8.2: Matriz de transición de estado y estabilidad asintótica

La Matriz de Transición del Estado

Considerar la ecuación de estado homogéneo:\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t),\, \, \, {\bf x}(0)={\bf x}_{0}\).

La solución a la ecuación homogénea se da como:\({\bf x}(t)=e^{{\bf A}t} {\bf x}_{0}\), donde la matriz de transición de estado,\(e^{{\bf A}t}\), describe la evolución del vector de estado,\(x\left(t\right)\).

La matriz de transición de estado de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) se puede calcular de múltiples maneras, incluyendo las siguientes:

1. \(e^{{\bf A}t} ={\rm \mathcal L}^{-1} [(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} ]\)
2. \(e^{{\bf A}t} =\sum _{0}^{\infty } \frac{{\bf A}^{i} t^{i} }{i\, !}\)
3. Mediante el uso de la matriz modal (ver abajo)
4. Mediante el uso de la matriz fundamental
5. Usando el teorema de Cayley—Hamilton

Polinomio característico de A

El polinomio característico de\({\bf A}\) es un polinomio de orden\(n\) th obtenido como determinante de\((s{\bf I}-{\bf A})\), es decir,\(\Delta (s)=|s{\bf I}-{\bf A}|\). Las raíces del polinomio característico son los valores propios de\({\bf A}\).

La función de transferencia,\(G\left(s\right)\), se expresa como:

\[G\left(s\right)={\bf c}^T\frac{adj\left(s{\bf I}-{\bf A}\right)}{\left|s{\bf I}-{\bf A}\right|}{\bf b}=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)}\]

donde\({adj\left(s{\bf I}-{\bf A}\right)}\) representa la matriz adjunta de\(s{\bf I}-{\bf A}\).

Suponiendo que no hay cancelaciones polo-cero en\(G\left(s\right)\), el polinomio característico coincide con el polinomio denominador. En el caso de cancelaciones polo-cero, el orden del polinomio denominador\(d\left(s\right)\),, es menor que\(n\), es decir, los ceros de\(d\left(s\right)\) forma un subconjunto de los valores propios de\({\bf A}\) .

Matriz de transición de estado en MATLAB

La matriz de transición de estado se puede obtener usando la variable simbólica 't' definida usando el comando 'syms' de MATLAB Simbólico Math Toolbox. Suponiendo que se\({\bf A}\) han definido una variable simbólica 't' y una matriz\(nxn\) numérica, la matriz de transición de estado se puede obtener emitiendo el comando exponencial matrix como:\(\rm expm(t*{\bf A})\).

La Matriz Modal

Considerar la ecuación de estado homogéneo:\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t),\, \, \, {\bf x}(0)={\bf x}_{0}\).

Supongamos que\({\bf A}\) tiene un conjunto completo de vectores propios, que obedecen\(\left({\lambda }_i{\bf I}-{\bf A}\right){\bf v}_i=0,\ \ i=1,\dots ,n\), donde\({\lambda }_i\) denota un valor propio de\({\bf A}\).

Dejar\(\bf M=\left[v_1,\ v_2,\cdots ,v_n\right]\) denotar la matriz modal que contiene vectores propios de\({\bf A}\),\(e^{\mathit{\bf \Lambda}t}=diag\left(\left[e^{{\lambda }_1t},e^{{\lambda }_2t},\cdots ,e^{{\lambda }_nt}\right]\right)\) definir una matriz diagonal de los modos de respuesta natural de\({\bf A}\), y\({\bf c}\) denotar un vector constante; entonces, la solución general a la ecuación de estado homogéneo se da como:

\[{\bf x}_{h} (t)={\bf M}e^{{\bf \Lambda} t} {\bf c}\]

Asumiendo un conjunto de condiciones iniciales:\({\bf x} _{h} (0)= {\bf x} _{0} = {\bf Mc}\); tenemos,\( {\bf c} = {\bf M} ^{-1} {\bf x} _{0}\). Entonces, se da una solución particular al sistema homogéneo como:

\[{\bf x}_{h} (t)={\bf M}e^{{\bf \Lambda} t} {\bf M}^{-1} {\bf x}_{0} \]

La matriz de transición de estado se puede calcular a partir de la matriz modal como:

\[e^{{\bf A}t} ={\bf M}e^{{\bf \Lambda} t} {\bf M}^{-1} \]

Matriz modal en MATLAB

La matriz modal se obtiene usando el comando 'eig' en MATLAB. Los vectores propios\({\bf A}\) obtenidos de MATLAB se normalizan a la unidad. El comando 'eig' también proporciona una matriz diagonal de valores propios de\({\bf A}\). Dada la matriz modal\(\bf M\) de vectores propios y la matriz diagonal\(\bf D\) de valores propios, la matriz de transición de estado se obtiene como\(\rm M*expm(t*D)/M\).

Estabilidad asintótica

La estabilidad asintótica se refiere al comportamiento a largo plazo de los modos de respuesta naturales del sistema. Estos modos también se reflejan en la matriz de transición de estado,\(e^{{\bf A}t}\).

Considerar la ecuación de estado homogéneo:\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t),\, \, \, {\bf x}(0)={\bf x}_{0}\).

Estabilidad asintótica

Se dice que la ecuación de estado homogéneo es asintóticamente estable si\({\mathop{\lim }\limits_{t\to \infty }} {\bf x}(t)=0\).

Ya que\({\bf x}(t)=e^{{\bf A}t} {\bf x}_0\), la ecuación de estado homogéneo es asintóticamente estable si\(\displaystyle\lim_{t\to \infty} e^{{\bf A}t}=0\).

Además, utilizando la descomposición modal\(e^{{\bf A}t} ={\bf M}e^{ {\bf \Lambda} t} {\bf M}^{-1}\), el sistema homogéneo es asintóticamente estable si\(\displaystyle\lim_{t\to \infty} e^{{\bf \Lambda} t} =0\).

Ya que\(e^{\mathit{\bf \Lambda}t}=diag\left(\left[e^{{\lambda }_1t},e^{{\lambda }_2t},\cdots ,\;e^{{\lambda }_nt}\right]\right)\), la condición anterior implica que\(Re\left[{\lambda }_i\right]<0,\ i=1,\dots ,n\), donde\({\lambda }_i\) representa una raíz del polinomio característico:\(\Delta (s)=|s{\bf I-A}|\).

El cálculo de matrices modales y de transición de estado se ilustra por separado cuando el polinomio característico,\(\mathit{\Delta}(s)\), tiene raíces reales o complejas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Polynomial with Real Roots

Para el modelo masa-resorte-amortiguador, let\(m=1,\; k=2,\; {\rm and}\, b=3\); entonces, el polinomio característico es:\(\Delta (s)=s^{2} +3s+2\), que tiene raíces reales:\(s_{1} ,s_{2} =-1,-2\).

Los modos de respuesta natural son:\(\{ e^{-t} ,e^{-2t} \}\).

La matriz modal de vectores propios se obtiene como:\({\bf M}=\left[\begin{array}{cc} {-1} & {-1} \\ {1} & {2} \end{array}\right]\). La matriz diagonal de valores propios es:\(\mathit{\bf \Lambda}=\left[ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right]\).

Ya que\({\bf A}={\bf M}\mathit{\bf \Lambda}{\bf M}^{-1}\), tenemos:\(e^{{\bf A}t}={\bf M}e^{\mathit{\bf \Lambda}t}{\bf M}^{-1}\), que calcula como:\(e^{{\bf A}t} =\left[\begin{array}{cc} {2e^{-t} -e^{-2t} } & {e^{-t} -e^{-2t} } \\ {2e^{-2t} -2e^{-t} } & {2e^{-2t} -e^{-t} } \end{array}\right]\).

Además, ya que\({\mathop{\lim }\limits_{t\to \infty }} e^{{\bf A}t} =0\), la ecuación de estado homogéneo es asintóticamente estable.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Polynomial with Complex Roots

Para el modelo masa-resorte-amortiguador,, let\(m=1,\; k=2,\; {\rm and}\, b=2\); entonces, el polinomio característico es:\(\Delta (s)=s^{2} +2s+2\), que tiene raíces complejas:\(s_{1} ,s_{2} =-1\pm j1\). Los modos de respuesta natural son:\(\{ e^{-t} \sin t,e^{-t} \cos t\}\).

Los vectores propios complejos se dan como:\(\left[\begin{array}{c} {1} \\ {1\pm j1} \end{array}\right]\). Vamos\({\bf V}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1+j & -1-j \end{array} \right]\); entonces,\({\bf V}^{-1}{\bf AV}={\rm diag}(s_1,s_2)\).

En este caso, para evitar el álgebra compleja, construimos una matriz modal a partir de las partes real e imaginaria de los vectores propios. En consecuencia, vamos\({\bf M}=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right]\).

Definir\({\bf M}^{-1}{\bf AM}=\left[ \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right]=\mathit{\bf \Gamma}\); entonces\(e^{{\bf A}t}={\bf M}e^{\mathit{\bf \Gamma}t}{\bf M}^{-1}\),\({\bf A}={\bf M}\mathit{\bf \Gamma}{\bf M}^{-1}\) y, que calcula como:\(e^{{\bf A}t} =\left[\begin{array}{cc} {e^{-t} \left(\cos t+\sin t\right)} & {e^{-t} \sin t} \\ {-2e^{-t} \sin t} & {e^{-t} \left(\cos t-\sin t\right)} \end{array}\right]\).

Además,\({\mathop{\lim }\limits_{t\to \infty }} e^{{\bf A}t} =0\); de ahí que la ecuación de estado homogéneo sea asintóticamente estable.