6.2: Conversiones de origen

Comenzamos considerando un modelo más realista para fuentes de voltaje constante y corriente constante. La fuente de voltaje ideal produce un potencial declarado para siempre, y sin tener en cuenta a qué está conectada. La fuente de corriente ideal se comporta de manera similar; siempre producirá la misma corriente independientemente de su carga. Estas expectativas no son realistas. Por ejemplo, si tuviéramos que colocar una barra sólida de cobre a través de los terminales de una fuente de voltaje, la barra puede exhibir una resistencia de meros miliohmios, lo que implica una corriente de salida de miles de amperios. De igual manera, si tuviéramos que desconectar una fuente de corriente de cualquier carga, su carga efectiva sería la resistencia del aire entre sus terminales y la ley de Ohm dictaría un voltaje de salida de quizás miles o incluso millones de voltios. Las fuentes del mundo real no se comportan así.

Modelos realistas para fuentes

Un modelo altamente preciso para cualquier fuente de voltaje o fuente de corriente podría ser bastante complejo, pero para trabajos de propósito general, podemos mejorar en gran medida nuestras fuentes ideales simplemente agregándoles una resistencia. Esta resistencia es referida como la resistencia interna de la fuente. Es importante entender que esto no es una resistencia, como en un componente interno que puede ser alterado, sino más bien una adición matemática a la fuente que predice mejor cómo se comportará. Además, el valor de esta resistencia efectiva se puede deducir en un laboratorio a través de mediciones adecuadas.

Figura 6.2.1 : Modelo práctico de fuente de voltaje.

El modelo para una fuente de voltaje agrega una resistencia en serie, como se muestra en la Figura 6.2.1 . Esta resistencia establece un límite superior en la salida de corriente de la fuente. Incluso si los terminales de salida están cortocircuitados, la corriente máxima se dictará a través de la ley de Ohm para que sea la tensión de la fuente dividida por la resistencia interna, o\(E/R\). Obviamente, esta resistencia interna creará algún efecto divisor de voltaje con la carga adjunta. Para minimizar este efecto, la resistencia interna debe ser lo más pequeña posible. Por lo tanto,

\[\text{The ideal internal resistance of a voltage source is zero ohms (a short).} \nonumber \]

Dada una resistencia interna de cero ohmios, este modelo mejorado vuelve a la fuente ideal original. En el caso de una fuente de alimentación de laboratorio, la resistencia interna normalmente será una pequeña fracción de un ohmio.

Figura 6.2.2 : Modelo práctico de fuente actual.

Para una fuente de corriente, el modelo mejorado agrega una resistencia en paralelo, como se muestra en la Figura 6.2.2 . Esta resistencia establece un límite superior en la salida de voltaje de la fuente. Si se abren los terminales de salida, el voltaje máximo ya no producirá un voltaje enorme. En cambio, está dictado por la ley de Ohm que sea la corriente fuente multiplicada por la resistencia interna, o\(I \cdot R\). Esta resistencia interna creará algún efecto divisor de corriente con la carga adjunta. Para minimizar este efecto, la resistencia interna debe ser lo más grande posible. Por lo tanto,

\[\text{The ideal internal resistance of a current source is infinite ohms.} \nonumber \]

Dada una resistencia interna de ohmios infinitos (es decir, una abierta), este modelo mejorado vuelve a la fuente ideal original. A partir de aquí, cada vez que tratamos con fuentes prácticas de voltaje y corriente, entendemos que estas fuentes tienen alguna resistencia interna asociada, aunque no se muestren explícitamente en un diagrama esquemático. Además, siempre que hablamos de fuentes ideales, simplemente usamos un cortocircuito para la resistencia interna de una fuente de voltaje y un abierto para la resistencia interna de una fuente de corriente.

Equivalencias de origen

Para cualquier fuente de voltaje simple que consiste en una fuente de voltaje ideal con una resistencia interna en serie, se puede crear una fuente de corriente equivalente. Del mismo modo, para cualquier fuente de corriente simple consistente en una fuente de corriente ideal con una resistencia interna paralela, se puede crear una fuente de voltaje equivalente. Por “equivalente”, queremos decir que las corrientes de carga deben ser idénticas para ambos circuitos dado cualquier valor de resistencia de carga. (Tenga en cuenta que si las corrientes son las mismas entonces los voltajes también deben ser los mismos debido a la Ley de Ohm.) Considere la fuente de voltaje simple de la Figura 6.2.1 . Su fuente de corriente equivalente sería la que se muestra en la Figura 6.2.2 . Lo contrario también es cierto.

Por razones que se harán evidentes bajo la sección sobre el teorema de Thévenin que sigue, las resistencias internas de estos dos circuitos deben ser idénticas para que se comporten de manera idéntica. Sabiendo eso, es un proceso sencillo encontrar el valor requerido de la otra fuente. Como la característica de corriente/voltaje es lineal para estos circuitos, una línea de trazado se puede definir por solo dos puntos. Los dos puntos obvios a utilizar son los casos de carga abiertos y cortocircuitados. Es decir, si es equivalente para estas dos situaciones, debe funcionar para cualquier carga. El caso de carga en cortocircuito produce la corriente de carga máxima con voltaje de carga cero, mientras que en contraste, el caso de carga abierto produce el voltaje de carga máximo con corriente de carga cero.

Dada una fuente de voltaje, la corriente máxima se desarrolla cuando la carga se cortocircuitó produciendo una corriente de\(E/R\). Bajo esa misma condición de carga, toda la corriente de la versión de fuente actual debe estar fluyendo a través de la carga. Por lo tanto, el valor de la fuente de corriente equivalente debe ser la corriente máxima de\(E/R\). No tendría sentido utilizar una fuente de corriente que fuera mayor o menor que este valor.

Para continuar, si miramos el caso de carga abierto, para la fuente de voltaje la corriente de carga sería cero y el voltaje de carga sería el voltaje de fuente completo de\(E\). Para la fuente de corriente, la carga tampoco vería corriente y su voltaje sería el voltaje que aparece a través de su resistencia interna que es\(R\) veces la corriente\(E/R\), o simplemente\(E\). Así, los dos se comportan de manera idéntica en los límites de carga.

Del mismo modo, si comenzamos con una fuente de corriente, una carga abierta produce el voltaje de carga máximo de\(I \cdot R\). Por lo tanto, la fuente de voltaje equivalente debe tener un valor de\(I \cdot R\). Para la fuente de corriente, una carga en cortocircuito produciría una corriente de carga igual al valor de la fuente, o\(I\). La versión de fuente de voltaje produciría una corriente de\(E/R\), donde el valor de recién\(E\) se encontró que era igual a\(I \cdot R\), y por lo tanto la corriente de carga sería\(I \cdot R/R\), o simplemente\(I\). Una vez más, las dos versiones se comportan de manera idéntica en los límites de carga.

Para resumir el proceso de conversión de fuentes:

• La resistencia interna será la misma para ambas versiones.
• Si se convierte de una fuente de voltaje a una fuente de corriente, el valor de la fuente de corriente será la corriente máxima disponible de la fuente de voltaje (caso de carga en cortocircuito), y es igual a\(E/R\).
• Si se convierte de una fuente de corriente a una fuente de voltaje, el valor de la fuente de voltaje será el voltaje máximo disponible de la fuente de corriente (caja de carga abierta), y es igual a\(I \cdot R\).

Si se está convirtiendo una fuente múltiple (es decir, fuentes de voltaje en serie o fuentes de corriente en paralelo), primero combine las fuentes para llegar a la fuente más simple y luego haga la conversión. No convierta primero las fuentes y luego las combine ya que terminará con configuraciones serie-paralelo en lugar de fuentes simples.

El uso juicioso de las conversiones de fuentes a veces puede simplificar los circuitos multifuente al permitir que las fuentes convertidas se combinen, lo que resulta en una sola fuente

Ejemplo 6.2.1

Determine el equivalente de fuente actual para la fuente de Figura 6.2.3 .

Figura 6.2.3 : Fuente para Ejemplo 6.2.1 .

En primer lugar, simplemente se copia el valor de resistencia, por lo tanto, la resistencia interna de la fuente de corriente es de 50\( \Omega \). El valor de la fuente de corriente se calcula usando la ley de Ohm basada en la corriente máxima producida bajo el caso de carga en cortocircuito. Así, todos los 15 voltios caen a través de la\( \Omega \) resistencia 50.

\[I_s = \frac{E}{R_s} \nonumber \]

\[I_s = \frac{15V}{50 \Omega} \nonumber \]

\[I_s = 0.3A \nonumber \]

Figura 6.2.4 : Fuente de corriente equivalente para la fuente de Figura 6.2.3 .

La fuente de corriente equivalente se muestra en la Figura 6.2.4 . Sabemos que esto funcionará para los casos cortocircuitados y abiertos, pero si se deja alguna duda en cuanto a su naturaleza universal, simplemente sustituya cualquier otro valor de resistencia y compare los resultados de los dos circuitos. Sin ninguna razón en particular, intentemos usar una carga de 200\( \Omega \) y veamos si las corrientes de carga son idénticas.

Para la fuente de voltaje original podemos usar la ley de Ohm:

\[I_L = \frac{E}{R_s+R_L} \nonumber \]

\[I_L = \frac{15 V}{50 \Omega +200 \Omega} \nonumber \]

\[I_L = 60 mA \nonumber \]

Para la fuente de corriente equivalente podemos usar CDR:

\[I_L = I_s \frac{R_s}{R_s+R_L} \nonumber \]

\[I_L = 0.3 A \frac{50 \Omega}{50 \Omega +200 \Omega} \nonumber \]

\[I_L = 60 mA \nonumber \]

Prueba esto con cualquier otra resistencia de carga. Los resultados siempre deben ser idénticos.

Ahora probemos uno yendo por el otro lado.

Ejemplo 6.2.2

Determine el equivalente de fuente de voltaje para la fuente de la Figura 6.2.5 .

Figura 6.2.5 : Fuente para Ejemplo 6.2.2 .

Una vez más, el valor de resistencia simplemente se copia, por lo tanto, la resistencia interna de la fuente de voltaje es de 22 k\( \Omega \). El valor de la fuente de voltaje se basa en el voltaje máximo producido bajo la caja de carga abierta y se calcula usando la ley de Ohm. Para el caso abierto, todos los 15 miliamperios fluyen a través de la\( \Omega \) resistencia de 22 k.

\[E_s = I \times Rs \nonumber \]

\[E_s = 15 mA \times 22k \Omega \nonumber \]

\[E_s = 330 V \nonumber \]

La fuente de voltaje equivalente se muestra en la Figura 6.2.6 . Nuevamente, intentemos usar otro valor de resistencia de carga para ver si los resultados de corriente y voltaje de carga son idénticos entre las dos fuentes. Esta vez, vamos a hacer coincidir la carga con la resistencia interna de 22 k\( \Omega \).

Figura 6.2.6 : Fuente de corriente equivalente para la fuente de Figura 6.2.5 .

Para una fuente de voltaje con resistencias emparejadas terminamos con un simple divisor de voltaje del 50%, así el voltaje de carga será la mitad del voltaje de la fuente, o 165 voltios. La fuente de corriente original ve la división de corriente a la mitad debido a la regla de división de corriente. Por lo tanto, la corriente de carga debe ser de 7.5 mA. Dada esta corriente, el voltaje de carga será,

\[V_L = I \times Rs \nonumber \]

\[V_L = 7.5mA \times 22 k \Omega \nonumber \]

\[V_L = 165 V \nonumber \]

Una vez más los resultados resultan ser idénticos.

Ahora que tenemos es posible sustituir un tipo de fuente por otra, es el momento de investigar cómo podríamos poner esto en uso más allá de solo darnos una forma diferente de conducir un circuito. Si se aplican de manera inteligente, las conversiones de origen se pueden utilizar para simplificar y reducir circuitos complejos, y así facilitar la dificultad computacional. Por ejemplo, considere el circuito de la Figura 6.2.7 .

Figura 6.2.7 : Un circuito de doble fuente.

Este circuito es diferente a cualquier circuito que hayamos visto hasta ahora. Aunque hemos analizado circuitos utilizando múltiples fuentes de voltaje, siempre han estado en un simple bucle en serie. Como tal, sus voltajes se pueden sumar para encontrar una sola fuente de voltaje equivalente. Ese no es el caso aquí. En este circuito las fuentes de voltaje forman parte de una red serie-paralelo y por lo tanto sus potenciales no pueden ser simplemente añadidos. De hecho, no hay más simplificaciones a realizar en este circuito utilizando técnicas básicas de serie-paralelo. Parecemos estancados.

Pero no lo estamos. Este circuito se puede simplificar en una red recta totalmente paralela mediante el uso de conversiones de origen. El\(E_1\)\(R_1\) combo se puede convertir en una fuente de corriente\(E_2\), mientras que el\(R_2\) combo se puede convertir en una segunda fuente. Una vez convertidos estos, el circuito resultante constará de dos fuentes de corriente y tres resistencias, todas en paralelo. Este es el tipo de circuito que resolvimos allá por el Capítulo 4.

Ejemplo 6.2.3

Determine\(V_b\) para el circuito de la Figura 6.2.8 .

Figura 6.2.8 : Circuito para Ejemplo 6.2.3 .

El primer paso será convertir las fuentes de voltaje en fuentes de corriente. Trataremos las resistencias unidas a sus terminales positivos como sus resistencias internas. Es decir, tenemos una fuente de 15 voltios con\( \Omega \) resistencia de 1 k y una fuente de 6 voltios con una\( \Omega \) resistencia de 4 k.

Para la primera fuente, la corriente será:

\[I_s = \frac{E}{R_s} \nonumber \]

\[I_s = \frac{15 V}{1k \Omega} \nonumber \]

\[I_s = 15mA \nonumber \]

Y para la segunda fuente:

\[I_s = \frac{E}{R_s} \nonumber \]

\[I_s = \frac{6V}{4 k \Omega} \nonumber \]

\[I_s = 1.5mA \nonumber \]

Figura 6.2.9 : Versión fuente actual equivalente del circuito representado en la Figura 6.2.8 .

El circuito convertido equivalente se muestra en la Figura 6.2.9 . Antes de continuar, vale la pena señalar que los nodos\(a\) de conexión ya\(c\) no existen en este circuito. Más sobre esto en un momento. Este nuevo circuito consta de un par de fuentes de corriente que suman 16.5 mA y que accionan tres resistencias paralelas, 1 k\( \Omega \)\(||\) 4 k\( \Omega \)\(||\) 5 k\( \Omega \), o aproximadamente 689.7\( \Omega \). La ley de Ohm nos dice\(V_b\) que es:

\[V_b = I_{Total} \times R_{Equivalent} \nonumber \]

\[V_b \approx 16.5mA \times 689.7 \Omega \nonumber \]

\[V_b = 11.38V \nonumber \]

Ahora podemos tomar este voltaje y aplicarlo de nuevo al circuito original (no convertido). Con este potencial conocido, es relativamente fácil determinar las otras corrientes y voltajes usando la ley de KVL y Ohm. Al observar la\( \Omega \) resistencia de 1 k, el voltaje a través de ella debe ser de 15 V − 11.38 V, o 3.62 V. Por lo tanto, la corriente a través de ella debe ser de 3.62 mA. Del mismo modo, el voltaje a través de la\( \Omega \) resistencia de 4 k debe ser de 11.38 V − 6 V, o 5.38 V, lo que produce una corriente de 1.345 mA. Ambas corrientes están fluyendo de izquierda a derecha. Entonces la tercera corriente, que fluye hacia abajo a través de los 5 k\( \Omega \), es de 11.38 V/5 k\( \Omega \), o 2.276 mA. KCL establece que el nodo de entrada de corriente\(b\) debe ser igual a las corrientes que salen. La corriente de entrada es de 3.62 mA. Las corrientes de salida son 1.345 mA y 2.276 mA, o 3.62 mA cuando se redondean a tres lugares (como la corriente de entrada).

Como se mencionó, los nodos\(a\) y\(c\) desaparecieron en el circuito convertido en Ejemplo 6.2.3 . Esto trae a colación un punto importante. Los circuitos equivalentes son equivalentes en términos que los elementos conectados al equivalente se comportan de la misma manera que lo hacen con el circuito original. Eso no quiere decir que los ítems dentro del equivalente vean la misma corriente o voltaje. No esperamos que el voltaje a través de las\( \Omega \) resistencias de 1 k\( \Omega \) o 4 k en la versión convertida sea el mismo que los de la versión original.