3.4: Ejercicios

Ejercicio 3.1

Solución de error de mínimos cuadrados Comenzamos con un mini-tutorial sobre matrices ortogonales y unitarias. Una matriz ortogonal puede definirse como una matriz real cuadrada cuyas columnas son de longitud unitaria y mutuamente ortogonales entre sí, es decir, sus columnas forman un conjunto ortonormal. Se deduce con bastante facilidad (como deberías intentar y verificar por ti mismo) que:

• la inversa de una matriz ortogonal es solo su transposición;
• las filas de una matriz ortogonal forman también un conjunto ortonormal;
• el producto interno euclidiano habitual de dos vectores reales\(v\) y\(w\), a saber, el escalar\(v^{\prime}w\), es igual al producto interno de\(Uv\) y\(Uw\), si\(U\) es una matriz ortogonal - y por lo tanto la longitud de\(v\), es decir\(\sqrt{v^{\prime} v}\), es igual a la de\(Uv\) .

Una matriz unitaria se define de manera similar, excepto que sus entradas pueden ser complejas, por lo que su inversa es el complejo conjugado de su transposición. Un dato sobre las matrices ortogonales que resulta ser importante en varios algoritmos numéricos es el siguiente: Dada una\(m \times n\) matriz real\(A\) de rango de columna completa, es posible (de muchas maneras) encontrar una matriz ortogonal\(U\) tal que

\ [U A=\ izquierda (\ begin {array} {c}
R\\
0
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

donde\(R\) es una matriz no singular, triangular superior. (Si\(A\) es complejo, entonces podemos encontrar una matriz unitaria\(U\) que conduzca a la misma ecuación). Para ver cómo calcular\(U\) en Matlab, lee los comentarios obtenidos escribiendo help qr; la matriz a la\(Q\) que se hace referencia en los comentarios es justa\(U^{\prime}\).

Pasamos ahora al problema de los intereses. Dada una\(m \times n\) matriz real\(A\) de rango de columna completa, y un vector m real\(y\), deseamos satisfacer aproximadamente la ecuación\(y = Ax\). Específicamente, escojamos el vector\(x\) a minimizar\(\|y-A x\|^{2}=(y-A x)^{\prime}(y-A x)\), la longitud euclidiana cuadrada del “error”\(y - Ax\). Al invocar los resultados anteriores en matrices ortogonales, mostrar que (en la notación introducida anteriormente) la minimización\(x\) es

\[\hat{x}=R^{-1} y_{1}\nonumber\]

donde\(y_{1}\) denota el vector formado a partir de los primeros\(n\) componentes de\(Uy\). (En la práctica, no nos molestaríamos en encontrar\(R^{-1}\) explícitamente. En cambio, aprovechando la estructura triangular superior de\(R\), resolveríamos el sistema de ecuaciones\(R \hat{x} = y_{1}\) por sustitución inversa, a partir de la última ecuación.)

La forma anterior de resolver un problema de mínimos cuadrados (propuesta por Householder en 1958, pero a veces referida como algoritmo de Golub) es numéricamente preferible en la mayoría de los casos a resolver las “ecuaciones normales” en la forma\(\hat{x}=\left(A^{\prime} A\right)^{-1} A^{\prime} y\), y es esencialmente lo que hace Matlab cuando escribes\(\hat{x}=A \backslash y\). Un (¡sobresimplificado!) explicación del problema con la solución de la ecuación normal es que evalúa implícitamente el producto\(\left(R^{\prime} R\right)^{-1} R^{\prime}\), mientras que el método Householder/Golub reconoce que este producto simplemente es igual\(R^{-1}\), y con ello evita pasos innecesarios y propensos a errores.

Ejercicio 3.2

Supongamos que la secuencia de entrada\(\left\{u_{j}\right\}\) y la secuencia\(\left\{y_{j}\right\}\) de salida de un sistema particular están relacionadas por

\[y_{k}=\sum_{i=1}^{n} h_{i} u_{k-i}\nonumber\]

donde todas las cantidades son escalares.

(i) Supongamos que queremos tener\(y_{n}\) igual a algún número especificado\(\bar{y}\). Determinar\(u_{0}+\ldots+u_{n-1}\) para lograr esto minimizando\(u_{0}^{2}+\ldots+u_{n-1}^{2}\).

(ii) Supongamos ahora que estamos dispuestos a relajar nuestro objetivo de alcanzar exactamente\(y_{n}=\bar{y}\). Esto nos lleva al siguiente problema modificado. Determinar con el\(u_{0}+\ldots+u_{n-1}\) fin de minimizar

\[r\left(\bar{y}-y_{n}\right)^{2}+u_{0}^{2}+\ldots+u_{n-1}^{2}\nonumber\]

donde r es un parámetro de ponderación positivo.

a) Resolver el problema modificado.

b) ¿Cuál espera que sea la respuesta en los casos limitantes de\(r = 0\) y\(r = \infty\)? Demuestre que su respuesta en (a) de hecho le da estos resultados limitantes esperados.

Ejercicio 3.3

Regresar al problema considerado en el Ejemplo 3.4. Supongamos que, además de requerir\(p(T ) = y\) para un especificado\(y\), también queremos\(\dot{p}(T ) = 0\). En otras palabras, queremos llevar la misa a descansar en el puesto\(y\) en el momento\(T\). De todas las funciones de fuerza\(x(t)\) que pueden lograr esto, determinar la que minimiza\(<x(t), x(t)>=\int_{0}^{T} x^{2}(t) d t\).

Ejercicio 3.4

(a) Dado\(y=A^{\prime} x\), con\(A^{\prime}\) de rango de fila completa, encontrar el vector de solución\(x\) para el cual\(x^{\prime}Wx\) es mínimo, donde\(W = L^{\prime}L\) y\(L\) es no singular (es decir, donde\(W\) es hermitiano y definido positivo).

(b) Una corriente especificada\(I_{0}\) se enviará a través de la fuente de voltaje fijo\(V_{0}\) en la figura. Encuentra qué valores\(v_{1}\),\(v_{2}\),\(v_{3}\) y\(v_{4}\) deben tomar para que se minimice la disipación de potencia total en las resistencias.