8.6: Eficiencia Termoeléctrica

Eficiencia Carnot

Muchos dispositivos convierten una diferencia de temperatura en otra forma de energía. Por ejemplo, los dispositivos termoeléctricos y los dispositivos piroeléctricos convierten una diferencia de temperatura en electricidad, y los motores Stirling y las turbinas de vapor convierten una diferencia de temperatura en trabajo mecánico. Existe un límite fundamental para la eficiencia de cualquier dispositivo que convierta una diferencia de temperatura en otra forma de energía. La eficiencia de Carnot es la máxima eficiencia posible de dicho proceso de conversión de energía.

Considera un dispositivo termoeléctrico hecho de una unión de dos materiales que convierte una diferencia de temperatura en electricidad usando el efecto Seebeck. Supongamos que un extremo del dispositivo está conectado a un calentador, y el otro extremo del dispositivo está conectado a un disipador de calor para que esté a una temperatura más baja. Se denota la temperatura del lado caliente del dispositivo\(T_h\), y se denota la temperatura del lado frío del dispositivo\(T_c\). Ambas temperaturas se miden en kelvin, K (u otra medida de temperatura absoluta como Rankine). Supongamos que el único proceso de conversión de energía que ocurre convierte la energía de la diferencia de temperatura a electricidad. Además, supongamos que la energía se suministra continuamente desde el calentador a una velocidad constante para mantener el extremo caliente del dispositivo a temperatura\(T_h\). El calentador está suministrando calor a la habitación en la que se encuentra. No obstante, supongamos que la habitación es tan grande y la cantidad de calor del calentador es tan pequeña que la temperatura de la habitación permanece aproximadamente constante. Por ello, decimos que la habitación es un reservorio termodinámico. Además, supongamos que hemos esperado lo suficiente para que la temperatura del dispositivo haya alcanzado un estado estacionario. La temperatura no es constante a lo largo de la longitud del dispositivo, pero ya no varía con el tiempo.

La entrada a este sistema es la energía térmica suministrada desde el calentador,\(E_{in}\). La salida de este sistema es la energía eléctrica extraída,\(E_{out}\). El dispositivo no se agota en el proceso, por lo que el número de átomos en el dispositivo permanece constante. Siempre y cuando se suministre energía del calentador a una velocidad constante para mantener el lado caliente a temperatura\(T_h\), podemos extraer energía eléctrica del sistema a una velocidad constante. Los científicos de transferencia de calor llaman a este tipo de proceso un ciclo termodinámico o un motor de calor. Un ciclo termodinámico es una secuencia de procesos de conversión de energía donde el dispositivo comienza y termina en el mismo estado. En un ciclo termodinámico, la energía se suministra en una forma y se extrae en otra forma. El dispositivo o masa involucrada arranca y termina en el mismo estado, por lo que los procesos pueden continuar indefinidamente siempre y cuando la entrada se suministre continuamente.

¿Cuánta energía se suministra al sistema desde el calentador? La cantidad de energía requerida para mantener el lado caliente a temperatura\(T_h\) viene dada por

\[E_{in} = k_BT_h. \label{8.6.1} \]

El dispositivo está compuesto por átomos. Cada uno de estos átomos tiene algo de energía interna. Un dispositivo a temperatura\(T\) contiene\(k_BT\) julios de energía donde\(k_B\) está la constante de Boltzmann. La energía fluye desde el lado caliente hasta el lado frío del dispositivo. Arriba, asumimos que el dispositivo estaba en una habitación que era tan grande que el calor del calentador no elevaba la temperatura de la habitación. Por lo tanto, debemos suministrar continuamente esta energía a un ritmo constante para mantener el lado caliente del dispositivo a temperatura\(T_h\). Si bien el lado frío del dispositivo se encuentra a una temperatura más baja\(T_c\), mantiene esa temperatura independientemente de que haya un calentador en la habitación.

¿Cuánta energía se extrae del sistema como energía eléctrica? En el dispositivo Seebeck, el lado caliente se mantiene fijo a temperatura\(T_h\), y debido al ambiente en el que se encuentra, el lado frío permanece a temperatura\(T_c\). La energía se conserva en este sistema. Así, la energía eléctrica extraída del dispositivo viene dada por

\[E_{out} = k_BT_h - k_BT_c. \label{8.6.2} \]

¿Cuál es la eficiencia de este sistema? Arriba asumimos que no ocurren otros procesos de conversión de energía, por lo que este es un caso idealizado. La eficiencia resultante que calculamos representa la mejor eficiencia posible de un dispositivo termoeléctrico que opera con lados a temperaturas\(T_h\) y\(T_c\). La eficiencia se define como

\[\eta_{ef\;f} = \frac{E_{out}}{E_{in}}. \nonumber \]

Usando Ecuaciones\ ref {8.6.1} y\ ref {8.6.2} y algo de álgebra, podemos simplificar la expresión de eficiencia.

\[\eta_{ef\,f} = \frac{E_{out}}{E_{in}} = \frac{k_BT_h - k_BT_c}{k_BT_h} \nonumber \]

\[\eta_{ef\,f} = \frac{T_h - T_c}{T_h} \nonumber \]

\[\eta_{ef\,f} = 1 - \frac{T_c}{T_h} \label{8.6.6} \]

La ecuación\ ref {8.6.6} se conoce como la eficiencia de Carnot. Proporciona una seria limitación en la eficiencia de los dispositivos de conversión de energía que implican convertir energía de una diferencia de temperatura a otra forma. La eficiencia Carnot se aplica a dispositivos termoeléctricos, turbinas de vapor, centrales eléctricas de carbón, dispositivos piroeléctricos y cualquier otro dispositivo de conversión de energía que convierta una diferencia de temperatura en otra forma de energía. Sin embargo, no se aplica a dispositivos fotovoltaicos o piezoeléctricos. Si el lado caliente de un dispositivo está a la misma temperatura que el lado frío, no podemos extraer ninguna energía. Si el lado frío de un dispositivo está a temperatura ambiente, entonces la eficiencia no puede ser del 100%. La eficiencia de Carnot representa la mejor eficiencia posible, no la eficiencia real de un dispositivo en particular porque es probable que también ocurran otros procesos de conversión de energía. Podemos extraer más energía de una turbina de vapor con\(T_h = 495\) K que\(T_h = 295\) K. Sin embargo, en ambos casos, la cantidad de energía que podemos extraer está limitada por la eficiencia de Carnot. Tenga en cuenta que al usar la Ecuación\ ref {8.6.6},\(T_c\) y\(T_h\) debe especificarse en una escala de temperatura absoluta, donde\(T = 0\) es cero absoluto. En unidades SI, utilizamos temperatura en kelvin.

Como ejemplo, considere un dispositivo que convierta una diferencia de temperatura en energía cinética. El lado frío del dispositivo está a temperatura ambiente,\(T_c = 300\) K. ¿Qué tan caliente debe calentarse el lado caliente del dispositivo para que el dispositivo logre un 40% de eficiencia?

\[\eta_{ef\,f} = 1 - \frac{T_c}{T_h} \nonumber \]

\[0.4 = 1 - \frac{300}{T_h} \nonumber \]

De acuerdo con la Ecuación\ ref {8.6.6}, encontramos que\(T_h = 500\) K.

Como otro ejemplo, supongamos que queremos convertir un diferencial de temperatura en energía eléctrica utilizando un dispositivo termoeléctrico. Supongamos que el lado frío del dispositivo está a temperatura ambiente de\(T_c = 72 ^{\circ}F\) y el lado caliente está a la temperatura del cuerpo humano de\(T_h = 96 ^{\circ}F\). ¿Cuál es la mejor eficiencia posible? Primero las temperaturas deben ser convertidas de grados Fahrenheit a kelvin. Las temperaturas resultantes son\(T_c = 295\) K y\(T_h = 309\) K. A continuación, usando la Ecuación\ ref {8.6.6}, encontramos que la mejor eficiencia posible es de sólo 4.5%.

\[\eta_{ef\,f} = 1 - \frac{295}{309} = 0.045 \nonumber \]

Como otro ejemplo, supongamos que la temperatura exterior en un día de diciembre es\(T_c = 20 ^{\circ}F\) y dentro la temperatura ambiente lo es\(T_h = 72 ^{\circ}C\). ¿Cuál es la eficiencia Carnot de un dispositivo termoeléctrico que opera a estas temperaturas? Nuevamente comenzamos por convertir las temperaturas a kelvin,\(T_c = 266\) K y\(T_h = 295\) K.

\[\eta_{ef\,f} = 1 - \frac{266}{295} = 0.098 \nonumber \]

Otros factores que afectan la eficiencia

La eficiencia de los dispositivos prácticos de conversión de energía siempre es menor que la eficiencia de Carnot porque es muy poco probable que solo se produzca un único proceso de conversión de energía. Todos los materiales prácticos, incluso buenos conductores, tienen una resistencia finita, por lo que la energía se convierte en energía térmica a medida que las cargas viajan a través de la mayor parte del dispositivo y a través de cables conectados al mismo. Además, el calor fluye a través del dispositivo, por lo que si un calentador está conectado a un lado de un dispositivo, el otro lado estará a una temperatura más alta que la habitación en la que se encuentra. Por esta razón, no toda la energía suministrada por el calentador se puede convertir en electricidad.

Como ejemplo, considere un material con longitud\(l = 1 mm = 10^{-3} m\) y área de sección transversal\(A = 1 mm^2 = 10^{-6} m^2\). Supongamos que el material tiene una resistividad de la\(\rho = 10^{-5} \Omega \cdot m\) cual es típica para un conductor moderado. Supongamos que una corriente de\(I = 3\) mA fluye a través de la muestra. ¿Cuánta energía se convierte en calor debido al calentamiento resistivo? La conductividad eléctrica de la muestra es\(\sigma = \frac{1}{\rho} = 10^5 \frac{1}{\Omega \cdot m}\). La resistencia del dispositivo viene dada por\(R = \frac{\rho l}{A}\). El poder es

\[P=I^{2} R=I^{2} \frac{\rho l}{A}=\left(3 \cdot 10^{-3}\right)^{2} \frac{10^{-5} \cdot 10^{-3}}{10^{-6}}=9 \cdot 10^{-8} \mathrm{W} \nonumber \]

Si bien esta cantidad de energía puede parecer pequeña, es otro factor que disminuye la eficiencia del dispositivo. Incluso si convertimos la energía de un diferencial de temperatura a electricidad en la unión del dispositivo termoeléctrico, se produce algún calentamiento resistivo. Este calor se desperdicia en el sentido de que no se vuelve a convertir en electricidad.

La eficiencia de la mayoría de los dispositivos termoeléctricos es menor al 10% [5, p. 140] [117]. Como se ve por la Ecuación\ ref {8.6.6}, la eficiencia depende en gran medida de las temperaturas\(T_c\) y\(T_h\), y la eficiencia se puede aumentar aumentando\(T_h\). Para muchos dispositivos, la temperatura máxima está limitada por consideraciones materiales, incluida la temperatura de fusión.