4.5: Análisis Paralelo
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Teniendo en cuenta que el voltaje a través de cada elemento en una configuración paralela es constante, la ley de Ohm dicta que las corrientes se dividan entre resistencias paralelas en proporción a su conductancia (es decir, en proporción inversa a su resistencia). Como consecuencia, la ley de Ohm, la ley actual de Kirchhoff, la regla divisoria actual y las combinaciones de componentes paralelos son las herramientas que usaremos para resolver problemas generales de circuitos paralelos. Existen múltiples técnicas para analizar estos circuitos:
- Si el circuito usa una fuente de voltaje y se dan su valor junto con los valores de resistencia, las corrientes de resistencia se pueden encontrar dividiendo el voltaje de la fuente por cada resistencia. Una vez que se encuentran estas corrientes, se puede usar KCL para determinar la corriente fuente. En ese punto, la ley de potencia se puede utilizar para encontrar la disipación de potencia en cada resistor o la potencia desarrollada por la fuente, según sea necesario.
- Si el circuito usa fuentes de corriente, entonces la corriente circulante total se puede encontrar combinando sus valores (teniendo en cuenta las direcciones actuales, por supuesto). Las corrientes de rama de resistencia individuales se pueden encontrar usando la regla del divisor de corriente (repetidamente, si es necesario). Como alternativa, la resistencia paralela efectiva se puede encontrar primero. Multiplicar esto por la corriente total de la fuente a través de la ley de Ohm determinará el voltaje del sistema, y a partir de ahí las corrientes de rama de resistencia individuales se pueden encontrar usando la ley de Ohm.
- Si el problema se refiere a determinar valores de resistencia, la idea básica será utilizar estas reglas a la inversa. Por ejemplo, si se necesita un valor de resistencia para establecer un voltaje específico, la resistencia paralela equivalente se puede determinar a partir de este voltaje y la fuente de corriente dada. Los valores de conductancia de las otras resistencias paralelas pueden restarse entonces de la conductancia total (es decir, el recíproco de la resistencia paralela equivalente), produciendo el valor de conductancia restante requerido, siendo el recíproco la resistencia requerida. De igual manera, si se conocen las corrientes a través de dos resistencias paralelas, siempre y cuando se conozca uno de los valores de resistencia, la otra resistencia se puede determinar usando la regla divisora de corriente a la inversa (es decir, las corrientes se dividen en proporción inversa a las resistencias) o mediante la ley de Ohm.
Una simple red paralela se muestra en la Figura 4.5.1 . Determine la corriente a través de cada resistor así como la corriente total que sale de la fuente de voltaje.
Figura 4.5.1 : Circuito por ejemplo 4.5.1 .
La solución más directa es usar la ley de Ohm para determinar cada una de las corrientes de derivación de la resistencia. Entonces se puede usar KCL para determinar la corriente que fluye desde la fuente. Recordar el voltaje es el mismo a través de ramas paralelas:
\[I_{600} = \frac{E}{R_1} \nonumber \]
\[I_{600} = \frac{12 V}{600 \Omega} \nonumber \]
\[I_{600} = 20 mA \nonumber \]
\[I_{400} = \frac{E}{R_2} \nonumber \]
\[I_{400} = \frac{12 V}{400 \Omega} \nonumber \]
\[I_{400} = 30 mA \nonumber \]
KCL dicta que la corriente de entrada debe ser igual a la suma de las corrientes de salida, o 50 mA.
Una técnica alternativa sería determinar la resistencia paralela y dividirla en la tensión de la fuente para determinar la corriente de la fuente de salida.
\[R_{Parallel} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \nonumber \]
\[R_{Parallel} = \frac{400 \Omega 600 \Omega}{400 \Omega +600 \Omega} \nonumber \]
\[R_{Parallel} = 240 \Omega \nonumber \]
\[I_{Total} = \frac{E}{R_{Parallel}} \nonumber \]
\[I_{Total} = \frac{12 V}{240 \Omega} \nonumber \]
\[I_{Total} = 50 mA \nonumber \]
Ahora CDR se puede utilizar para encontrar las corrientes a través de las dos resistencias.
\[I_{R1}= I_{Total} \frac{R_2}{R_1+R_2} \nonumber \]
\[I_{400} = 50mA \frac{600 \Omega}{ 400 \Omega +600 \Omega} \nonumber \]
\[I_{400} = 30 mA \nonumber \]
\[I_{R2} = I_{Total} \frac{R_1}{R_1+R_2} \nonumber \]
\[I_{600} = 50 mA \frac{400 \Omega}{400 \Omega +600 \Omega} \nonumber \]
\[I_{600} = 20 mA \nonumber \]
Las polaridades de voltaje y las direcciones de corriente se ilustran en la Figura 4.5.2 . La polaridad del voltaje es de + a − de arriba a abajo, según lo establece la fuente de voltaje. Con estas polaridades, las corrientes a través de las dos resistencias deben estar fluyendo de arriba a abajo y la corriente de la fuente fluye a la derecha, desde el terminal positivo. En el nodo superior, la corriente de entrada está en rojo con la corriente de salida en azul.
Figura 4.5.2 : Polaridades e indicaciones para Ejemplo 4.5.1 .
Simulación por Computadora
El circuito del Ejemplo 4.5.1 se introduce en un simulador como se muestra en la Figura 4.5.3 . En este ejemplo se utilizan instrumentos virtuales. Se insertan tres amperímetros en línea para medir la corriente que sale de la fuente de voltaje así como las corrientes que fluyen a través de las dos resistencias. Las polaridades de los amperímetros se establecen para que coincidan con las ilustradas en la Figura 4.5.2 . Como consecuencia, esperamos ver todas las corrientes positivas.
El resultado es más o menos como se esperaba. La corriente a través de la\( \Omega \) resistencia 600 es precisamente 20 mA y la corriente de fuente es precisamente la suma de las dos corrientes de resistencia. El único arrugado es que la corriente a través de la\( \Omega \) resistencia 400 es muy ligeramente menor de lo esperado, 29.999 mA versus 30 mA calculados. Esto se debe a los efectos de carga del medidor. En el Capítulo 3 vimos que los amperímetros presentan una resistencia interna muy baja, pero esto no siempre se puede ignorar, sobre todo cuando se miden en serie con resistencias que tienen valores muy pequeños. Este ligero incremento en la resistencia obliga a una ligera disminución de la corriente debido a la ley de Ohm.
Figura 4.5.3 : El circuito de Ejemplo 4.5.1 en un simulador.
Resulta que existe una situación similar para los voltímetros. Idealmente, los voltímetros presentan una resistencia interna muy alta que, cuando se colocan a través de una resistencia, tiene un impacto mínimo. Este efecto no siempre se puede ignorar, especialmente cuando se mide a través de resistencias que tienen valores grandes, ya que la regla del divisor de corriente entrará en juego. Afortunadamente, la resistencia interna de muchos instrumentos virtuales es ajustable y se puede ajustar a valores extremos para minimizar cualquier impacto en las mediciones. En el mundo de los instrumentos físicos esto no es posible por lo que la resistencia interna de cualquier medidor del mundo real es algo que siempre hay que tener presente.
Una red paralela se muestra en la Figura 4.5.4 . Determine la corriente a través de cada resistor.
Figura 4.5.4 : Circuito para Ejemplo 4.5.2 .
La regla divisora de corriente se puede utilizar para encontrar las corrientes a través de las dos resistencias. En el nodo inferior (tierra) la corriente de entrada total es de 2 mA.
\[I_{R1} = I_{Total} \frac{R_2}{R_1+R_2} \nonumber \]
\[I_{12k} = 2mA \frac{100 k \Omega}{12 k \Omega +100 k \Omega} \nonumber \]
\[I_{12k} \approx 1.7857 mA \nonumber \]
La corriente a través de los 100 k se\( \Omega \) puede encontrar vía KCL de la siguiente manera:
\[I_{R2} = I_{Total} − I_{R1} \nonumber \]
\[I_{100k} = 2 mA −1.7857 mA \nonumber \]
\[I_{100k} \approx 0.2143 mA \nonumber \]
Las polaridades y direcciones se muestran en la Figura 4.5.5 . Tenga en cuenta que las corrientes fluyen hacia arriba a través de las resistencias produciendo caídas de voltaje de + a − desde tierra hasta la parte superior. Esto significa que el voltaje del nodo superior es negativo con respecto a tierra.
Figura 4.5.5 : Polaridades e indicaciones para Ejemplo 4.5.2 .
Simulación por Computadora
Para poder manejar mejor la idea de la carga del medidor, el circuito que se muestra en Ejemplo 4.5.2 se introduce en un simulador. Esto se muestra en la Figura 4.5.6 con la simulación usando instrumentos virtuales. Usando la ley de Ohm, la caída de voltaje a través del sistema debe ser de 100 k\( \Omega \) veces su corriente, o aproximadamente 21.4286 voltios si llevamos los dígitos un poco más lejos.
Figura 4.5.6 : El circuito de Ejemplo 4.5.2 en un simulador.
El voltímetro virtual se ha ajustado para una resistencia interna de 1\( \Omega \) G. Los resultados son casi los mismos que los calculados previamente. Para probar el impacto de la resistencia interna del voltímetro, la simulación se ejecuta por segunda vez con la resistencia interna establecida en 1 M\( \Omega \), un valor que se ve comúnmente en multímetros digitales de propósito general. El resultado se muestra en la Figura 4.5.7 . La magnitud del voltaje ha bajado más de 200 mV, en su totalidad debido a la carga del medidor.
Figura 4.5.7 : Simulación repetida usando una resistencia interna de voltímetro de 1\( \Omega \) M.
Dependiendo de los valores de los componentes, los resultados podrían ser mucho peores o apenas perceptibles en absoluto. Como regla general, asegúrese de que la resistencia interna del voltímetro sea al menos 10 veces (y preferiblemente, 100 veces) mayor que cualquier resistencia en la que se coloque para evitar errores de carga causados por división de corriente no deseada. En el caso de un amperímetro, su resistencia interna debe ser al menos 10 veces (y preferiblemente, 100 veces) menor que cualquier resistencia con la que se coloque en serie.
Una red paralela se muestra en la Figura 4.5.8 . Determine la corriente a través de la\( \Omega \) resistencia 200.
Figura 4.5.8 : Circuito para Ejemplo 4.5.3 .
El primer paso es simplificar el circuito. Las dos fuentes de corriente se ayudan entre sí, ya que ambas alimentan corriente al nodo superior. Por lo tanto, son equivalentes a una sola fuente de corriente de 1.4 amperios con la misma dirección. Además, las\( \Omega \) resistencias 60\( \Omega \) y 120 están en paralelo y pueden tratarse como una sola unidad. Tenga en cuenta que esta es una relación 2:1, y por lo tanto el resultado será 2/3rds de 60\( \Omega \), o 40\( \Omega \). También se podría utilizar la regla básica de producto-suma o la fórmula de conductancia.
Hemos simplificado el circuito a una sola fuente de 1.4 amperios que alimenta una\( \Omega \) resistencia 200 en paralelo con una\( \Omega \) resistencia de 40. La regla del divisor de corriente se puede utilizar para encontrar la corriente a través de la\( \Omega \) resistencia 200 de la siguiente manera:
\[I_{R1} = I_{Total} \frac{R_2}{R_1+R_2} \nonumber \]
\[I_{200} = 1.4 A \frac{40 \Omega}{200 \Omega + 40 \Omega} \nonumber \]
\[I_{200} \approx 233.33 mA \nonumber \]
Como comprobación cruzada, la ley de Ohm indica que el voltaje del sistema debe ser 200\( \Omega \) veces 233.33 mA, o aproximadamente 46.667 voltios. Vía la ley de Ohm, la corriente a través de los 60\( \Omega \) debe ser de 46.667 voltios divididos por 60\( \Omega \), o aproximadamente 777.78 mA. De igual manera, se\( \Omega \) puede determinar que la corriente a través de los 120 es aproximadamente de 388.89 mA. A través de KCL, estas tres corrientes deben sumar la corriente total suministrada de 1.4 amperios, lo que hacen.
Una ruta alternativa de solución sería encontrar el equivalente de las tres resistencias paralelas, o\(200 || 60 || 120\), que es 33.333\( \Omega \). Esto es alimentado por las fuentes combinadas que producen 1.4 amperios. Luego se utiliza la ley de Ohm para encontrar el voltaje del sistema de aproximadamente 46.667 voltios (1.4 amperios veces 33.333\( \Omega \)). A partir de ahí se utiliza de nuevo la ley de Ohm para encontrar la corriente que fluye a través de los 200\( \Omega \) (46.667 voltios divididos por 200\( \Omega \), o aproximadamente 233.33 mA).
Continuemos con el ejemplo anterior, esta vez con un giro de diseño.
Usando el circuito de la Figura 4.5.8 , determinar el valor de una cuarta resistencia paralela adicional de tal manera que el voltaje del sistema caerá a 42 voltios.
La corriente total de la fuente en este circuito se fija en 1.4 amperios. Si la resistencia que alimenta se reduce, entonces por ley de Ohm, también se debe reducir el voltaje del sistema. Una forma de resolver este problema es determinar primero la resistencia equivalente paralela requerida. Entonces se pueden restar las conductancias de las tres resistencias conocidas, dejando la conductancia de la nueva resistencia, de la cual determinamos su resistencia.
\[R_{Parallel} = \frac{V}{I} \nonumber \]
\[R_{Parallel} = \frac{42 V}{1.4A} \nonumber \]
\[R_{Parallel} = 30 \Omega \nonumber \]
\[G_4 = G_{Parallel} − G_1 − G_2 − G_3 \nonumber \]
\[G_4 = \frac{1}{30 \Omega} − \frac{1}{200 \Omega} − \frac{1}{60 \Omega} − \frac{1}{120 \Omega} \nonumber \]
\[G_4 \approx 3.333mS \nonumber \]
Y finalmente,\(R_4 = 1/G_4\), así\(R_4 = 300 \Omega \).
Cuanto menor sea el valor de esta cuarta resistencia, más corriente se desconectará de las otras tres resistencias, reduciendo así aún más el voltaje del sistema.
Tiempo para un ejemplo que involucra el poder.
Una red paralela se muestra en la Figura 4.5.9 . Determinar la potencia total disipada por las cuatro resistencias.
Figura 4.5.9 : Circuito por ejemplo 4.5.5 .
Si bien las potencias para cada resistencia pueden calcularse individualmente y luego agregarse, vale la pena señalar que la potencia total disipada debe ser igual a la potencia generada. La potencia generada por la batería está dictada por la ley de potencia, es decir, el voltaje de la batería multiplicado por su corriente de salida. Para encontrar esta corriente, podemos determinar la resistencia efectiva y luego aplicar la ley de Ohm.
La resistencia total se puede encontrar directamente usando la fórmula de conductancia, sin embargo, los valores se pueden dividir primero en pares convenientes. El par de 200\( \Omega \) resistencias equivale a una sola 100\( \Omega \). De igual manera, las dos\( \Omega \) resistencias 600 equivalen a una sola 300\( \Omega \). La regla de suma de producto se puede usar a continuación o se\(100 || 300\) puede determinar usando la regla de relación. Esta es una relación 3:1, por lo que el resultado será 3/4ths de la resistencia más pequeña, o 75\( \Omega \).
\[I_{Total} = \frac{E}{R_{Total}} \nonumber \]
\[I_{Total} = \frac{9 V}{75 \Omega} \nonumber \]
\[I_{Total} = 120 mA \nonumber \]
\[P = E \times I \nonumber \]
\[P = 9V \times 120 mA \nonumber \]
\[P = 1.08 W \nonumber \]
Un poco más rápido, también podríamos usar el siguiente enfoque:
\[P = \frac{E^2}{R} \nonumber \]
\[P = \frac{(9 V)^2}{75 \Omega} \nonumber \]
\[P = 1.08 W \nonumber \]