7.1: Modelos de Sistemas de Datos Muestreados

7.1.1 Sistemas de datos muestreados

Los sistemas de datos muestreados operan en tiempo discreto, representado como múltiplos integrales del tiempo de muestreo (\(T\)).

Para modelar los sistemas de datos muestreados, consideramos un muestreador ideal que muestrea una señal física\(r(t)\) cada\(T\) segundo y genera una serie de impulsos con pesos\(r(kT),\; \; k=0,1,\ldots .\)

Matemáticamente, la salida del muestreador,\(r^{*} (t)\), representa la multiplicación de\(r(t)\) con un tren de impulsos, dado como:

\[r^{*} (t)=\sum _{k=0}^{\infty } r(kT)\delta (t-kT)\]

Al aplicar la transformada de Laplace a la señal muestreada\(r^{*} (t)\), obtenemos:

\[r^{*} (s)=\sum _{0}^{\infty } r(kT)e^{-skT} \]

Dado que el tiempo de muestreo\(T\),, es constante, podemos cambiar la variable a:\(z=e^{sT}\), para representar la señal muestreada como:

\[r(z)=\sum _{0}^{\infty } r(kT)z^{-k}\]

donde\(r(z)\) define la\(z\) -transformada de la señal muestreada,\(r(kT)\).

7.1.2 La transformada z

El\(z\) -transform es el equivalente de transformación de Laplace en el caso de los sistemas de datos muestreados. El dominio\(z\) de la transformada incluye secuencias numéricas de valor real o complejo.

Suponiendo que la secuencia\(r(kT)\) numérica,, se obtiene muestreando una señal de valor real\(r\left(t\right)\), la dependencia del tiempo puede suprimirse para representar la secuencia como:\(r\left(k\right)=\left\{r\left(0\right), r\left(1\right),\dots \right\}\). La secuencia transformada z se da como:

\[r(z)=z[r(kT)]=\sum _{0}^{\infty } r(k)z^{-k} \]

La secuencia transformada,\(r(z)\), representa una función racional de una variable compleja\(z=\left|z\right|e^{j\theta }\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

La\(z\) -transformada de una secuencia unidad-etapa:\(u(k)=\{ 1,\; 1,\; \ldots \}\) se da como:

\[u(z)=\sum _{0}^{\infty } z^{-k} =\frac{1}{1-z^{-1} } ;\; \; |z^{-1} |<1\]

La convergencia de las series geométricas anteriores está condicionada a:\(|z^{-1} |<1\), o\(|z|>1\) que define su región de convergencia (ROC); el ROC está fuera de la unidad-círculo:\(e^{j\theta },\ 0\le \theta <2\pi\) en el\(z\) plano complejo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(r(t)=e^{-at} u(t)\); entonces\(r(kT)=\{ 1,\; e^{-aT} ,e^{-2aT} ,\ldots \}\). De ahí que,

\[r(z)=\sum _{0}^{\infty } e^{-akT} z^{-k} =\frac{1}{1-e^{-aT} z^{-1} } ;\; |e^{-aT} z^{-1} |<1\]

El ROC está fuera del círculo de radio\(e^{-aT}\) en el\(z\) plano complejo.

En aplicaciones de procesamiento de señales digitales (DSP), el índice\(n\) '' se usa comúnmente para representar una secuencia de valor real, es decir, la transformada z de una secuencia,\(r(n)=a^nu(n)\) se da como:\(r(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(r(t)=e^{j\omega t} u(t);\) entonces\(r(kT)=\{ 1,e^{j\omega T} ,e^{2j\omega T} ,\ldots \}\). De ahí que,

\[r(z)=\sum _{0}^{\infty } e^{jk\omega T} z^{-k} =\frac{1}{1-e^{j\omega T} z^{-1} } ;\; \; |e^{j\omega T} z^{-1} |=|z^{-1} |<1\]

El ROC está fuera del círculo unitario en el\(z\) plano complejo.

Las\(z\) transformaciones de las señales sinusoidales muestreadas se obtienen aplicando la identidad de Euler a la\(z\) transformada anterior\(e^{jk\omega T}\) y separando las partes real e imaginaria. Así

\[\sin (k\omega T)\; {\mathop{\leftrightarrow }\limits^{z}} \frac{\sin (\omega T)\; z}{z^{2} -2\; \cos (\omega T)\; +1}\]

\[\cos (k\omega T){\mathop{\leftrightarrow }\limits^{z}} \frac{z(z-\cos (\omega T)\; )}{z^{2} -2\; \rm cos(\omega T)\; +1}\]

\[e^{-akT} \sin (k\omega T){\mathop{\leftrightarrow }\limits^{z}} \frac{e^{-aT} \sin (\omega T)z}{z^{2} -2\; \cos (\omega T)\; e^{-aT} +e^{-2aT} }\]

\[e^{-akT} \; \cos (k\omega T){\mathop{\leftrightarrow }\limits^{z}} \frac{z(z-e^{-aT} \cos (\omega T))}{z^{2} -2\; \cos (\omega T)\; e^{-aT} +e^{-2aT} } .\]

Las\(z\) transformadas de otras señales complejas se pueden obtener usando sus propiedades de linealidad, diferenciación y traducción, etc.

Transformación Z inversa

Dada la transformada z de una señal compuesta, la secuencia subyacente se puede recuperar por división larga. Alternativamente, la expansión parcial de fracciones (PFE) se puede utilizar para obtener factores de primer y segundo orden que pueden transformarse de forma inversa con la ayuda de tablas de transformación z.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Let\(y\left(z\right)=\frac{0.2z\left(z+0.9\right)}{\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)\left(z-0.9\right)}\) representa la salida de un sistema de control de retroalimentación; entonces, la secuencia de salida puede ser recuperada por los siguientes métodos:

1. Expandir\(\frac{y\left(z\right)}{z}\) en fracciones parciales para obtener:\(y\left(z\right)=\frac{4.75z}{z-1}-\frac{6z}{z-0.9}+\frac{1.25}{z-0.6}\). De ahí,\(y\left(k\right)=4.75-6{\left(0.9\right)}^k+1.25{\left(0.6\right)}^k\).
2. Alternativamente, use división larga para obtener:\(y\left(z\right)=0.1z^{-1}+0.34z^{-2}+0.65z^{-3}+0.98z^{-4}+\dots\). De ahí,\(y\left(k\right)=\left\{0,\ 0.1,\ 0.34,\ 0.65,\ 0.98,\ \dots \right\}\).