14.1: Análisis de Preludio a la Mentira

En el Capítulo 11, las ideas de cálculo de variaciones se aplicaron a los procesos de conversión energética. Comenzamos con dos formas de energía y estudiamos cómo esas formas de energía variaban con la variación en algún camino generalizado y algún potencial generalizado. El resultado fue una ecuación de movimiento que describió la variación de la trayectoria generalizada. La ecuación del movimiento tuvo la forma de conservación del potencial generalizado. En el Capítulo 12, las leyes de conservación se enumeraron en la última fila de las tablas. Conocer cómo las formas de energía varían con el camino y con el potencial proporciona información significativa sobre los procesos de conversión de energía. El propósito de este capítulo es mostrar que podemos encontrar simetrías, invariantes y otra información sobre el proceso de conversión de energía aplicando técnicas de análisis de Lie a esta ecuación de movimiento. Si se pueden identificar simetrías continuas de una ecuación, a menudo es posible extraer bastante información comenzando solo con la ecuación.

Las ecuaciones de movimiento que resultan del cálculo de variaciones no siempre son lineales. Puede o no ser posible resolver una ecuación no lineal de movimiento para la trayectoria. Incluso en los casos en los que es posible, a menudo es bastante difícil porque las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales no lineales están mucho menos desarrolladas que las técnicas para ecuaciones lineales. Además, muchas ecuaciones diferenciales no lineales no tienen soluciones de forma cerrada. En este capítulo, veremos una técnica sistemática para obtener información de ecuaciones diferenciales no lineales que proviene del cálculo de variación. La técnica se conoce como análisis de Lie basada en la obra de Sophis Lie a finales del siglo XIX. Adicionalmente, este capítulo introduce el teorema de Noether. Usando este teorema y una ecuación de movimiento, podemos derivar cantidades conservadas. Las técnicas discutidas en este capítulo se aplican incluso para ecuaciones no lineales.

El análisis de mentiras es un procedimiento sistemático para identificar simetrías continuas de una ecuación. Si la ecuación posee simetrías continuas, es posible que podamos encontrar leyes de conservación relacionadas. Algunas ecuaciones poseen múltiples simetrías y leyes de conservación, mientras que otras ecuaciones no contienen simetrías ni leyes de conservación. Usando este procedimiento con un camino generalizado conocido, podemos derivar cantidades conservadas aunque no sepamos elegir el potencial generalizado al principio. Algunos sistemas pueden incluso contener múltiples cantidades conservadas, y este procedimiento nos dará un conjunto completo de cantidades conservadas.

El análisis de mentiras se ha utilizado para encontrar simetrías continuas de muchas ecuaciones fundamentales de la física, y se ha aplicado tanto a ecuaciones mecánicas clásicas como cuánticas. Referencias [164, p. 117] y [181] aplican el procedimiento a la ecuación de calor

\[\frac{dy}{dt} = \frac{d^2y}{dx^2} \nonumber \]

describiendo la función\(y(t, x)\). Se ha aplicado tanto a la ecuación de onda bidimensional [164, p. 123] como a la ecuación de onda tridimensional [181]. Otras ecuaciones analizadas por este procedimiento incluyen la ecuación de Schrödinger [182] [183], las ecuaciones de Maxwell [184] [185] y las ecuaciones de óptica no lineal [186].

Se puede obtener una tremenda cantidad de información observando las simetrías de las ecuaciones. El conocimiento de las simetrías continuas puede permitirnos resolver ecuaciones o al menos reducir el orden de las ecuaciones diferenciales [164]. Si podemos identificar simetrías, podemos simplificar o acelerar los cálculos numéricos utilizando la repetición conocida en la forma de la solución. Si múltiples ecuaciones contienen los mismos elementos de simetría, podemos trazar comparaciones entre las ecuaciones [164]. Podemos encontrar cantidades invariantes del sistema a partir de simetrías continuas conocidas de ecuaciones. Esperemos que este capítulo proporcione una apreciación por la cantidad de información que se puede obtener al aplicar análisis de simetría a ecuaciones de movimiento que describen procesos de conversión de energía.

Supuestos y Notación

Las técnicas de este capítulo se aplican a ecuaciones de movimiento que resultan de describir un proceso de conversión de energía por cálculo de variaciones. Se supone que todas las ecuaciones iniciales de movimiento tienen solo una variable independiente y una dependiente. Estas ecuaciones pueden o no ser lineales. Además, se asume que todas las variables independientes y dependientes son puramente reales. Hicimos los mismos supuestos en el Capítulo 11. La mayoría de los ejemplos de este capítulo involucran ecuaciones diferenciales de segundo orden porque muchos de los procesos de conversión de energía estudiados en el Capítulo 11 condujeron a ecuaciones de movimiento que fueron ecuaciones diferenciales de segundo orden. Sin embargo, estas técnicas se aplican a ecuaciones algebraicas y a ecuaciones diferenciales de otros órdenes.

En este capítulo, las derivadas totales se denotarán como cualquiera\(\frac{dy}{dt}\) o\(\dot{y}\). Las derivadas parciales se denotarán como cualquiera\(\frac{\partial y}{\partial t}\) o\(\partial_ty\) para taquigrafía. Si la cantidad\(y\) es solo una función de una sola variable independiente, no hay razón para distinguir entre derivadas totales y parciales,\(\frac{dy}{dt} = \frac{\partial y}{\partial t}\). Las ecuaciones de movimiento en este capítulo involucrarán una variable independiente y otra dependiente,\(y(t)\). Sin embargo, encontraremos funcionales de múltiples variables independientes como la lagrangiana\(\mathcal{L} = \mathcal{L}(t, y, \frac{dy}{dt})\). Para tales cantidades, tendremos que distinguir cuidadosamente entre derivados totales y parciales.

El análisis aquí no es de ninguna manera matemáticamente riguroso. Además, los ejemplos de este capítulo no son originales. A continuación se incluyen referencias a la literatura.

Estas técnicas generalizan a ecuaciones más complicadas. Se aplican a ecuaciones con múltiples variables independientes y múltiples dependientes, y se aplican cuando estas variables son complejas [164]. Además, estas técnicas se aplican tanto a ecuaciones diferenciales parciales como a ecuaciones diferenciales ordinarias, e incluso se aplican a sistemas de ecuaciones [164]. Ver referencias [164] para saber cómo generalizar los métodos introducidos en este capítulo a las demás situaciones.