3.4: Modelos de Cajas y Conservación

La invarianza subyace a una poderosa abstracción cotidiana: los modelos de caja. Ya hicimos un modelo de caja en la Sección 3.1.1, para decidir si correr o caminar bajo la lluvia. Ahora examinemos más a fondo este método. El tipo de caja más simple contiene una cantidad fija de cosas, tal vez el volumen de líquido o el número de estudiantes en una universidad ideal (donde cada estudiante se gradúa en un tiempo determinado). Entonces lo que entra en la caja debe salir. Esta conclusión parece simple, incluso simplista, pero tiene una amplia aplicación.

3.4.1 Oferta y demanda

Para otro ejemplo de un modelo de caja, volver a nuestra estimación del uso de petróleo en Estados Unidos (Sección 1.4). El flujo hacia la caja, el empuje o el suministro, es el petróleo importado y producido en el país. El flujo que sale de la caja, el tirón o la demanda, es el uso de petróleo. El estimado, literalmente tomado, pide el abasto (cuánto petróleo se importa y se produce a nivel nacional). Esta estimación es difícil. Afortunadamente, siempre y cuando el petróleo no se acumule en la caja (por ejemplo, siempre y cuando el petróleo no se sale en búnkers subterráneos de almacenamiento), entonces la cantidad de petróleo en la caja es una invariante, por lo que la oferta iguala a la demanda. Para estimar la oferta, en consecuencia se estimó la demanda. Este razonamiento de conservación es la base de la siguiente estimación del tamaño de un mercado.

¿Cuántos taxis hay en Boston, Massachusetts?

Durante muchos años sin autos, viví en un antiguo barrio de Boston. A menudo viajaba en taxis y me preguntaba sobre el tamaño del mercado de taxis, en particular, cuántos taxis había. Este número parecía difícil de estimar, porque los taxis están dispersos por toda la ciudad y son difíciles de contar.

La caja contiene la conducción de taxi disponible (medida, por ejemplo, como tiempo). Es abastecido por taxistas. La demanda se debe a los usuarios de taxis. Siempre que la oferta y la demanda coincidan, podemos estimar la oferta estimando la demanda

Para estimar la demanda, el punto de partida es que Boston tiene aproximadamente 500 000 residentes. Como estimación instintiva, cada residente usa tal vez un taxi al mes, para un viaje de 15 minutos: los taxis de Boston son caros; a menos que uno no tenga un automóvil, es difícil imaginar usarlos con más frecuencia que una vez al mes o por más de 15 minutos. Entonces la demanda es de aproximadamente 105 horas de manejo de taxi al mes:

\[5 \times 10^{5} \cancel{residents} \times \frac{15 \cancel{min}}{\cancel{resident} month} \times \frac{1hr}{60 \cancel{min}} \approx \frac{10^{5} hr}{month}.\]

¿Cuántos taxistas soportarán tantas horas mensuales?

Los taxistas trabajan turnos largos, tal vez 60 horas semanales. Supongo que llevan pasajeros la mitad de ese tiempo: 30 horas a la semana o aproximadamente 100 horas al mes. A ese ritmo, 10 ⁵ horas de demanda mensual podrían ser atendidas por 1000 taxistas o, suponiendo que cada taxi sea conducido por un chofer, por 1000 taxis.

¿Qué pasa con los turistas?

Los turistas son residentes de Boston a muy corto plazo, en su mayoría sin autos. Los turistas, aunque son menos que los residentes, utilizan los taxis con más frecuencia y por más tiempo que los residentes. Para incluir la contribución turística a la demanda de taxis, simplemente duplicaré la estimación anterior para conseguir 2000 taxis.

Esta estimación se puede verificar de manera confiable, porque Boston es una de las ciudades de Estados Unidos donde los taxis pueden recoger pasajeros solo con un permiso especial, el medallón. El número de medallones está estrictamente controlado, por lo que los medallones cuestan una fortuna. Por cerca de 60 años, su número estuvo restringido a 1525, hasta que una batalla judicial de 10 años consiguió que el límite se elevara en 260, a alrededor de 1800.

La estimación de 2000 puede parecer más precisa de lo que merece. Sin embargo, el azar favorece a la mente preparada. Nos preparamos usando buenas herramientas: un modelo de caja y un razonamiento de dividir y conquistar. Al hacer sus propias estimaciones, tenga confianza en las herramientas y espere que sus estimaciones sean al menos medio decentes. De este modo encontrarás el coraje para comenzar: El optimismo engrasa los rieles de la estimación

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Differential equation for an RC circuit

Explicar cómo un modelo de caja conduce a la ecuación diferencial para el circuito RC de paso bajo de la Sección 2.4.4:

\[RC\frac{dV_{out}}{dt} + V_{out} = V_{in}.\]

(Casi todas las ecuaciones diferenciales surgen de una caja o argumento de conservación).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Boston taxicabs tree

Dibuja un árbol de dividir y conquistar para estimar el número de taxis de Boston. Primero dibujarla sin estimaciones. Luego incluye tus estimaciones, y propaga los valores hacia la raíz.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Needles on a Christmas tree

Estimar el número de agujas en un árbol de Navidad

3.4.2 Flujo

Los flujos, como la demanda de petróleo o el suministro de taxis, son tarifas, una cantidad por tiempo. Los flujos físicos también son tasas, pero viven en una geometría. Esta incrustación nos permite definir una cantidad relacionada: flujo.

\[\textrm{flux of stuff} \equiv \frac{rate}{area} = \frac{\textrm{amount of stuff}}{area \times time}\]

Por ejemplo, el flujo de partículas es la velocidad a la que las partículas (digamos, moléculas) pasan a través de una superficie perpendicular al flujo, dividida por el área de la superficie. Dividiendo por la superficie, una operación sin contrapartida en flujos no físicos (por ejemplo, en la demanda de taxicabs), hace que el flujo sea más invariante y útil que la tasa. Porque si duplica la superficie, duplica la tarifa. Esta proporcionalidad no es de interés periodístico, y por lo general no agrega perspicacia, solo desorden. Cuando hay cambio, busca lo que no cambia: Incluso cuando el área cambia, el flujo no.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Rate versus amount

Explique por qué la tasa (cantidad por tiempo) es más útil que la cantidad.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\): What is current density

¿Qué tipo de flujo (flujo de qué?) es densidad de corriente (corriente por área)?

La definición de flujo conduce a una conexión simple e importante entre el flujo y la velocidad del flujo. Imagínese un tubo de material (por ejemplo, moléculas) con área de sección transversal A. La materia fluye a través del tubo a una velocidad v.

En un tiempo t, ¿cuántas cosas salen del tubo?

En el tiempo t, las cosas en el trozo sombreado, abarcando una longitud vt, sale del tubo. Este trozo tiene volumen Avt. La cantidad de cosas en ese volumen es

\[\underbrace{\frac{\textrm{stuff}}{\textrm{volume}}}_{\textrm{density of stuff}} \times \underbrace{Avt}_{\textrm{volume}}.\]

La cantidad de cosas por volumen, la densidad de las cosas, ocurre tan a menudo que generalmente recibe un símbolo especial. Cuando el material es partículas, la densidad se etiqueta n para la densidad numérica (en contraste con N para el número en sí). Cuando el material es carga o masa, se etiqueta la densidad\(\rho\).

De la cantidad de cosas, podemos encontrar el flujo:

\[\textrm{flux of stuff} = \frac{\textrm{amount of stuff}}{\textrm{area} \times \textrm{time}} = \frac{\textrm{density of stuff} \times \overbrace{\textrm{volume}}^{Avt}}{\underbrace{\textrm{area} \times \textrm{time}}_{At}}.\]

El producto At cancela, dejando la relación general

\[\textrm{flux of stuff} = \textrm{density of stuff} \times \textrm{flow speed}\]

Como ejemplo particular, cuando el material es carga (Problema 3.28), el flujo de cosas se convierte en carga por tiempo por área, que es corriente por área o densidad de corriente. Con esa etiqueta para el flujo, la relación general se convierte en

\[\underbrace{\textrm{current density}}_{J} = \underbrace{\textrm{charge density}}_{\rho} \times \underbrace{\textrm{flow speed}}_{v_{drift}},\]

donde v _drift es la velocidad de flujo de la carga, que estimarás en Problema 6.16 para electrones en un cable.

La relación general será crucial para estimar la potencia requerida para volar (Sección 3.6) y en la comprensión de la conducción de calor (Sección 7.4.2).

3.4.3 Flujo solar promedio

Un flujo importante es el flujo de energía: la velocidad a la que la energía pasa a través de una superficie, dividida por el área de la superficie. Aquí, tasa significa energía por tiempo, o potencia. Por lo tanto, el flujo de energía es potencia por área. Un flujo de energía esencial para la vida es el flujo solar: la energía solar por área que cae sobre la Tierra. Este flujo impulsa la mayor parte de nuestro clima. En la parte superior de la atmósfera, mirando directamente hacia el sol, el flujo es aproximadamente F = 1300 vatios por metro cuadrado.

Sin embargo, este flujo no se distribuye uniformemente sobre la superficie de la tierra. La razón más sencilla es la noche y el día. En el lado nocturno de la Tierra, el flujo solar es cero. Más sutilmente, diferentes latitudes tienen diferentes flujos solares: Las regiones ecuatoriales son más cálidas que los polos porque reciben más flujo solar que los polos.

¿Cuál es el promedio del flujo solar sobre toda la Tierra?

Podemos encontrar el flujo promedio usando un modelo de caja (un argumento de conservación). Aquí está la luz solar llegando a la Tierra (con rayos paralelos, porque el Sol está muy lejos). Sostenga un disco con radio R _Tierra perpendicular a la luz solar para que bloquee toda la luz solar que de otra manera obtendría la Tierra. El disco absorbe una potencia que podemos encontrar del flujo de energía:

\[power = energy \: flux \times area = F \pi R^{2}_{Earth},\]

donde F es el flujo solar. Ahora extiende este poder sobre toda la Tierra, que tiene área de superficie\(4 \pi R^{2}_{Earth}\):

\[\textrm{average flux} = \frac{power}{\textrm{surface area}} = \frac{F \pi R^{2}_{Earth}}{4 \pi R^{2}_{Earth}} = \frac{F}{4}\]

Debido a que la mitad de la Tierra está en la noche, promediar a lo largo de las partes nocturnas y diurnas de la tierra representa un factor de 2. Por lo tanto, promediar sobre latitudes debe dar cuenta de otro factor de 2 (Problema\(\PageIndex{6}\)).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\): Averaging solar flux over all latitudes

Integrar el flujo solar sobre todo el lado soleado de la Tierra, teniendo en cuenta los ángulos variables entre la luz solar incidente y la superficie. Verifique que el resultado concuerde con el resultado del modelo de caja.

El resultado es aproximadamente 325 vatios por metro cuadrado. Este flujo promedio sobreestima ligeramente lo que recibe la Tierra a nivel del suelo, porque no todos los 1300 vatios por metro cuadrado que golpean la parte superior de la atmósfera llegan a la superficie. Aproximadamente el 30 por ciento se refleja cerca de la parte superior de la atmósfera (por las nubes). La cantidad sobreviviente es de unos 1000 vatios por metro cuadrado. Promediado sobre la superficie de la Tierra, se convierte en 250 vatios por metro cuadrado (que luego entra en la superficie y la atmósfera), o aproximadamente F /5, donde F es el flujo en la parte superior de la atmósfera.

3.4.4 Lluvia

Estos 250 vatios por metro cuadrado determinan características de nuestro clima que son esenciales para la vida: la temperatura media de la superficie y la precipitación promedio. Se llega a estimar la temperatura superficial en Problema 5.43, una vez que aprendes la herramienta de razonamiento del análisis dimensional. Aquí, estimaremos la precipitación promedio.

Si la caja que representa la atmósfera contiene una cantidad fija de agua, y durante una larga escala de tiempo, la cantidad es constante (es nuestra invariante), entonces lo que entra en la caja debe salir de la caja. El flujo de entrada es evaporación; el flujo de salida es lluvia. Por lo tanto, para estimar la precipitación, estime la evaporación, la cual es producida por el flujo solar.

¿Cuánta lluvia cae sobre la Tierra?

Las precipitaciones se miden como una altura del agua por tiempo, típicamente, pulgadas o milímetros por año. Para estimar las precipitaciones promedio globales, convertir el suministro de energía solar en el suministro de agua de lluvia. En otras palabras, convierta la potencia por área a altura por tiempo. La estructura de la conversión es

\[\frac{power}{area} \times {?}{?} = \frac{height}{time},\]

¿dónde? /? representa el factor de conversión que necesitamos determinar. Para encontrar lo que representa este factor de conversión, multiplicamos ambos lados por área por potencia. El resultado es

\[\frac{?}{?} = \frac{area \times height}{power \times time} = \frac{volume}{energy}.\]

¿Qué cantidad física podría ser este volumen por energía?

Estamos tratando de determinar la cantidad de lluvia, por lo que el volumen en el numerador debe ser el volumen de lluvia. Evaporar el agua requiere energía en el denominador debe ser la energía requerida para evaporar esa cantidad de agua. El factor de conversión es entonces el recíproco del calor de vaporización del agua L _vap, pero expresado como una energía por volumen. En la Sección 1.7.3, estimamos L _vap como una energía por masa. Para que sea una energía por volumen, simplemente multiplique por una masa por volumen, es decir, por\(\rho_{water}\).

\[\underbrace{\frac{\textrm{energy}}{\cancel{\textrm{mass}}}}_{L_{vap}} \times \underbrace{\frac{\cancel{\textrm{mass}}}{\textrm{volume}}}_{\rho_{water}} = \underbrace{\frac{\textrm{energy}}{\textrm{volume}}}_{\rho_{water}L_{vap}}}.\]

Nuestro factor de conversión, volumen por energía, es el recíproco,\[\frac{1}{\rho_{water} L_{vap}\]. Nuestra estimación para la precipitación promedio luego se convierte en

\[\frac{\textrm{solar flux going to evaporate water}}{\rho_{water}L_{vap}}\]

Para el numerador, no podemos simplemente usar F, el flujo solar completo en la parte superior de la atmósfera. Más bien, el numerador incorpora varias proporciones adimensionales que dan cuenta de los aros a través de los cuales debe saltar la luz solar para llegar a la superficie y evaporar el agua.

0.25 promediando el flujo interceptado sobre toda la superficie de la Tierra (Sección 3.4.3)

0.7 la fracción no reflejada en la parte superior de la atmósfera

0.7 de la luz solar no reflejada, la fracción que llega a la superficie (el otro 30 por ciento se absorbe en la atmósfera)

× 0.7 de la luz solar llegando a la superficie, la fracción que llega a los océanos (el otro 30 por ciento calienta principalmente la tierra)

= 0.09 fracción de flujo completo F que evapora el agua (incluyendo promediar el flujo completo sobre toda la superficie)

El producto de estos cuatro factores es aproximadamente del 9 por ciento. Con L _vap = 2.2 × 10 ⁶ julios por kilogramo (que estimamos en la Sección 1.7.3), nuestra estimación de lluvias se vuelve aproximadamente

\[\frac{\overbrace{1300 \textrm{W m}^{-2}}^{F} \times \overbrace{0.09}^{\textrm{fraction}}}{\underbrace{10^{3} \textrm{kg m}^{-3}}_{\rho_{water}} \times \underbrace{2.2 \times 10^{6} \textrm{J kg}^{-3}}_{L_{vap}}} \approx \frac{5.3 \times 10^{-8} m}{s}.\]

La longitud en el numerador es pequeña y difícil de percibir. Por lo tanto, la unidad de tiempo común para las precipitaciones es de un año en lugar de un segundo. Para convertir la estimación de lluvias a metros por año, multiplique por 1:

\[\frac{5.3 \times 10^{-8} m}{\cancel{s}} \times \frac{3 \times 10^{7} \cancel{s}}{1 yr} \approx \frac{1.6m}{yr}\]

(alrededor de 64 pulgadas por año). No está mal: Incluyendo todas las formas de caída de agua, como la nieve, el promedio mundial es de 0.99 metros por año, algo más alto sobre los océanos y ligeramente más bajo sobre la tierra (donde es de 0.72 metros por año). La discrepancia moderada entre nuestra estimación y el promedio real surge porque algunos rayos solares calientan el agua sin evaporarla. Para reflejar este efecto, nuestra tabla de la página 81 necesita una fracción más (≈ 2/3).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\):Solar luminosity

Estimar la luminosidad—la potencia de salida del Sol (digamos, en vatios )— basada en el flujo solar en la parte superior de la atmósfera terrestre.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\): Total solar power falling on Earth

Estimar la energía solar total que cae sobre la superficie de la Tierra. ¿Cómo se compara con el consumo energético mundial?

Ejercicio\(\PageIndex{9}\): Explaining the difference between ocean and land rainfall

¿Por qué la precipitación promedio sobre la tierra es menor que sobre el océano?

3.4.5 Tiempos de residencia

Debido a la evaporación, la atmósfera contiene mucha agua: aproximadamente 1.3×10 ¹⁶ kilogramos, como vapor, líquido y sólido. Esta masa nos dice el tiempo de residencia: cuánto tiempo permanece una molécula de agua en la atmósfera antes de que caiga de nuevo a la Tierra como precipitación (el nombre general de lluvia, nieve o granizo). La estimación ilustrará una nueva forma de usar modelos de caja.

Aquí está la caja que representa el agua en la atmósfera (se supone que solo necesita una caja). La caja se llena por evaporación y se vacía por la lluvia.

Imagina que la caja es una manguera de agua que sostiene una masa m _agua. ¿Cuánto tiempo tarda una molécula de agua en llegar de un extremo de la manguera a otro? Esta vez es el tiempo promedio que tarda una molécula de agua desde la evaporación hasta su regreso a la Tierra como precipitación. En el modelo de caja, el tiempo es el momento de llenar completamente la caja. Esta constante de tiempo, denotada\(\tau\), es

\[\tau = \frac{\textrm{mass of water in the atmosphere}}{\textrm{rate of inflow or outflow, as a mass per time}.\]

El numerador es m _agua. Para el denominador, convertimos la precipitación, que es una velocidad (por ejemplo, en metros por año), a una tasa de flujo másico (masa por tiempo). Vamos a nombrar la velocidad de precipitación v _lluvia. El flujo másico correspondiente es, utilizando nuestros resultados de la Sección 3.4.2,\(\rho_{water}v_{rainfall}\):

\[\textrm{mass flux} = \underbrace{\textrm{density}}_{\rho_{water}} \times \underbrace{\textrm{flow speed}}_{v_{rainfall}} = \rho_{water}v_{rainfall}.\]

El flujo es flujo por área, por lo que multiplicamos el flujo másico por el área superficial de _{la Tierra A Tierra} para obtener el flujo másico:

\[\textrm{mass flow} = \rho_{water}v_{rainfall}A_{Earth}.\]

A este ritmo, el tiempo de llenado es

\[\tau = \frac{m_{water}}{\rho_{water}v_{rainfall}A_{Earth}}.\]

Hay dos formas de evaluar esta vez: el método directo pero menos perspicaz, y el método menos directo pero más perspicaz. Primero hagamos el método directo, para que al menos tengamos una estimación para\(\tau\).

\[\tau \sim \frac{1.3 \times 10^{16}kg}{10^{3}kg m^{-3} \times 1 m yr^{-1} \times 4 \pi \times (6 \times 10^{6}m)^{2}} \approx 2.5 \times 10^{-2} yr,\]

que es aproximadamente 10 días. Por lo tanto, después de evaporarse, el agua permanece en la atmósfera durante aproximadamente 10 días.

Para el método menos directo pero más perspicaz, observe qué cantidades no son razonablemente dimensionadas, es decir, no captables por nuestra mente, a saber, m _agua y A _Tierra. Pero la combinación\(m_{water}/\rho_{water}A_{Earth}\) es de tamaño razonable:

\[\frac{m_{water}}{\rho_{water}A_{Earth}} \sim \frac{1.3 \times 10^{16} kg}{10^{3}kg m^{-3} \times 4 \pi \times (6 \times 10^{6} m)^{2}} \approx 2.5 \times 10^{-2} m.\]

Esta longitud, 2.5 centímetros, tiene una interpretación física. Si toda el agua, la nieve y el vapor cayeran de la atmósfera a la superficie de la Tierra, formaría un océano global adicional de 2.5 centímetros de profundidad.

La precipitación le quita 100 centímetros al año. Por lo tanto, drenar este océano, con una profundidad de 2.5 centímetros, requiere 2.5×10 ⁻² años o aproximadamente 10 días. Esta vez es, una vez más, el tiempo de residencia del agua en la atmósfera.