Sección 3: Cuantificadores

Ya estamos listos para introducir cuantificadores. Considera estas frases:

6. Todo el mundo es feliz.
7. Todos son por lo menos tan duros como Donald.
8. Alguien está enfadado.

Podría ser tentador traducir la oración 6 como\(Hd\) &\(Hg\) &\(Hm\). Sin embargo, esto sólo diría que Donald, Gregor y Marybeth están felices. Queremos decir que todos son felices, aunque no hayamos definido una constante para nombrarlos. Para ello, introducimos el símbolo 'p'. A esto se le llama el cuantificador universal.

Un cuantificador siempre debe ir seguido de una variable y una fórmula que incluya esa variable. Podemos traducir la frase 6 como p\(xHx\). Parafraseado en inglés, esto significa 'Para todos\(x\),\(x\) es feliz'. Llamamos [a]\(x\) an\(x\) - cuantificador. La fórmula que sigue al cuantificador se llama el alcance del cuantificador. Daremos una definición formal del alcance más adelante, pero intuitivamente es la parte de la oración sobre la que cuantifica el cuantificador. En [a]\(xHx\), el alcance del cuantificador universal es\(Hx\).

La sentencia 7 puede parafrasearse como, 'Para todos\(x\),\(x\) es al menos tan dura como Donald'. Esto se traduce como p\(xT\) ₂\(xd\).

En estas oraciones cuantificadas, la variable\(x\) está sirviendo como una especie de marcador de posición. La\(x\) expresiónλsignifica que puedes escoger a cualquiera y ponerlos como\(x\). No hay ninguna razón especial para usar\(x\) en lugar de alguna otra variable. La frase [alpha\(xHx\)] significa exactamente lo mismo que [alpha]\(yHy\), [alpha]\(zHz\), y [alpha\(x\)_{] 5\(Hx\) 5}.

Para traducir la oración 8, introducimos otro nuevo símbolo: el cuantificador existencial,. Al igual que el cuantificador universal, el cuantificador existencial requiere una variable. La oración 8 puede traducirse como\(xAx\). Esto quiere decir que hay algunos\(x\) que están enojados. Más precisamente, significa que hay al menos una persona enojada. Una vez más, la variable es una especie de marcador de posición; podríamos fácilmente haber traducido la oración 8 como\(zAz\).

Considera estas oraciones adicionales:

9. Nadie está enfadado.
10. Hay alguien que no es feliz.
11. No todo el mundo está contento.

La sentencia 9 puede parafrasearse como, 'No es el caso de que alguien esté enojado'. Esto puede traducirse usando negación y un cuantificador existencial:\(xAx\) ¬. Sin embargo, la sentencia 9 también podría parafrasearse como, 'Todos no están enojados'. Con esto en mente, puede traducirse usando negación y un cuantificador universal:\(x\) ¬¬\(Ax\).

Ambas son traducciones aceptables, porque son lógicamente equivalentes. Lo crítico es si la negación viene antes o después del cuantificador.

En general, a\(xA\) es lógicamente equivalente a\(x\) ¬¬\(A\). Esto significa que cualquier oración que pueda simbolizarse con un cuantificador universal puede simbolizarse con un cuantificador existencial, y viceversa. Una traducción puede parecer más natural que la otra, pero no hay diferencia lógica en traducir con un cuantificador en lugar de con el otro. Para algunas frases, simplemente será cuestión de gustos.

La frase 10 es parafraseada de manera más natural como, 'Hay algo\(x\) así que no\(x\) es feliz'. Esto se convierte en\(x\) ¬\(Hx\). Equivalentemente, podríamos escribir ¬¬\(xHx\).

La oración 11 se traduce de manera más natural como\(xHx\) ¬λ. Esto es lógicamente equivalente a la oración 10 y así también podría traducirse como\(x\) ¬\(Hx\).

Aunque tenemos dos cuantificadores en QL, podríamos tener un lenguaje formal equivalente con un solo cuantificador. Podríamos proceder solo con el cuantificador universal, por ejemplo, y tratar al cuantificador existencial como una convención notacional. Usamos corchetes [] para hacer algunas oraciones más legibles, pero sabemos que en realidad son solo paréntesis (). De la misma manera, podríamos escribir\(x\) ''sabiendo que esto es solo una taquigrafía de\(x\) '¬¬¬¬. ' Se puede elegir entre hacer que la lógica sea formalmente simple y hacerla expresivamente simple. Con QL, optamos por la simplicidad expresiva. Ambos, a y a, serán símbolos de QL.

Universo del Discurso

Dada la clave de simbolización que hemos estado usando, [alpha]\(xHx\) significa 'Todo el mundo es feliz'. ¿Quién está incluido en esto a todos? Cuando usamos frases como esta en inglés, generalmente no nos referimos a todos los que ahora están vivos en la Tierra. Ciertamente no nos referimos a todos los que alguna vez estuvieron vivos o que alguna vez vivirán. Nos referimos a algo más modesto: todos en el edificio, todos en la clase, o todos en la sala.

Para eliminar esta ambigüedad, habrá que especificar un universo de discurso —UD abreviado. El UD es el conjunto de cosas de las que estamos hablando. Entonces, si queremos hablar de gente en Chicago, determinamos que la UD sea gente en Chicago. Escribimos esto al inicio de la clave de simbolización, así:

UD: gente en Chicago

Los cuantificadores abarcan el universo del discurso. Ante este UD, [alpha\(x\)] significa 'Todos en Chicago' y\(x\) significa 'Alguien en Chicago'. Cada constante nombra a algún miembro de la UD, así que solo podemos usar este UD con la clave de simbolización anterior si Donald, Gregor y Marybeth están todos en Chicago. Si queremos hablar de gente en lugares además de Chicago, entonces necesitamos incluir a esas personas en la UD.

En QL, el UD debe estar no vacío; es decir, debe incluir al menos una cosa. Es posible construir lenguajes formales que permitan UDs vacíos, pero esto introduce complicaciones.

Incluso permitir un UD con un solo miembro puede producir algunos resultados extraños. Supongamos que tenemos esto como clave de simbolización:

UD: la Torre Eiel
Px:\(x\) está en París.

La frase [alpha]\(xPx\) podría ser parafraseada en inglés como 'Todo está en París'. Sin embargo, eso sería engañoso. Significa que todo en la UD está en París. Este UD contiene solo la Torre Eiel, por lo que con esta clave de simbolización\(xPx\) [alpha] solo significa que la Torre Eiel está en París.

Términos no referidos

En QL, cada constante debe escoger exactamente un miembro de la UD. Una constante no puede referirse a más de una cosa, es un término singular. Cada constante aún debe escoger algo. Esto está conectado a un problema filosófico clásico: el llamado problema de los términos no referidos.

Los filósofos medievales solían utilizar oraciones sobre la quimera para ejemplificar este problema. La quimera es una criatura mitológica; en realidad no existe. Considera estas dos frases:

12. Quimera está enojada.
13. Quimera no está enojada.

Es tentador simplemente definir una constante que significa 'quimera'. La clave de simbolización se vería así:

UD: criaturas en la Tierra
Axe:\(x\) está enojado.
c: quimera

Entonces podríamos traducir la oración 12 como\(Ac\) y la oración 13 como ¬\(Ac\).

Surgirán problemas cuando preguntemos si estas frases son verdaderas o falsas.

Una opción es decir que la oración 12 no es cierta, porque no hay quimera. Si la sentencia 12 es falsa porque habla de algo inexistente, entonces la sentencia 13 es falsa por la misma razón. Sin embargo, esto\(Ac\) significaría que\(Ac\) y ¬ ambos serían falsos. Dadas las verdaderas condiciones para la negación, este no puede ser el caso.

Ya que no podemos decir que ambos son falsos, ¿qué debemos hacer? Otra opción es decir que la oración 12 carece de sentido porque habla de algo inexistente. Entonces Ac sería una expresión significativa en QL para algunas interpretaciones pero no para otras. Sin embargo, esto haría que nuestro lenguaje formal fuera rehén de interpretaciones particulares. Ya que nos interesa la forma lógica, queremos considerar la fuerza lógica de una oración como\(Ac\) aparte de cualquier interpretación en particular. Si a veces\(Ac\) fueran significativos y a veces carentes de sentido, no podríamos hacer eso.

Este es el problema de los términos no referidos, y volveremos a él más adelante (ver p. 71.) El punto importante por ahora es que cada constante de QL debe referirse a algo en la UD, aunque la UD puede ser cualquier conjunto de cosas que nos gusten. Si queremos simbolizar argumentos sobre criaturas mitológicas, entonces debemos define un UD que las incluya. Esta opción es importante si queremos considerar la lógica de las historias. Podemos traducir una frase como 'Sherlock Holmes vivió en 221B Baker Street' al incluir personajes finalistas como Sherlock Holmes en nuestra UD.