3.3: Simetría física

Para una aplicación física de simetría, imagine una lámina metálica uniforme, tal vez papel de aluminio, cortada en la forma de un pentágono regular. Imagine que a los bordes se unen fuentes de calor y sumideros, grandes bloques de metal a temperatura fija, para mantener los bordes a las temperaturas marcadas en la figura. Después de esperar lo suficiente, la distribución de temperatura en el pentágono deja de cambiar (llega al equilibrio).

Una vez que la temperatura del pentágono se equilibre, ¿cuál es la temperatura en su centro?

Una solución analítica de fuerza bruta es difícil. El flujo de calor se describe mediante la ecuación de calor, una ecuación lineal de diferencial parcial de segundo orden:

\[\kappa \nabla^{2} = \frac{\delta T}{\delta t}\]

donde T es la temperatura en función de la posición y el tiempo, y\(\kappa\) (kappa) es la difusividad térmica (que estudiaremos con más detalle en el Capítulo 7). Pero no te preocupes: ¡No tienes que entender la ecuación, solo que es difícil de resolver!

Una vez que la temperatura se establece, la derivada de tiempo se convierte en cero, y la ecuación se simplifica a\(\kappa \nabla^{2}T=0\). Sin embargo, incluso esta ecuación más simple tiene soluciones solo para formas simples, y las soluciones son complicadas. Por ejemplo, la distribución de temperatura en la hoja cuadrada más simple es poco intuitiva (la figura muestra líneas de contorno espaciadas cada 10 ^°). Para un pentágono, la distribución de la temperatura es peor. Sin embargo, debido a que el pentágono es regular, la simetría podría hacer fluir la solución.

¿Qué es una operación de simetría útil?

A la naturaleza, en la persona de la ecuación de calor, no le importa la dirección de nuestro sistema de coordenadas. Por lo tanto, girar el pentágono alrededor de su centro no cambia la temperatura en el centro. Por lo tanto, las siguientes cinco orientaciones del pentágono comparten la misma temperatura central:

Al igual que Gauss sumando las dos versiones de su suma (Sección 3.2.2), apilar estas hojas mentalmente y sumar las temperaturas que se encuentran una encima de la otra para hacer el perfil de temperatura de una nueva súper lámina (sumar las temperaturas es válida porque la ecuación de calor es lineal).

Cada súper borde contiene un borde de ^80° y cuatro bordes ^{de 10°}, para una temperatura de 120 ^°. La súper lámina es un pentágono regular donde todos los bordes están a 120 ^°. Por lo tanto, la temperatura en toda la lámina es ^{de 120°} —incluyendo en el centro. Debido a que la operación de simetría nos ha ayudado a construir un problema mucho más fácil, no tuvimos que resolver la ecuación del calor.

Un paso más nos dice la temperatura en el centro de la lámina original. La operación de simetría gira el pentágono alrededor de su centro; cuando las placas están apiladas, los centros se alinean. Cada centro aporta entonces una quinta parte de los 120 ^° en el centro, por lo que la temperatura central original es de 24 ^°.

Para resaltar las ideas transferibles (abstracciones), compare las soluciones de simetría con la suma de Gauss y con este problema de temperatura. Primero, ambos problemas parecen complicados. La suma de Gauss tiene muchos términos, todos diferentes; el problema del pentágono parece requerir resolver una difícil ecuación diferencial. Segundo, ambos problemas contienen una operación de simetría. En la suma de Gauss, la operación de simetría invirtió el orden de los términos; para el pentágono, la operación de simetría lo gira 72 ^°. Finalmente, la operación de simetría deja sin cambios una cantidad importante. Para el problema de Gauss, esta cantidad es la suma; para el pentágono, es la temperatura central.

Cuando haya cambio, busque lo que no cambia. Buscar invariantes y las simetrías correspondientes: las operaciones que preservan a los invariantes.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Symmetry solution for a square sheet

Aquí está la gráfica de contorno nuevamente de la temperatura en una hoja cuadrada. Las curvas de nivel están separadas por 10°. Usa esa información para etiquetar la temperatura de cada curva de nivel. Con base en el razonamiento de simetría, ¿cuál debería ser la temperatura en el centro del cuadrado? ¿Esta temperatura pronosticada es consistente con lo que se muestra en la gráfica de contorno?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Simulating the heat equation

Usando simetría, demostramos que la temperatura en el centro del pentágono es la media de las temperaturas de los lados. Verifique la solución simulando la ecuación de calor con un límite pentagonal.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Shortest bisecting path

¿Cuál es el camino más corto que divide un triángulo equilátero en dos áreas iguales? Aquí hay tres ejemplos de caminos bisecantes:

Para poner en marcha sus engranajes de resolución de problemas, primero clasifique estos tres caminos biseccionales según sus longitudes.