14.2: Tipos de simetrías

Discreto versus Continuo

Este capítulo se ocupa de identificar simetrías de ecuaciones. Decimos que una ecuación contiene una simetría si la solución a la ecuación es la misma tanto antes como después de que se aplique una transformación de simetría. La ecuación de onda viene dada por

\[\frac{d^2y}{dt^2} + \omega_0^2y = 0 \nonumber \]

donde\(\omega_0\) es una constante. Cuando\(t\) representa el tiempo,\(\omega_0\) tiene unidades de frecuencia. La ecuación de onda es invariante sobre la simetría discreta

\[y \rightarrow \tilde y = -y. \nonumber \]

Esta transformación es una simetría porque cuando todos los\(y\) de la ecuación se transforman, la ecuación resultante contiene las mismas soluciones que la ecuación original.

\[\begin{align} \frac{d^2 \tilde y}{dt^2} + \omega_0^2 \tilde y &= 0 \\[4pt] \frac{d^2 (-y)}{dt^2} + \omega_0^2(-y) &= 0 \\[4pt] \frac{d^2y}{dt^2} + \omega_0^2y &= 0 \end{align} \nonumber \]

Las simetrías se pueden clasificar como continuas o discretas. Las simetrías continuas se pueden expresar como una suma de simetrías infinitesimalmente pequeñas relacionadas por un parámetro continuo. Una simetría discreta no puede escribirse como una suma de transformaciones infinitesimales de esta manera. Tres transformaciones de simetría discreta comúnmente discutidas [187] son:

• Reversión de tiempo\(t \rightarrow \tilde t =(-1)^{\mathfrak{n}} t\), para entero\(\mathfrak{n}\)
• Paridad\(y \rightarrow \tilde y =(-1)^{\mathfrak{n}} y\), para entero\(\mathfrak{n}\)
• Conjugación de carga\(y \rightarrow \tilde y = y^*\), donde\(*\) denota conjugado complejo.

Por ejemplo, la ecuación de onda es invariante en cada una de estas tres simetrías discretas porque las soluciones de la ecuación siguen siendo las mismas antes y después de que se realicen estas transformaciones de simetría. La transformación\(t \rightarrow \tilde t = t + \varepsilon\), donde\(\varepsilon\) es el parámetro continuo que puede ser infinitesimalmente pequeño, es un ejemplo de una transformación continua porque se puede separar en una suma de simetrías infinitesimales. Tanto las simetrías discretas como las continuas pueden implicar transformaciones de la variable independiente, la variable dependiente o ambas variables. En este capítulo, estudiaremos un procedimiento sistemático para identificar simetrías continuas de una ecuación, y no consideraremos más a fondo las simetrías discretas.

Regular versus Dinámico

Las simetrías continuas se pueden clasificar como regulares o dinámicas. Las simetrías continuas regulares implican transformaciones de las variables independientes y variables dependientes. Las simetrías dinámicas implican transformaciones de las variables independientes, variables dependientes y las derivadas de las variables dependientes [188]. (Algunos autores utilizan el término simetrías generalizadas en lugar de simetrías dinámicas [164, p. 289].) Sólo se considerarán simetrías regulares. Las técnicas aquí discutidas generalizan a simetrías dinámicas [164], pero están más allá del alcance de este texto.

Geométrico versus no geométrico

Las simetrías también pueden clasificarse como geométricas o no geométricas [184] [185]. Las transformaciones de simetría no geométrica implican tomar una transformada de Fourier, realizar alguna transformación de las variables, luego tomar una transformada inversa de Fourier. Las transformaciones resultantes son simetrías si la solución de la ecuación en consideración es la misma antes y después de que ocurran las transformaciones. Las simetrías no geométricas se pueden escribir como funciones de un parámetro infinitesimal pero no son continuas. Las simetrías no geométricas no se discutirán aquí y también están fuera del alcance de este texto.