5.1: Perturbación aditiva

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Teorema 5.1

Supongamos que\(A \in C^{m \times n}\) tiene columna completa\(rank (= n)\). Entonces

\[\min _{\Delta \in \mathbb{C}^{m \times n}}\left\{\|\Delta\|_{2} \mid A+\Delta \text { has rank }<n\right\}=\sigma_{n}(A)\ \tag{5.1}\]

Prueba

Supongamos que\(A + \Delta\) tiene rango\(< n\). Entonces existe\(x \neq 0\) tal que\(\|x\|_{2}=1\) y

\[(A+ \Delta)x=0\nonumber\]

Dado que\(\Delta x = -Ax\),

\ [\ comenzar {alineado}
\ |\ Delta x\ |_ {2} &=\ |A x\ |_ {2}\\
&\ geq\ sigma_ {n} (A)
\ final {alineado}\\ etiqueta {5.2}\]

De las propiedades de las normas inducidas (ver Sección 3.1), también sabemos que

\[\|\Delta\|_{2}\|x\|_{2} \geq\|\Delta x\|_{2}\nonumber\]

Usando la Ecuación (24.3) y el hecho de que\(\|x\|_{2}=1\), llegamos a lo siguiente:

\ [\ comenzar {alineado}
\ |\ Delta\ |_ {2} &=\ |\ Delta x\ |_ {2}\\
&\ geq\ sigma_ {n} (A)
\ final {alineado}\\ etiqueta {5.3}\]

Para completar la prueba, debemos demostrar que se puede lograr el límite inferior de la Ecuación (5.3). Así, debemos construir un\(\Delta\) modo que\(A + \Delta\) tenga rango\(<n\) y\(\|\Delta\|_{2}=\sigma_{n}(A)\); tal\(\Delta\) será una solución minimizadora. Para ello, elija

\[\Delta=-\sigma_{n} u_{n} v_{n}^{\prime}\nonumber\]

donde\(u_{n}\),\(v_{n}\) son los vectores singulares izquierdo y derecho asociados con el valor singular más pequeño\(\sigma_{n}\) de\(A\). Observe que\(<n\) y\(\|\Delta\|_{2}=\sigma_{n}(A)\). Esta elección rinde

\ [\ begin {alineado}
(A+\ Delta) v_ {n} &=\ sigma_ {n} u_ {n} -\ sigma_ {n} u_ {n} v_ {n} ^ {*} v_ {n}\\
&=\ sigma_ {n} u_ {n} -\ sigma_ {n} u_ {n} u_ {n}\
&=0
\ final {alineado}\ nonumber\]

Es decir,\(A + \Delta\) tiene rango\(< n\). Esto completa la prueba.