.

_____

Sócrates es mortal.

Aristóteles consideró esto un ejemplo de argumento válido. Y parece ser uno. Pero vamos a traducirlo a nuestra lógica proposicional. Tenemos tres oraciones atómicas. Nuestra clave de traducción se vería así:

P: Todos los hombres son mortales.

P: Sócrates es un hombre.

R: Sócrates es mortal.

Y el argumento, escrito en lógica proposicional, sería

P

Q

_____

R

Este argumento es obviamente inválido. ¿Qué salió mal? De alguna manera, entre el argumento de Aristóteles y nuestra traducción, se perdió información esencial. Esta información se requería para que el argumento fuera válido. Cuando la perdimos, terminamos con un argumento donde la conclusión podría ser falsa (hasta donde podemos decir solo por la forma del argumento).

Parece bastante claro lo que perdimos en la traducción. Hay partes de la primera premisa que comparten las otras dos: algo que ver con ser hombre, y ser mortal. Hay una parte de la segunda oración compartida con la conclusión: el nombre propio “Sócrates”. Y la palabra “Todos” parece estar jugando un papel importante aquí.

Tenga en cuenta que las tres cosas (esas frases adjetivas, un nombre propio, y “todas”) en sí mismas no son oraciones. Para entender este argumento de Aristóteles, tendremos que irrumpir en las oraciones atómicas, y comenzar a entender sus partes. Hacer esto resultó ser muy desafiante, sobre todo, darle sentido a ese “todo” resultó desafiante. Como resultado, durante casi dos mil años, tuvimos dos lógicas trabajando en paralelo: la lógica proposicional y la lógica de Aristóteles. No fue hasta finales del siglo XIX que desarrollamos una comprensión clara y precisa de cómo combinar estas dos lógicas en una sola, a la que llamaremos “lógica de primer orden” (explicaremos más adelante qué significa “primer orden”).

Nuestra tarea será darle sentido a estas partes: nombres propios, frases adjetivas, y el “todo”. Podemos comenzar con nombres.

11.2 Términos simbólicos: nombres propios

Lo primero que queremos agregar a nuestro lenguaje ampliado son los nombres. Tomaremos nombres propios (como, “Abraham Lincoln”) como nuestro modelo. Nombres generales (como “americanos”) los manejaremos de una manera diferente, para ser discutidos más adelante. Llamaremos a estos nombres propios de nuestro idioma, “nombres”.

Recordemos que queremos que nuestro lenguaje no tenga vaguedad, ni ambigüedad. Un nombre sería vago si pudiera o no seleccionar un objeto. Por lo que vamos a requerir que cada nombre escoja un objeto. Es decir, no se puede agregar un nombre a nuestro idioma si no se refiere a nada, o sólo se refiere a algo bajo algunas condiciones. Un nombre sería ambiguo si apuntara a más de una cosa. “John Smith” es un nombre que apunta a miles de personas. No vamos a permitir esto en nuestro idioma. Cada nombre apunta a una sola cosa.

Podríamos decidir también que cada cosa de la que habla nuestro idioma tiene un solo nombre. Algunos filósofos han pensado que tal regla sería de mucha ayuda. No obstante, resulta que a menudo es muy difícil saber si dos cosas aparentes son lo mismo, y así en un lenguaje natural muchas veces tenemos varios nombres para lo mismo. Un ejemplo favorito de filósofos, tomado del filósofo y matemático Gottlob Frege (1848-1925), es “Hesperus” y “Fósforo”. Ambos son nombres para Venus, aunque algunos que usaron estos nombres no lo sabían. Así, por un tiempo, algunas personas no sabían que Hesperus era Fósforo. Y, por supuesto, no hubiéramos podido usar solo un nombre para ambos, si no sabíamos que esos nombres apuntaban a una misma cosa. Así, si queremos modelar problemas científicos, u otros problemas del mundo real, usando nuestra lógica, entonces una regla de que cada cosa tenga uno y solo un nombre exigiría demasiado: requeriría que resolviéramos todos nuestros misterios antes de comenzar. En todo caso, no hay ambigüedad en una cosa que tenga varios nombres.

Los nombres se refieren a las cosas. Pero cuando decimos a se refiere a tal y tal objeto, entonces si alguien pregunta: “¿Qué quiere decir con 'referirse'?” , sería difícil hacer algo más que ofrecer una lista de sinónimos: un apunta al objeto, a nombra el objeto, a indica el objeto, a elige el objeto. “Referir” es otra primitiva que estamos agregando a nuestro lenguaje. En este libro no podemos explicar qué es la referencia; de hecho, los filósofos lo debaten vigorosamente hoy, y existen varias teorías diferentes y (aparentemente) incompatibles sobre cómo funcionan los nombres. Sin embargo, tomar “referir” como primitivo no nos va a causar dificultades, ya que todos usamos nombres y así todos tenemos una comprensión funcional de los nombres y cómo se refieren.

En nuestro idioma, usaremos letras minúsculas, desde el principio del alfabeto, para los nombres. Así, los siguientes son nombres:

a

b

c

...

En un lenguaje natural, hay más significado para un nombre que lo que apunta. Gottlob Frege estaba intrigado por los siguientes tipos de casos.

a = a

a = b

Hesperus es Hesperus.

Hesperus es Fósforo.

Lo peculiar de estas cuatro frases es que la primera y la tercera son triviales. Sabemos que deben ser ciertas. La segunda y cuarta frases, sin embargo, podrían ser sorprendentes, aunque sean ciertas. Frege observó que la referencia no puede constituir todo el significado de un nombre, pues si lo hiciera, y si a es b, entonces la segunda frase anterior debería tener el mismo significado que la primera frase. Y, si Hesperus es Fósforo, la tercera y cuarta frases deberían tener el mismo significado. Pero obviamente no lo hacen El significado de un nombre, concluyó, es más que solo a lo que se refiere. Llamó a este sentido extra significado (Sinn, en su alemán nativo).

No podremos explorar estas sutilezas. Vamos a reducir el significado de nuestros nombres a su referente. Este es otro caso donde vemos que un lenguaje natural como el inglés es muy poderoso, y contiene sutilezas que evitamos y simplificamos para desarrollar nuestro lenguaje preciso.

Por último, repitamos que estamos usando la palabra “nombre” en un sentido muy específico. Un nombre selecciona un solo objeto. Por ello, aunque puede ser cierto que “cat” es una especie de nombre en inglés, no puede traducirse correctamente a un nombre en nuestro lenguaje lógico. Así, al considerar si algún elemento de un lenguaje natural es un nombre propio, solo pregúntese: ¿hay una sola cosa a la que se refiere este elemento? Si la respuesta es no, entonces esa parte del lenguaje natural no es como un nombre en nuestro lenguaje lógico.

11.3 Predicados

Otro elemento del argumento de Aristóteles arriba que queremos capturar son frases como “es un hombre” y “es mortal”. Estas frases adjetivas son llamadas por los filósofos “predicados”. Nos hablan de propiedades o relaciones que tienen por las cosas de las que se trata nuestro idioma. En nuestra frase “Sócrates es un hombre”, el predicado (“... es un hombre”) identifica una propiedad de Sócrates. Queremos introducir en nuestro lenguaje lógico una forma de expresar estos predicados. Pero antes de hacer esto, necesitamos aclarar cómo se relacionan los predicados con los objetos de los que estamos hablando, y queremos estar seguros de introducir predicados de tal manera que su significado sea preciso (no son vagos ni ambiguos).

Nuestro ejemplo de “... es un hombre” podría llevarnos a pensar que los predicados identifican propiedades de objetos individuales. Pero consideremos las siguientes frases.

Tom es alto.

Tom es más alto que Jack.

7 es impar.

7 es mayor o igual a 5.

La primera y tercera frase son bastante parecidas a las que hemos visto antes. “Tom” y “7” son nombres. Y “... es alto” y “... es impar” son predicados. Estos son similares (al menos en términos de su aparente sintaxis) a “Sócrates” y “... es un hombre”.

Pero, ¿qué pasa con esas otras dos frases? Los predicados en estas oraciones expresan relaciones entre dos cosas. Y, aunque en inglés es raro que un predicado exprese una relación de más de dos cosas, en nuestro lenguaje lógico un predicado podría identificar una relación entre cualquier número de cosas. Necesitamos, entonces, ser conscientes de que cada predicado identifica una relación entre un número específico de cosas. Esto es importante, porque los predicados en la primera y segunda oración anteriores no son los mismos. Es decir, “... es alto” y “... es más alto que...” no son el mismo predicado.

Los logísticos tienen una jerga para esto; lo llaman la “aridad” del predicado. Esta extraña palabra viene de tomar el “ary” en palabras como “binario” y “trinario”, y convertirlo en un sustantivo. Entonces, podemos decir lo siguiente: cada predicado tiene una arity. La aridad de un predicado es el número mínimo de cosas que pueden tener la propiedad o relación. El predicado “... es alto” es arity uno. Una cosa sola puede ser alta. El predicado “... es más alto que...” es arity dos. Se necesitan al menos dos cosas para que una sea más alta que la otra.

Por lo tanto, considere la siguiente frase.

Stefano, Margarita, Aletheia y Lorena son italianos.

Aquí hay un predicado, “... son italianos”. Se ha utilizado para describir cuatro cosas. ¿Es un predicado arity cuatro? Podríamos tratarlo como uno, pero eso haría que nuestro lenguaje fuera engañoso. Nuestra prueba debe ser el siguiente principio: ¿cuál es el número mínimo de cosas que pueden tener esa propiedad o relación? En ese caso, “... son italianos” debería ser un predicado arity uno porque una cosa por sí sola puede ser el italiano. Así, la frase anterior debe entenderse como equivalente a:

Stefano es italiano y Margarita es italiana y Aletheia es italiana y Lorena es italiana.

Esta se forma usando conjunciones de oraciones atómicas, cada una conteniendo la misma arity un predicado. Considerar también la siguiente frase.

Stefano es mayor que Aletheia y Lorena.

Aquí hay tres nombres. ¿El predicado es entonces un predicado de arity tres? No. El número mínimo de cosas para que una pueda ser mayor que la otra es de dos. De este hecho, sabemos que “... es más antiguo que...” es un predicado arity dos. Esta frase es, por lo tanto, equivalente a:

Stefano es mayor que Aletheia y Stefano es mayor que Lorena.

Esta se forma usando una conjunción de oraciones atómicas, cada una conteniendo el mismo predicado arity dos.

Tenga en cuenta una diferencia importante que debemos hacer entre nuestro lenguaje lógico y un lenguaje natural como el inglés. En un lenguaje natural como el inglés, tenemos una amplia gama de tipos de nombres y clases de predicados. Algunos de estos podrían combinarse para formar oraciones sin ningún valor de verdad reconocible. Considerar:

Júpiter es un número impar.

América es más alta que Smith.

7 es mayor que Jones.

Estas expresiones son tonterías semánticas, aunque están sintácticamente bien formadas. El predicado “... es un número impar” no puede ser verdadero o falso de un planeta. América no tiene una altura para ser comparada. Los números no tienen edad. Y así sucesivamente.

Somos hablantes muy inteligentes en nuestras lenguas nativas. Naturalmente evitamos este tipo de errores (la mayor parte del tiempo). Pero nuestra lógica se está construyendo para evitar tales errores siempre; pretende hacerlos imposibles. Así, cada lenguaje lógico de primer orden debe tener lo que llamaremos su “dominio del discurso”. El dominio del discurso es el conjunto de cosas de las que habla nuestra lógica de primer orden. Si queremos hablar de números, personas y naciones, vamos a querer hacer tres lenguajes diferentes con tres conjuntos diferentes de predicados y tres dominios diferentes del discurso.

Ahora podemos exponer nuestra regla para predicados con precisión. Un predicado de arity n debe ser verdadero o falso, nunca ambos, nunca ninguno, de cada n objetos de nuestro dominio del discurso.

Esto nos permitirá evitar predicados que son vagos o ambiguos. Un predicado vago podría incluir, “... es algo alto”. Podría ser obviamente falso de personas muy bajas, pero no va a tener un valor claro de verdad con respecto a las personas que son de estatura ligeramente por encima de la media. Si un predicado fuera ambiguo, de nuevo no podríamos decir en algunos casos si el predicado era verdadero o falso de algunas de las cosas en nuestro dominio del discurso. Un ejemplo podría incluir, “... es por la pluma”. Podría significar es por el implemento de escritura, o podría significar es por el parque infantil. Sin saber cuál, no podríamos decir si una frase como “Fido está por la pluma” era verdadera o falsa. Nuestra regla para predicados excluye explícitamente cualquiera de las dos posibilidades.

Cuando decimos, “un predicado de arity n es verdadero o falso de cada n objetos de nuestro dominio del discurso”, lo que queremos decir es que una arity un predicado debe ser verdadero o falso de cada cosa en el dominio del discurso; y un predicado de arity dos debe ser verdadero o falso de cada par de cosas ordenadas posibles del dominio del discurso; y un predicado de arity tres debe ser verdadero o falso de cada triple ordenado posible de cosas de nuestro dominio del discurso; y así sucesivamente.

Utilizaremos letras mayúsculas de F en adelante para representar predicados de nuestro lenguaje lógico. Por lo tanto,

F

G

H

I

J

K

...

son predicados.

11.4 Oraciones lógicas de primer orden

Ahora podemos explicar qué es una oración en nuestra lógica de primer orden.

Tenemos que decidir cómo se combinarán los nombres y predicados. Se han utilizado diferentes métodos, pero el más común es lo que se llama “notación de prefijo”. Esto significa que ponemos el predicado antes de los nombres. Entonces, si tuviéramos las frases

Tom es alto.

Tom es más alto que Steve.

Y teníamos la siguiente clave de traducción,

F x: x es alto

G xy: x es más alto que y

a: Tom

b: Steve

Entonces nuestras traducciones serían

F a

G ab

Yo hice algo nuevo en la clave de traducción: utilicé variables para identificar lugares en un predicado. Esto no es ninguna parte de nuestro lenguaje, sino solo un poco de contabilidad útil que podemos usar para explicar nuestros predicados. La ventaja es que si escribimos simplemente:

G: es mayor que

podría haber ambigüedad sobre qué nombre debe venir primero después del predicado (el mayor que nombre, o el menor que nombre). Evitamos esta ambigüedad poniendo variables en el predicado y el inglés en la clave de traducción. Pero las variables no están haciendo otro trabajo. No pienses en un predicado como que contiene variables.

La frase anterior que teníamos

Stefano es italiano y Margarita es italiana y Aletheia es italiana y Lorena es italiana.

se puede traducir con la siguiente clave:

I x: x es Italiano.

c: Stefano

d: Margarita

e: Aletheia

f: Lorena

Y en nuestro idioma se vería así:

((I c ^I d) ^ (I e ^I f))

Todavía no hemos dado una sintaxis formal para oraciones atómicas de lógica de primer orden. Necesitaremos un nuevo concepto de sintaxis —la fórmula bien formada que no es una frase— y por esta razón pospongamos la especificación de la sintaxis para el próximo capítulo.

11.5 Problemas

1. Traduce las siguientes frases a nuestra lógica de primer orden. Proporcionar una clave de traducción que identifique los nombres y predicados.
   1. Bob es porífero.
   2. Bob no es ni cnidario ni femenino.
   3. Bob es un porífero macho.
   4. Bob no es un porífero macho.
   5. Bob es porífero si y sólo si no es cnidario.
   6. Pat no es tanto porífero como cnidario.
   7. Pat no es porífero, aunque es varón.
   8. Pat y Bob son hombres.
   9. Bob es mayor que Pat.
   10. Pat no es mayor que Sandi y Bob.
2. Identificar el predicado de las siguientes oraciones, e identificar su aridad.
   1. Aletheia y Lorena son altas.
   2. Aletheia y Lorena son más altas que Stefano y Margarita.
   3. Margarita es más joven que Aletheia, Lorena y Stefano.
   4. Margarita y Stefano viven en Roma y Aletheia y Lorena viven en Milán.
   5. Lorena se sitúa entre Stefano y Aletheia.
3. Haga su propia clave de traducción para las siguientes frases. Usa tu clave para escribir los equivalentes en inglés.
   1. F a.
   2. G ab.
   3. (G ab ^ F b).
   4. (G ab ^ G ac).
   5. (F a v F b).