7.4: Estabilidad de los Sistemas de Datos Muestreados

Región de Estabilidad en el Plano Complejo

En el diseño del sistema de control de tiempo continuo,\(s=j\omega\) define el límite de estabilidad.

El límite de estabilidad\(z\) -plano se obtiene de la transformada:\(z=e^{j\omega T} =1\angle \omega T\); mapea el\(j\omega\) eje -al círculo unitario y el plano de la mitad izquierda abierta al interior del círculo unitario:\(|z|<1\).

Así, el sistema de datos muestreados es estable si y solo si el polinomio característico de pulso\(\Delta (z)\) tiene sus raíces dentro del círculo unitario, es decir, de\(|z_\rm i |<1.\) dónde\(z_\rm i\) está la raíz de\(\Delta (z)\).

Las condiciones analíticas para que un polinomio de\(z\) dominio,\(A\left(z\right)\), tenga sus raíces dentro del círculo unitario son dadas por la prueba de estabilidad de Schur-Cohn. Cuando se aplica a polinomios reales, la prueba de Schur-Cohn da como resultado un criterio similar a la prueba de Ruth, y se conoce como prueba de estabilidad de Jury.

Prueba de Estabilidad del Jurado

Supongamos que el polinomio de\(z\) dominio de orden\(n\) th a investigar se da como:

\[A(z)=a_{0} z^{n} +a_{1} z^{n-1} +\ldots +a_{n-1} z+a_{n} ;a_{0} >0.\]

Para la determinación de la estabilidad, la mesa del Jurado se construye de la siguiente manera:

\[\left|\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {a_{n} } & {a_{n-1} } & {\begin{array}{cc} {\ldots } & {a_{0} } \end{array}} \\ {a_{0} } & {a_{1} } & {\begin{array}{cc} {\ldots } & {a_{n} } \end{array}} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {b_{n-1} } & {b_{n-2} } & {\begin{array}{cc} {\ldots } & {b_{0} } \end{array}} \\ {b_{0} } & {b_{1} } & {\begin{array}{cc} {\ldots } & {b_{n-1} } \end{array}} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {c_{n-2} } & {c_{n-1} } & {\begin{array}{cc} {\ldots } & {c_{0} } \end{array}} \\ {c_{0} } & {c_{1} } & {\begin{array}{cc} {\ldots } & {c_{n-2} } \end{array}} \end{array}} \\ {\vdots } \end{array}\right.\]

donde las dos primeras filas reflejan los coeficientes del polinomio; los coeficientes de la tercera y subsiguientes filas se calculan como:

\[b_{k} =\left|\begin{array}{cc} {a_{n} } & {a_{n-1-k} } \\ {a_{0} } & {a_{k+1} } \end{array}\right|,\; \; k=0,\ldots ,n-1\]

\[c_{k} =\left|\begin{array}{cc} {b_{n-1} } & {b_{n-2-k} } \\ {b_{0} } & {b_{k+1} } \end{array}\right|,\; \; k=0,\ldots ,n-2\]

y así sucesivamente. Las condiciones necesarias para la estabilidad polinómica son:

\[A(1)>0,(-1)^{n} A(-1)>0.\]

Las condiciones suficientes para la estabilidad, dadas por la prueba del Jurado, son:

\[a_{0} >|a_{n} |,\; |b_{n-1} |>|b_{0} |,\; |c_{n-2} |>|c_{0} |,\ldots \rm (n-1) constraints.\]

Polinomio de segundo orden

Vamos\(A(z)=z^{2} +a_{1} z+a_{2}\); entonces, se da la mesa del Jurado como:

\[\left|\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {a_{2} } & {a_{1} } & {1} \\ {1} & {a_{1} } & {a_{2} } \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {b_{1} } & {b_{0} } & {} \\ {b_{0} } & {b_{1} } & {} \end{array}} \end{array}\right.\]

Las condiciones necesarias resultantes son:\(1+a_{1} +a_{2} >0,\; \; 1-a_{1} +a_{2} >0.\)

Las condiciones suficientes son:\(|a_{2} |<1,|1+a_{2} |>|a_{1} |\).

Determinación de Estabilidad mediante Transformación Bilineal

La transformada bilineal (BLT) define un mapa lineal entre\(s\) -domain y\(z\) -domain.

El BLT se basa en la aproximación de Pade de primer orden de\(z=e^{sT}\), dada como:

\[z=\frac{e^{sT/2} }{e^{-sT/2} } \cong \frac{1+sT/2}{1-sT/2} ,\; \; s=\frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\]

Dado que no\(T\) tiene impacto en la determinación de la estabilidad, podemos usar\(T=2\) para simplificar. Además, para diferenciarse de los sistemas de tiempo continuo, se introduce una nueva variable compleja\(w\),,. Así\(z=\frac{1+w}{1-w} ,\; \; w=\frac{z-1}{z+1}\)

Dejar\(\Delta (z)\) representar el polinomio a investigar; aplicación de BLT a\(\Delta (z)\) retornos un polinomio\(\Delta (w)\), cuya estabilidad se determina mediante la aplicación del criterio de Hurwitz (Sec. 2.5).

Polinomio de segundo orden

Dejar\(\Delta (z)=z^{2} +a_{1} z+a_{2}\); entonces, la aplicación de BLT, ignorando el término denominador, da como resultado:

\[\Delta (w)=\Delta (z)|_{z=\frac{1+w}{1-w} } =(1-a_{1} +a_{2} )w^{2} +2(1-a_{2} )w+1+a_{1} +a_{2}\]

La aplicación del criterio de Hurwitz da como resultado las siguientes condiciones de estabilidad para\(\Delta (z)\):

\[a_{2} +a_{1} +1>0, a_{2} -a_{1} +1>0, 1-a_{2} >0\]

Las condiciones anteriores son similares a las obtenidas de la aplicación de la prueba de estabilidad del Jurado.

Estabilidad del Sistema de Bucle Cerrado

Deje que la función de transferencia de impulsos se dé como:\(G\left(z\right)=\frac{n\left(z\right)}{d\left(z\right)}\); entonces, para un controlador estático, el polinomio característico de pulso de bucle cerrado se da como:\(\mathit{\Delta}\left(z\right)=d\left(z\right)+Kn(z)\).

La estabilidad del polinomio característico de bucle cerrado se puede determinar aplicando la prueba de estabilidad de Jury. Alternativamente, se puede usar BLT para determinar la estabilidad a través de la aplicación de la prueba de Routh al polinomio transformado,\(\mathit{\Delta}(w)\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(G(s)=\frac{1}{s+1}\),\(T=0.2\rm s\); entonces, la función de transferencia de impulsos se da como:\(G(z)=\frac{0.181}{z-0.819}\).

El polinomio característico de bucle cerrado es:\(\mathit{\Delta}\left(z\right)=z-0.819+0.181K\).

El polinomio es estable para\(\left|0.819+0.181K\right|<1\), o\(-1<K<10\) para la estabilidad.

 

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(\Delta (z)=z^{2} +z+K\); entonces,\(\Delta (w)=\Delta (z)|_{z=\frac{1+w}{1-w} } =Kw^{2} +2(1-K)w+1+K\).

La aplicación de los criterios de Hurwitz a\(\Delta (w)\) revelaciones\(0<K<1\) para la estabilidad.

 

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(G(s)=\frac{1}{s(s+1)} ,\; \; T=0.2s\); entonces, la función de transferencia de pulso se da como:\(G(z)=\frac{0.0187z+0.0175}{(z-1)(z-0.181)}\).

El polinomio característico es:

\[\Delta (z)=z^{2} +(0.0187K-1.819)z+0.0175K+0.819.\]

El\(w\) polinomio obtenido a través de BLT se da como:

\[\Delta (w)=(3.637-0.0012K)w^{2} +(0.363-0.035K)w+0.036K\]

La aplicación de los criterios de Hurwitz a\(\Delta (w)\) da\(0<K<10.34\) para la estabilidad.