13.1: Preludio al análisis de Thomas-Fermi

¿Dónde se encuentran los electrones alrededor de un átomo? Esta pregunta es difícil por algunas razones. Primero, a temperaturas superiores al cero absoluto, los electrones están en continuo movimiento. Segundo, el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que nunca podremos conocer la posición y el impulso de los electrones simultáneamente con total precisión. Sin embargo, esta pregunta no es desesperada. Podemos encontrar la densidad de carga\(\rho_{ch}\) que nos indica, estadísticamente en promedio, dónde es más probable que se encuentren los electrones. Comprender la distribución de electrones en un material es vital para comprender las propiedades químicas, como la fuerza de los enlaces químicos, así como las propiedades eléctricas, como cuánta energía se requiere para eliminar electrones. Para responder a esta pregunta, utilizaremos cálculo de variaciones. El camino generalizado será voltaje\(V\), y el potencial generalizado será densidad de carga\(\rho_{ch}\). Un lagrangiano describe una diferencia energética, y el lagrangiano tendrá la forma

\[\mathcal{L}=\mathcal{L}\left(r, V, \frac{d V}{d r}\right). \nonumber \]

El camino que se encuentra en la naturaleza es el que minimiza la acción.

\[\delta \int_{r_{1}}^{r_{2}} \mathcal{L} d r=0 \nonumber \]

En este problema, la variable independiente es la posición, no el tiempo. Vamos a configurar la ecuación de Euler-Lagrange luego la resolveremos para encontrar la ecuación del movimiento.

La mayor parte de este capítulo consiste en una derivación de la ecuación de movimiento resultante llamada ecuación de Thomas-Fermi. Con un poco de álgebra, podemos encontrar tanto el voltaje como la densidad de carga alrededor del átomo desde la solución hasta la ecuación de Thomas-Fermi. El procedimiento es el siguiente.

• Describir la primera forma de energía,\(E_{Coulomb\, e \,nucl} + E_{e \,e \,interact}\), en términos de trayectoria\(V\). La densidad de energía resultante es\[\frac{E_{Coulomb \,e\, nucl}}{\mathbb{V}}+\frac{E_{e \,e \,interact}}{\mathbb{V}}=\frac{1}{2} \epsilon|\overrightarrow{\nabla} V|^{2} \nonumber \] donde\(\epsilon\) representa la permitividad y\(\mathbb{V}\) representa el volumen.
• Describir la segunda forma de energía\(E_{kinetic\, e}\) en términos de trayectoria\(V\). La densidad de energía resultante es\[\frac{E_{kinetic \, e}}{\mathbb{V}}=c_{0} V^{5 / 2} \nonumber \] donde\(c_0\) es una constante. Este paso requerirá la idea de espacio recíproco.
• Anota el hamiltoniano\(H \left(r, V, \frac{dV}{dr} \right)\) y lagrangiano\(\mathcal{L} \left(r, V, \frac{dV}{dr} \right)\).
• Configura la ecuación de Euler-Lagrange. \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}-\overrightarrow{\nabla} \cdot\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d V}{d r}\right)}\right) \hat{a}_{r}=0 \nonumber \]
• Resuelve la ecuación de Euler-Lagrange para la ecuación de movimiento. El resultado es\[\frac{5}{2} c_{0} V^{3 / 2}-\epsilon \nabla^{2} V=0. \nonumber \]
• Cambiar variables para limpiar la ecuación de movimiento. La ecuación resultante se llama la ecuación de Thomas-Fermi. \[\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\mathrm{t}^{-1 / 2} y^{3 / 2} \nonumber \]
• El voltaje y la densidad de carga están relacionados algebraicamente con la cantidad\(y\) en la ecuación anterior.

Para intentar encontrar la densidad de carga y el voltaje en función de la posición\(r\) desde el centro del átomo, tendremos que hacer algunas suposiciones bastante drásticas. Este análisis sigue obras de Thomas [173] y Fermi [174] que originalmente se completaron alrededor de 1927. Esta derivación también es discutida por muchos otros autores [6] [46] [136] [175]. Debido a los severos supuestos que se hacen a continuación, los resultados no serán muy precisos. Sin embargo, los cálculos numéricos más precisos se basan en versiones mejoradas de las técnicas establecidas por Thomas y Fermi. Estamos discutiendo la versión más simplificada de la derivación, pero esta es la base de enfoques más precisos.