8.1: Modelos de Variables de Estado

Las Ecuaciones de Estado

El modelo de variables de estado de un sistema dinámico comprende ODEs de primer orden que describen derivadas de tiempo de un conjunto de variables de estado. El número de variables de estado representa el orden del sistema, que se supone que coincide con el grado del polinomio denominador en su descripción de función de transferencia.

Las variables naturales asociadas con los elementos de almacenamiento de energía se utilizan comúnmente como variables de estado, aunque se pueden seleccionar variables alternativas. Las variables naturales incluyen, por ejemplo, el voltaje del condensador y la corriente del inductor en las redes eléctricas, y la posición y velocidad de la masa inercial en los sistemas mecánicos.

\({\bf x}(t)\)Describa un vector de variables de estado,\(u(t)\) describa una entrada escalar y\(y(t)\) describir una salida escalar; luego el modelo de variable de estado de un sistema lineal de entrada única y salida única (SISO) con invariante en el tiempo (LTI) se escribe en su forma genérica como:

\[\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t)\]

\[y(t)={\bf c}^{T} {\bf x}(t)+du(t)\]

En lo anterior,\(\bf A\) es una\(n\times n\) matriz,\(\bf b\) es un vector de columna que distribuye las entradas,\({\bf c}^{T}\) es un vector de fila que combina las variables de estado para formar la salida, y\( d\) es un término de alimentación directa escalar que contribuye a la salida.

El modelo de variable de estado de un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) con\(m\) entradas y\(p\) salidas se describe mediante las ecuaciones de estado y salida dadas como:

\[\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf Bu}(t)\]

\[{\bf y}(t)={\bf C}^{T} {\bf x}(t)+{\bf Du}(t)\]

En lo anterior, las dimensiones variables son:\({\bf x}\in {\bf R}^n,\ {\bf u}\in {\bf R}^m,\ \ \rm and\ {\bf y}\in {\bf R}^p\); las matrices tienen las siguientes dimensiones:\({\bf A}\in {\bf R}^{n\times n},\ {\bf B}\in {\bf R}^{n\times m},\ {\bf C}\in {\bf R}^{p\times n},\ {\rm and}\ {\bf D}\in {\bf R}^{p\times m}\).

A continuación, restringimos nuestra atención a los modelos de sistemas SISO. A menos que se indique lo contrario,\(d=0\) se asume, lo que corresponde a una descripción estrictamente adecuada de la función de transferencia del sistema.

Solución a las Ecuaciones de Estado

Para explorar una solución en el dominio del tiempo a las ecuaciones de estado, comenzamos con una ecuación diferencial escalar:

\[\dot{x}(t)=ax(t)+bu(t).\]

Usando un factor integrador\(e^{-at}\),, la ecuación se escribe como diferencial total:

\[\frac {d}{ dt} (e^{-at} x(t))=e^{-at} bu(t)\]

A continuación, asumiendo unas condiciones iniciales:\(x\left(0\right)=x_0\), integramos de\(\tau =0\)\(\tau =t\) a para obtener:

\[e^{-at} x(t)-x_{0} =\int _{0}^{\tau } e^{-a\tau } bu(\tau ) d\tau \]

De ahí que la solución a la ODE escalar en términos de\(x(t)\) se obtiene como:

\[x(t)=e^{at} x_{0} +\int _{0}^{\tau } e^{a(t-\tau )} bu(\tau ) d\tau \]

Además, la solución a la ecuación homogénea:\(\dot{x}\left(t\right)=ax\left(t\right)\) se da como:\(x\left(t\right)=e^{at}x_0.\)

A continuación, exploramos la posibilidad de generalizar esta solución al caso matriz. Para ello, definimos una función exponencial matricial como:

\[e^{{\bf A}t} =\sum _{i=0}^{\infty } \frac{{\bf A}^{i} t^{i} }{i!} ={\bf I}+{\bf A}t+\ldots\]

La serie infinita converge en el caso de sistemas que se portan bien. Además, la matriz exponencial obedece a la ecuación diferencial matricial:

\[\frac{d}{dt} \left(e^{{\bf A}t} \right)={\bf A}e^{{\bf A}t} =e^{{\bf A}t} {\bf A}\]

Usando la matriz exponencial, la solución a la ecuación diferencial matricial,\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t)\), se escribe como:

\[{\bf x}(t)=e^{{\bf A}t} {\bf x}_{0} +\int _{0}^{\tau } e^{{\bf A}(t-\tau )} {\bf b}u(\tau ) d\tau \]

La solución anterior tiene dos partes: el primer término describe la respuesta del sistema a las condiciones iniciales\({\bf x}_{0}\), mientras que el segundo término describe la respuesta del sistema a una entrada,\(u(t)\).

Solución de transformación Laplace

Considere la ecuación de estado:

\[ \dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t) , {\bf x}\left(0\right)={\bf x}_0;\]

Aplicar la transformación de Laplace para obtener:

\[s{\bf x}(s)-{\bf x}_{0} ={\bf Ax}(s)+{\bf b}u(s).\]

El vector de variable de estado se resuelve como:

\[{\bf x}(s)=(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf x}_{0} +(s{\bf I-A})^{-1} {\bf b}u(s),\]

donde\({\bf I}\) denotan una matriz de\(n\times n\) identidad.

La\(n\times n\) matriz\((s{\bf I-A})\) se llama la matriz característica de\({\bf A}\).

Su determinante define el polinomio característico de\({\bf A}\), es decir,\(\Delta (s)=|s{\bf I}-{\bf A}|\).

Las raíces del polinomio característico son los valores propios de\({\bf A}\).

La\(n\times n\) matriz\((s{\bf I}-{\bf A})^{-1}\) se llama la matriz resolvent de\({\bf A}\). El resolvent de se\({\bf A}\) puede computar como una serie infinita:

\[(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} =s^{-1} ({\bf I}+s^{-1} {\bf A}+\ldots )\]

Al comparar la solución de transformación de Laplace con la solución de dominio de tiempo, llegamos a las siguientes relaciones:

\[{\rm\mathcal L}[e^{{\bf A}t} ]=(s{\bf I}-{\bf A})^{-1}\]

\[ {\rm {\mathcal L}}\left[\int _{0}^{\tau } e^{{\bf A}(t-\tau )} {\bf b}u(\tau ) d\tau \right]=(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf b}u(s)\]

La primera ecuación anterior se puede utilizar para calcular la matriz exponencial:

\[e^{{\bf A}t} ={\rm L}^{\rm -1} \left[(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} \right]\]

La segunda ecuación se utiliza para resolver la respuesta de salida cuando las condiciones iniciales son cero:

\[y(s)={\bf c}^{T} (s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf b}u(s)\]

La Matriz de Transición del Estado

Considerar el sistema homogéneo de ecuaciones:\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)\, \, {\rm and}\, \, {\bf x}(0)={\bf x}_{0}\).

La solución a la ecuación de estado homogéneo se da como:\({\bf x}(t)=e^{{\bf A}t} {\bf x}_{0}\).

La matriz exponencial con la\(e^{{\bf A}t}\) que\({\bf x}(t)\) se\({\bf x}_{0}\) relaciona se denomina matriz de transición de estado. La matriz de transición de estado contiene los modos naturales de respuesta del sistema.

Función de transferencia

La respuesta de salida del modelo de variable de estado define la función de transferencia:\(y(s)=G(s)u(s)\), donde

\[G(s)={\bf c}^{T} (s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf b}= {\bf c}^{T}\frac{\rm adj (s{\bf I}-{\bf A})}{\det (s{\bf I}-{\bf A})}{\bf b}\]

En el caso de un sistema MIMO,\(G\left(s\right)\) representa una matriz de\(p\times m\) transferencia, dada como:

\[G(s)={\bf C}(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf B+D}\]

Alternativamente, la matriz de transferencia de un sistema MIMO se puede obtener como:

\[G(s)=\frac{\rm det \left[\begin{array}{cc} s{\bf I-A} & -{\bf B} \\ {\bf C} & {\bf D} \end{array}\right]}{\det (s{\bf I-A})}\]

Suponiendo que no hay cancelaciones polo-cero en\(G\left(s\right)\), el polinomio característico coincide con el polinomio denominador. En el caso de cancelaciones polo-cero, el orden del polinomio denominador\(d\left(s\right)\),, es menor que\(n\), es decir, los ceros de\(d\left(s\right)\) forma un subconjunto de los valores propios de\({\bf A}\) .

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considere el modelo masa-resorte-amortiguador (Ejemplo 1.9.2), donde la posición de masa\(x(t)\), y la velocidad,\(v(t)=\dot{x}(t)\) se seleccionan como variables de estado; luego, las ecuaciones de salida de estado se dan como:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ \frac{1}{m} \end{array}\right]f, \;\;x=\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]\]

La matriz característica del modelo se da como:\(s{\bf I-A}=\left[\begin{array}{cc} {s} & {-1} \\ {\frac{k}{m} } & {s+\frac{b}{m} } \end{array}\right]\).

El resolvent de\({\bf A}\) se calcula como:\((s{\bf I-A})^{-1} =\frac{1}{\Delta (s)} \left[\begin{array}{cc} {s+b/m} & {1} \\ {-k/m} & {s} \end{array}\right];\; \; \Delta (s)=s^{2} +\frac{b}{m} s+\frac{k}{m}\).

La función de transferencia del modelo se calcula como:\[G(s)=\frac{1}{\Delta(s)}=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {s+b/m} & {1} \\ {-k/m} & {s} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1\\ \frac{1}{m} \end{array}\right]=\frac{1}{ms^2 +bs+k}\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considere el modelo de un motor de CC (Ejemplo 1.9.3), donde la corriente del inducido\(i_a(t)\), y la velocidad del motor\(\omega (t)\), se seleccionan como variables de estado; las ecuaciones de estado y salida del motor de CC se dan como:

\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} {-R/L} & {-k_b /L} \\ {k_{t} /J} & {-b/J} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {1/L} \\ {0} \end{array}\right] V_{a} ,\;\; \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

Supongamos que se asumen los siguientes valores de parámetros:\(R=1\Omega ,\; L=1\; mH,\; \; J=0.01\; kg \cdot m^2 ,\; b=0.1\; \frac{{ N}\cdot s}{rad} ,\; k_t = k_b =0.05\). Entonces, el modelo de variable de estado del motor se da como:

\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right] V_{ a}, \;\; \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

La matriz resolvent y la función de transferencia del motor se obtienen de la siguiente manera:

\[(s{\bf I-A})^{-1} =\frac{1}{\Delta (s)} \left[\begin{array}{cc} {s+10} & {-5} \\ {5} & {s+100} \end{array}\right];\; \; \Delta (s)=s^{2} +110s+1025\]

\[G(s)={\bf c}^{T} (s{\bf I-A})^{-1} {\bf b}=\frac{500}{s^{2} +110s+1025}\]

Respuesta al Impulso

Considere la ecuación de estado:

\[\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t), \;\; y(t)={\bf c}^T {\bf x}\]

Para\({\bf x}_0={\bf 0}\), la respuesta de entrada del sistema se obtiene como:

\[y\left(s\right)=G\left(s\right)u\left(s\right)={\bf c}^T\left(s{\bf I-A}\right)^{-1}{\bf b}u(s)\]

Dejar\(u\left(t\right)=\delta \left(t\right),\ \ u\left(s\right)=1\); entonces, la respuesta del sistema se da como:

\[y_{imp}\left(s\right)=G(s)={\bf c}^T\left(s{\bf I-A}\right)^{-1}{\bf b}\]

La respuesta de impulso en el dominio del tiempo se obtiene como:

\[g\left(t\right)={\rm \mathcal L}^{\rm -1} \left[G(s)\right]={\bf c}^Te^{{\bf A}t}{\bf b}\]

En términos de la respuesta al impulso, la salida del sistema viene dada por la integral de convolución:

\[y\left(t\right)=\int^t_0{g\left(t-\tau \right)u\left(\tau \right)d\tau }\]

Step Response

Vamos\(u\left(t\right)=1\left(t\right),\ \ u\left(s\right)=\frac{1}{s}\). Entonces, tenemos:

\[s{\bf x}\left(s\right)={\bf c}^T\left(s{\bf I-A}\right)^{-1}{\bf b}\]

La respuesta unidad-etapa en el dominio del tiempo se obtiene como:

\[y_{step}\left(t\right)={\bf c}^T\left(\int^t_0{e^{{\bf A}\left(t-\tau \right)}d\tau }\right){\bf b}\]

Alternativamente, la respuesta escalonada representa la integral de la respuesta al impulso:

\[y_{step}\left(t\right)=\int^t_0{g\left(t-\tau \right)d\tau }\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Las ecuaciones de estado y salida para el modelo de un motor de CC son:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right] V_a, \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

La matriz de transición de estado para el modelo de motor de CC se obtiene como:

\[e^{{\bf A}t} =\left[\begin{array}{cc} {1.003} & {0.056} \\ {-0.056} & {-0.003} \end{array}\right]e^{-99.72t} +\left[\begin{array}{cc} {-0.003} & {-0.056} \\ {0.056} & {1.0003} \end{array}\right]e^{-10.28t} \]

La respuesta de impulso del motor de CC se calcula como:

\[g\left(t\right)={\bf c}^Te^{{\bf A}t}{\bf b}=5.6\left(e^{-99.7t}-e^{-10.3t}\right)\]

donde\(\left\{e^{-99.72t} ,\; e^{-10.28t} \right\}\) representan los modos de respuesta natural del sistema que corresponden a las constantes de tiempo eléctricas y mecánicas del motor de CC:\(\tau _{\rm e} \cong 0.01s,\; \tau _\rm m \cong 0.1\rm s\).

Suponiendo que\(V_a\left(t\right)=u\left(t\right)\) la respuesta escalonada del motor de CC se calcula como:

\[y\left(t\right)=\int^t_0{g\left(t-\tau \right)d\tau }=0.488+0.056e^{-99.7t}-0.544e^{-10.3t}\]

Las respuestas impulsoras y escalonadas se representan a continuación (Figuras 8.1.1).

Figura\(\PageIndex{1}\): El modelo de motor de CC: respuesta al impulso (izquierda); respuesta escalonada (derecha).