7.5: Respuesta del sistema de bucle cerrado

Respuesta escalonada del sistema de circuito cerrado

Consideramos un sistema de control de datos muestreados con retroalimentación de ganancia unitaria (Figura 7.1), donde una planta analógica es impulsada por un controlador digital a través de un ZOH.

Deje que la función de transferencia de impulsos se dé como:\(G\left(z\right)=\frac{n\left(z\right)}{d\left(z\right)}\)

Entonces, para un controlador estático, la función de transferencia de impulsos de bucle cerrado en configuración de realimentación unitaria se define como:

\[T(z)=\frac{Kn(z)}{d(z)+Kn(z)} .\]

Dada la función de transferencia de pulsos de bucle cerrado\(T(z)\),, calculamos su respuesta a una secuencia unidad-paso,\(r\left(kT\right)=\{1,1,\dots \}\).

La respuesta se puede obtener por iteración, o analíticamente a partir de la expresión:\(y\left(z\right)=T\left(z\right)r\left(z\right)\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(G(s)=\frac{1}{s+1}\),\(T=0.2\; \rm s\); entonces, tenemos\(G(z)=\frac{0.181}{z-0.819}\)

La función de transferencia de impulsos de bucle cerrado se da como:\(T(z)=\frac{0.6181K}{z-0.819+0.181K}. \nonumber\)

Dejar\(K=1\), y asumir\(r(kT)=1,\; \; r(z)=\frac{1}{1-z^{-1} }\); entonces, la respuesta del sistema se obtiene como:\(y(z)=\frac{0.181z}{(z-1)(z-0.638)} . \nonumber \)

Usando PFE,\(y(z)=0.5\left(\frac{z}{z-1} -\frac{z}{z-0.638} \right). \nonumber\)

La secuencia de salida resultante se da como:\(y(kT)=0.5(1-0.638^{k} ),\; \; k=0,1,\ldots\)

o\(y\left(k\right)= \{ 0,\; \; 0.632,\; 0.465,\; 0.509,\, 0.498,\, 0.501,\, 0.5,\, 0.5\ldots \}. \nonumber\)

A modo de comparación, para\(K=1\), la respuesta del sistema analógico se da como:\(y(t)=\frac{1}{2} (1-e^{-2t} ),\; \; t>0. \nonumber\)

Las respuestas escalonadas se comparan en la Figura 7.5.1.

Figura\(\PageIndex{1}\): Respuestas escalonadas de los sistemas de tiempo continuo y datos muestreados para el Ejemplo7.5.1.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(G(s)=\frac{1}{s(s+1)}\),\(T=0.2\rm s\); entonces, obtenemos:\(G(z)=\frac{0.0187z+0.0175}{(z-1)(z-0.819)}. \nonumber\)

La función de transferencia de impulsos de bucle cerrado es:\(T(z)=\frac{(0.0187z+0.0175)K}{(z-1)(z-0.819)+(0.0187z+0.0175)K} \nonumber\)

\(K=1;\)Entonces, la función de transferencia de pulsos de bucle cerrado es:\(T(z)=\frac{0.0187z+0.0175}{z^{2} -1.8z+0.836}. \nonumber\)

Let\(r(z)=\frac{z}{z-1}\) (paso de unidad); entonces, la respuesta del sistema de bucle cerrado se da como:\(y(z)=\frac{z\left(0.0187z+0.0175\right)}{\left(z-1\right)\left(z^{2} -1.8z+0.836\right)}. \nonumber\)

Mediante el uso de división larga, obtenemos:\(y(z)=0.368z^{-1} +z^{-2} +1.4z^{-3} +1.4z^{-4} +1.15z^{-5} +\ldots \nonumber\)

La secuencia de respuesta de paso se da como:\(y(kT)=\{ 0,\; 0.368,\; 1,\; 1.4,\; 1.4,\; 1.15,\; \ldots \}\)

A modo de comparación, el sistema analógico tiene una función de transferencia de bucle cerrado:\(T(s)=\frac{1}{s^{2} +s+1} \nonumber.\)

Su respuesta unidad-paso se obtiene como:\(y(t)=(1-1.15e^{-0.5t} \sin 0.866\, t)u(t). \nonumber\)

Las respuestas escalonadas se comparan en la Figura 7.5.2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Respuestas escalonadas de los sistemas de tiempo continuo y datos muestreados.

A partir de la comparación de respuestas escalonadas, observamos que la respuesta del sistema analógico tiene un\(16.3\%\) sobreimpulso, mientras que la respuesta discreta del sistema tiene un sobreimpulso mayor (\(18\%\)). El sistema discreto también tiene un mayor tiempo de sedimentación en comparación con el sistema analógico.

El sobreimpulso mayor en el caso del sistema de datos muestreados se produce debido a la fase negativa aportada por el ZOH que reduce el margen de fase disponible en una cantidad:\(\Delta \phi _\rm m =\frac{\omega _{{\rm g}c} T}{2} .\)

En particular, a partir del comando 'margin' de MATLAB, el sistema de tiempo continuo tiene un PM de\(52^{\circ }\) at\(\omega _{\rm gc} =0.786\; \frac{\rm rad}{\rm s}\). Ya que\(T=0.2 \;\rm sec\), la reducción es margen de fase es:\(\Delta \phi _\rm m =4.5^{\circ }\).

Error de seguimiento en estado estacionario

El error de seguimiento,\(e(z),\) en respuesta a una entrada de referencia dada\(r(z),\) en el caso de un sistema de datos muestreados de retroalimentación de ganancia unitaria se calcula como:

\[e(z)=r(z)(1-T(z)).\]

El teorema del valor final (FVT) en el\(z\) dominio -se establece como:

\[{\mathop{\lim }\limits_{k\to \infty }} e(k)\; ={\mathop{\lim }\limits_{z\to 1}} (z-1)e(z).\;\]

Las constantes de error de posición y velocidad en el caso del sistema de datos muestreados se definen como:

\[K_\rm p ={\mathop{\lim }\limits_{z\to 1}} G(z)\;\]

\[K_{\rm v} ={\mathop{\lim }\limits_{z\to 1}} \frac{(z-1)}{T} G(z)\;\]

Usando las constantes de error, los errores de estado estacionario a las entradas de paso y rampa se calculan como:

\[\left. e_{\rm ss} \right|_{\rm step} =\frac{1}{1+K_\rm p }\]

\[\left. e_{\rm ss} \right|_{\rm ramp} =\frac{1}{K_{\rm v} } .\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(G(z)=\frac{0.0187z+0.0175}{(z-1)(z-0.819)} \, \, \left(T=0.2s\right) \nonumber\); entonces, las constantes de error se dan como\(K_\rm p =\infty\) y\(K_{\rm v} =1\).

En consecuencia,\(\left. e_{\rm ss} \right|_{\rm step} =0;\; \left. e_{\rm ss} \right|_{\rm ramp} =0.2. \nonumber\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Vamos\(G(z)=\frac{0.368z+0.264}{(z-1)(z-0.368)} \nonumber\) con\(T=1\rm s\); entonces, tenemos\(K_\rm p =\infty ,\; \; K_{\rm v} =1. \nonumber\)

En consecuencia,\(\left. e_{\rm ss} \right|_{\rm step} =0;\; \left. e_{\rm ss} \right|_{\rm ramp} =1. \nonumber\)