8.4: Transformación lineal de variables de estado

Transformación Lineal del Estado

Esta sección describe un procedimiento general para transformar un modelo de variable de estado en un modelo alternativo utilizando variables de estado que son combinaciones lineales de las variables originales.

Considere el modelo general de variables de estado de un sistema SISO, descrito como:

\[\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t)\]

\[y(t)=c^{T} x(t)\]

Definir una transformación bilineal del vector de variable de estado\(x(t)\), multiplicando por una matriz invertible constante\(P\), dando como resultado un nuevo conjunto de variables de estado,\(z(t)\):

\[z=Px,\; \; \; x=P^{-1} z\]

Sustituir las relaciones anteriores en las ecuaciones de estado y salida:

\[P^{-1} \dot{z}=AP^{-1} z+bu, \;\;y=c^{T} P^{-1} z\]

Multiplicando a la izquierda por\(P\) resultados en un nuevo modelo de variable de estado:

\[\dot{z}=PAP^{-1} z+Pbu, \;\;y=c^{T} P^{-1} z\]

Los dos modelos comparten la misma función de transferencia, es decir,

\[G(s)=c^{T} P^{-1} (sI-PAP^{-1} )^{-1} Pb=c^{T} (sI-A)^{-1} b\]

A continuación, exploramos la posibilidad de impartir una estructura deseada a la matriz del sistema a través de la transformación lineal de las variables de estado.

Primero, defina\(\bar{A}=PAP^{-1} ,\, \, \bar{b}=Pb\); la primera ecuación se expresa alternativamente como:\(\bar{A}P=PA\).

Entonces, dada\(A,\, b\), y la estructura deseada de\(\bar{A},\, \bar{b}\), las relaciones anteriores pueden ser utilizadas para definir la matriz de transformación,\(P\). En particular, a continuación se explora la transformación a las formas controladoras y modales.

Transformación en forma de controlador

Una condición necesaria para obtener una matriz de transformación lineal\(P\) para convertir un modelo de variable de estado en forma de controlador es que la siguiente matriz de\(n\times n\) controlabilidad tenga rango completo:

\[M_{\rm C} =[b,\; Ab,\ldots ,\;A^{n-1} b]\]

Se garantiza que la matriz de controlabilidad sea de rango completo si la descripción de la función de transferencia del modelo tiene el mismo orden\(n\),, como el número de variables de estado utilizadas para describir el sistema, es decir, no hay cancelaciones polo-cero en la función de transferencia,\(G\left(s\right)={\bf c}^T(s{I-A})^{-1}{\bf b}\).

A continuación, supongamos que la matriz de controlabilidad\(M_{\rm C}\),, de par\(\left(A,b\right)\) es de rango completo. Dejar\(M_{\rm CF}\) denotar la matriz de controlabilidad de la representación de forma controlador\(\left(\bar{ A}, \bar{ b}\right)\); entonces,\(M_{\rm CF}\) contiene los coeficientes del polinomio característico y puede ser escrito por inspección.

La matriz de transformación requerida se define por:

\[Q=P^{-1} =M_{\rm C} M_{\rm CF}^{-1} \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Las ecuaciones de estado y salida para un modelo de motor de CC pequeño se dan como:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right]V_a ,\, \, \, \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega } \end{array}\right]\]

La matriz de controlabilidad para el modelo se forma como:\(M_{\rm C} =[b,\; Ab]=\left[\begin{array}{cc} {100} & {-10^{4} } \\ {0} & {500} \end{array}\right]\).

Como la matriz de controlabilidad es de rango completo, el modelo de motor de CC es controlable.

A partir de la descripción de la función de transferencia\(G(s)=\frac{500}{s^{2} +110s+1025}\), se obtiene la realización de la forma del controlador como:

\[\dot{x}=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {-1025} & {-110} \end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right]V_a ,\, \, \, \omega =\left[\begin{array}{cc} {500} & {0} \end{array}\right]x\]

La matriz de controlabilidad para la realización de la forma del controlador se da como:\(M_{\rm CF} =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {-110} \end{array}\right]\).

La matriz de transformación de estado para el modelo se obtiene como:

\[Q=P^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {1000} & {100} \\ {500} & {0} \end{array}\right],\quad P=\left[\begin{array}{cc} {0} & {0.002} \\ {0.01} & {-0.02} \end{array}\right]\]

En efecto,\(\overline{A}=PAQ\) coincide con la matriz del sistema en la forma del controlador.

Transformación en forma modal

Una matriz que tiene un conjunto completo de vectores propios es diagonalizable por una matriz de transformación lineal cuando los vectores propios de\(A\) se seleccionan como las columnas de\(P^{-1}\).

En el caso de\(A\) que tenga valores propios complejos, sus vectores propios también son complejos. Al colocar las partes real e imaginaria del vector propio complejo en columnas separadas de\(P^{-1}\), la matriz de forma modal resultante,\(\bar{A}=PAP^{-1} ,\, \, \bar{b}=Pb\), tiene entradas reales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Las ecuaciones de estado y salida para un modelo de masa-resorte-amortiguador se dan como:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {-2} & {-2} \end{array}\right]\, \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right]u,\, \, \, y=\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right].\]

Los valores propios de la matriz del sistema son:\(-1\pm j1\); los vectores propios complejos son:\(\left[\begin{array}{c} {1} \\ {1\pm j1} \end{array}\right]\).

Al elegir\(P^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {1} \end{array}\right]\), la matriz del sistema de formas modales se obtiene como:\(\bar{A}=PAP^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {-1} & {-1} \end{array}\right]\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

El modelo de variable de estado de un pequeño motor de CC se da como:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {i_{a} } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right]V_a , \;\; \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

Utilizamos el comando 'eig' de MATLAB para obtener:\(V=P^{-1} =\left[\begin{array}{cc} {-0.9985} & {0.0556} \\ {0.0556} & {-0.9985} \end{array}\right]\).

El modelo de variable de estado transformado tiene una estructura diagonal.

\[\left[\begin{array}{c} {\dot{x}_{1} } \\ {\dot{x}_{2} } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-99.72} & {0} \\ {0} & {-10.28} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {-100.47} \\ {-5.6} \end{array}\right]V_a, \;\; \omega =\left[\begin{array}{cc} {0.056} & {-0.998} \end{array}\right]\, \left[\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \end{array}\right]\]

El sistema desacoplado de ecuaciones se puede integrar fácilmente. Suponiendo una entrada unidad-paso, las variables de estado se resuelven como:

\[x_{1} (t)=1.0075+(x_{10} -1.0075)e^{-t/99.72}\]

\[x_{2} (t)=0.545+(x_{20} -0.545)e^{-t/10.28}\]

donde\(x_{10} ,\; x_{20}\) representan las condiciones iniciales en las variables de estado. La salida se calcula como:

\[\omega (t)=0.056x_{1} (t)-0.998x_{2} (t)\]

Las variables de estado originales se recuperan como:\(\left[ \begin{array}{c} i_a \\ \omega \end{array} \right]=P^{-1}\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]\), i.e.

\[i_a\left(t\right)=-0.9985x_1\left(t\right)+0.0556x_2\left(t\right)\]

\[\omega \left(t\right)=0.0556x_1\left(t\right)-0.9985x_2\left(t\right)\]