3.8.1: Transformaciones lineales discretas

En general, una transformación lineal discreta toma un vector como entrada y devuelve otro vector del mismo tamaño. Los elementos del vector de salida son una combinación lineal de los elementos del vector de entrada, y por lo tanto esta transformación se puede llevar a cabo por multiplicación matricial.

Por ejemplo, considere la siguiente multiplicación matricial:

\ begin {ecuación}\ tag {3.1}
\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 1\\
1 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
4\\
1
\ end {array}\ right]\ right tarrow\ left [\ begin {array} {l}
5\\
3
\ end {array}\ right].
\ end {ecuación}

Si los vectores y matrices en esta ecuación se nombran

entonces la Ecuación 3.1 se convierte

O =\(\mathbb{C}\) I.\(\tag{3.2}\)

Ahora podemos pensar en una transformación lineal discreta que transforma el vector de entrada I en el vector de salida O.\(\mathbb{C}\) Por cierto, esta transformación particular\(\mathbb{C}\) es aquella que transforma el vector de entrada I en un vector que contiene la suma (5) y la diferencia (3) de sus componentes. \(^3\)

El procedimiento es el mismo para una matriz de 3×3 que actúa sobre un vector de 3 elementos:

\[ \tag{3.3} \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{array}{lcl} o_1 & = & \sum_{j} c_{1,j}i_j \\ o_2 & = & \sum_{j} c_{2,j}i_j \\ o_3 & = & \sum_{j} c_{3,j}i_j \end{array} \]

que de nuevo se puede escribir en la forma sucinta

O =\(\mathbb{C}\) I.\(\tag{3.4}\)

donde ahora los vectores son de tamaño 3 y la matriz es 3×3.

En general, para una transformación de esta forma, si la matriz\(\mathbb{C}\) tiene una inversa\(mathbb{C}^{−1}\) entonces el vector I puede ser reconstruido a partir de su transformada por

I =\(\mathbb{C}^{-1}\) O. \(\tag{3.5}\)

Las ecuaciones 3.3 y 3.1 ilustran la transformación lineal cuando la entrada es un vector de columna. El procedimiento para un vector fila-vector es similar, pero el orden del vector y la matriz se invierte, y la matriz de transformación se transpone. \(^4\)Este cambio es consistente con la visualización de un vector de fila como la transposición del vector de columna. Por ejemplo:

Los vectores son útiles para tratar con objetos que tienen un carácter unidimensional, como una forma de onda de sonido muestreada un número finito de veces. Las imágenes son inherentemente bidimensionales por naturaleza, y es natural usar matrices para representar las propiedades de los píxeles de una imagen. El video es inherentemente tridimensional (dos espacios y una vez) y es natural usar matrices tridimensionales de números para representar sus datos. La sucinta notación vector-matriz dada aquí se extiende con gracia a sistemas bidimensionales, pero no a dimensiones superiores (se pueden usar otras notaciones matemáticas).

Extender las transformaciones lineales para actuar sobre matrices, no solo vectores, no es difícil. Por ejemplo, considere una imagen muy pequeña de seis píxeles, tres filas de dos píxeles cada una, o dos columnas de tres píxeles cada una. Un número que representa alguna propiedad de cada píxel (como su brillo en una escala de 0 a 1) podría formar una matriz de 3×2:

\[ \tag{3.7} \begin{bmatrix} i_{1,1} & i_{1,2} \\ i_{2,1} & i_{2,2} \\ i_{3,1} & i_{3,2} \end{bmatrix} \]

La transformación lineal más general que conduzca a una matriz de salida 3×2 requeriría 36 coeficientes. Cuando la disposición de los elementos en una matriz refleja el objeto subyacente que se está representando, un conjunto menos general de transformaciones lineales, que operan sobre las filas y columnas por separado, utilizando diferentes matrices\(\mathbb{C}\) y\(\mathbb{D}\), puede ser útil:

\[ \tag{3.8} \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{1,1} & i_{1,2} \\ i_{2,1} & i_{2,2} \\ i_{3,1} & i_{3,2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_{1,1} & d_{1,2} \\ d_{2,1} & d_{2,2} \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} o_{1,1} & o_{1,2} \\ o_{2,1} & o_{2,2} \\ o_{3,1} & o_{3,2} \end{bmatrix} \]

o, en notación matricial,

\(\mathbb{O} = \mathbb{C}\mathbb{I}\mathbb{D}, \tag{3.9}\)

Tenga en cuenta que las matrices a la izquierda\(\mathbb{C}\) y a la derecha\(\mathbb{D}\) en este caso son generalmente de diferente tamaño, y pueden o no ser del mismo carácter general. (Un caso especial importante es cuando\(\mathbb{I}\) es cuadrado, es decir, contiene el mismo número de filas y columnas. En este caso la matriz de salida también\(\mathbb{O}\) es cuadrada, y\(\mathbb{C}\) y\(\mathbb{D}\) son del mismo tamaño.)

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\(^3\)It happens that \(\mathbb{C}\) is √2 times the 2×2 Discrete Cosine Transformation matrix defined in Section 3.8.2.

\(^4\)Transposing a matrix means flipping its elements about the main diagonal, so the \(i, j\) element of the transpose is the \(j, i\) element of the original matrix. Transposed matrices are denoted with a superscript \(T\), as in \(\mathbb{C}^T\). In general the transpose of a product of two matrices (or vectors) is the product of the two transposed matrices or vectors, in reverse order: \((\mathbb{AB})^T\) = \(\mathbb{B}^T\mathbb{A}^T\).