8.3: Realización a partir de una ecuación LTI Diferencial/ Diferencia
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En esta sección, describimos cómo se puede obtener una realización a partir de una diferencia o una ecuación diferencial. Comenzamos con un ejemplo.
Ejemplo 8.1 (Modelos estado-espacio para una ecuación de diferencia LTI)
Examinemos algunas formas de representar la siguiente ecuación de diferencia entrada-salida en forma de espacio de estados:
\[y[n]+a_{1} y[n-1]+a_{2} y[n-2]=b_{1} u[n-1]+b_{2} u[n-2]\ \tag{8.20}\]
Para un primer intento, considere usar como vector de estado la cantidad
\ [\ mathbf {x} [n] =\ left (\ begin {array} {c}
y [n-1]\\
y [n-2]\\
u [n-1]\\
u [n-2]
\ end {array}\ derecha)\\ tag {8.21}\]
El modelo estado-espacio correspondiente de 4to orden tomaría la forma
\ [\ mathbf {x} [n+1] =\ left (\ begin {array} {c}
y [n]\\
y [n-1]\\
u [n]\\
u [n-1]
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cccc}
-a_ {1} & -a_ {2} & b_ {1} & b_ {2}\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {l}
y [n-1]\\
y [n-2]\\
u [n-1]\\
u [n-2]
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {c}
0\\
0\\
1\\
0
\ end {array}\ derecha) u [n]\ nonumber\]
\ [y [n] =\ left (\ begin {array} {cccc}
-a_ {1} & -a_ {2} & b_ {1} & b_ {2}
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}
y [n-1]\
y\ left [\ begin {array} {c}
n-2
\ end {array}\ right]\
u [n-1]\\
u [n-2]
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {l}
0\\
u [n-1]
\ end {array}\ derecha) u\ left [n\ right]\ tag {8.22}\]
Si somos algo más cuidadosos con nuestra elección de variables de estado, es posible obtener modelos más económicos. Para un modelo de 3rd-order, supongamos que elegimos como vector de estado
\ [\ mathbf {x} [n] =\ left (\ begin {array} {c}
y [n]\\
y [n-1]\\
u [n-1]
\ end {array}\ derecha)\\ tag {8.23}\]
El modelo de espacio de estado de 3er orden correspondiente toma la forma
\ [\ mathbf {x} [n+1] =\ left (\ begin {array} {c}
y [n+1]\\
y [n]\\
u [n]
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {ccc}
-a_ {1} & -a_ {2} & b_ {2}\\
1 & 0 &
0 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
y [n]\\
y [n-1]\\
u [n-1]
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {c}
b_ {1}\\
0\
1
\ end {array}\ right) u [n]\ nonumber\]
\ [y [n] =\ left (\ begin {array} {ccc}
1 & 0 & 0
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c}
y [n]\\
y [n-1]\\
u [n-1]
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {l}
0
\ end {array}\ right) u [n]\\ tag {8. 24}\]
Una elección aún más inteligente/desviada de variables de estado produce un modelo de espacio de estado de segundo orden. Para ello, elige
\ [\ mathbf {x} [n] =\ left (\ begin {array} {c}
y [n]\\
-a_ {2} y [n-1] +b_ {2} u [n-1]
\ end {array}\ derecha)\\ tag {8.25}\]
El modelo de espacio de estado de segundo orden correspondiente toma la forma
\ [\ begin {alineado}
\ left (\ begin {array} {c}
y [n+1]\\
-a_ {2} y [n] +b_ {2} u [n]
\ end {array}\ right) &=\ left (\ begin {array} {cc}
-a_ {1} & 1\\
-a_ {2} & 0
\ end {array}\ right) izquierda\ (\ begin {array} {c}
y [n]\\
-a_ {2} y [n-1] +b_ {2} u [n-1]
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {c}
b_ {1}\\
b_ {2}
\ end {array}\ right) u [n]\\
y [n] &=\ left (\ begin {array} {cc} &
1
\ end {array}\ derecha) \ left (\ begin {array} {c}
y [n]\\
-a_ {2} y [n-1] +b_ {2} u [n-1]
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {c}
0
\ end {array}\ right) u [n]
\ end {alineado}\\ tag {8.26}\]
Resulta imposible en general obtener una descripción estado-espacio de orden inferior a 2 en este caso. Esto no debería sorprender, en vista de que empezamos con una ecuación de diferencia de segundo orden, que conocemos (¡de cursos anteriores!) requiere de dos condiciones iniciales para resolver a tiempo los delanteros. Observe cómo, en cada uno de los casos anteriores, hemos incorporado la información contenida en la ecuación de diferencia original con la que iniciamos.
Este ejemplo se construyó alrededor de una ecuación de diferencia de segundo orden, pero tiene generalizaciones naturales al caso de\(n\) orden th, y paralelos naturales en el caso de las ecuaciones diferenciales de TC.
A continuación, presentaremos dos realizaciones de una ecuación diferencial LTI de\(n\) orden TH-order. Si bien las realizaciones no son únicas, estas dos tienen ciertas propiedades agradables que se discutirán en el futuro.
8.3.1 Observabilidad Forma Canónica
Supongamos que se nos da la ecuación diferencial LTI
\[y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{0} y=b_{0} u+b_{1} \dot{u}+\cdots+b_{n-1} u^{(n-1)}\nonumber\]
que se puede reorganizar como
\[y^{(n)}=\left(b_{n-1} u^{(n-1)}-b_{n-1} y^{(n-1)}\right)+\left(b_{n-2} u^{(n-2)}-a_{n-2} y^{(n-2)}\right)+\cdots+\left(b_{0} u-a_{0} y\right)\nonumber\]
\(n\)Tiempos integrados, esto se convierte
\[y=\int\left(b_{n-1} u-a_{n-1} y\right)+\iint\left(b_{n-2} u-a_{n-2} y\right)+\cdots+\int \ldots \int\left(b_{0} u-a_{0} y\right)\ \tag{8.27}\]
El diagrama de bloques dado en la Figura 8.3.1 luego sigue directamente de (8.27). Esta realización particular se llama la observabilidad realización de forma canónica -"canónica” en el sentido de
Figura\(\PageIndex{1}\): Observabilidad Forma Canónica
“simple” (pero en realidad también hay una definición matemática estricta), y “observabilidad” por razones que surgirán más adelante en el curso.
Ahora podemos leer las ecuaciones de estado directamente de la Figura 8.3.1, una vez que reconocemos que las variables de estado natural son las salidas de los integradores:
\ [\ begin {alineado}
\ punto {x} _ {1} &=-a_ {n-1} x_ {1} +x_ {2} +b_ {n-1} u\
\\ punto {x} _ {2} &=-a_ {n-2} x_ {1} +x_ {3} +b_ {n-2} u\\
&\ vdots\
\ punto x} _ {n} &=-a_ {0} x_ {1} +b_ {0} u\\
y &=x_ {1}
\ end {alineado}\ nonumber\]
Si esto está escrito en nuestra forma de matriz habitual, tendríamos
\ [A=\ left [\ begin {array} {ccccc}
-a_ {n-1} & 1 & 0 &\ cdots & 0\\
-a_ {n-2} & 0 & 1 &\ cdots & 0\
\ vdots & & &\ ddots &\\
& & & & & & 1\
-a_ {0} & 0 & &\ cdots & 0
\ end {array}\ derecha],
\ b\ izquierda [\ begin {array} {c}
b_ {n-1}\\
b_ {n-2}\
\\ vdots\
\ vdots\\
b_ {0}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
\ [c=\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 0 &\ cdots & 0
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
\(A\)Se dice que la matriz está en forma complementaria, término que se usa para referirse a cualquiera de las cuatro matrices cuyo patrón de 0 y 1 es, o se asemeja, al patrón visto arriba. El polinomio característico de dicha matriz puede leerse directamente de los coeficientes restantes, como veremos cuando hablamos de estos polinomios, por lo que esta matriz es un “compañero” de su polinomio característico.
8.3.2 Forma canónica de alcanzabilidad
Hay una realización “dual” a la presentada en la sección anterior para la ecuación diferencial LTI
\[y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{0} y=c_{0} u+c_{1} \dot{u}+\cdots+c_{n-1} u^{(n-1)} \ \tag{8.28}\]
Primero, consideremos un caso especial de esto, a saber, la ecuación diferencial
\[w^{(n)}+a_{n-1} w^{(n-1)}+\cdots+a_{0} w=u \ \tag{8.29}\]
Para obtener una realización estado-espacio de\(n\) orden th del sistema en 8.29, defina
\ [x=\ left [\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\
\\ vdots\\
x_ {n-1}\\
x_ {n}
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
w
\\ punto {w}\
\ ddot {w}\\
\ vdots\\
\ frac {d^ {n-2} w} {d t^ {n-2}}\
\ frac {d^ {n-1} w} {d t^ {n-1}}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Entonces es fácil verificar que la siguiente descripción estado-espacio representa el modelo dado:
\ [\ frac {d} {dx}\ left [\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\
\\ vdots\\
x_ {n-1}\\
x_ {n}
\ end {array}\ derecha] =
\ left [\ begin {array} {cccccc}
0 & 1 & 0 &\ cdots & amp; 0\\
0 & 0 & 1 & 0 &\ ldots & 0\\
0 & 0 & 0 &\ ldots & 0\\ ldots & 0
\\\ vdots & & & &\ vdots &\\
0 & 0 &\ ldots & 0 & 1\\
-a_ {0} (t) & -a_ {1} (t) & amp; -a_ {2} (t) &\ ldots & -a_ {n-2} (t) & -a_ {n-1} (t)
\ end {array}\ derecha]
\ izquierda [\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\
\\ vdots\\
x_ {n-1}\\
x_ {}
\ end {array }\ derecha] +
\ izquierda [\ begin {array} {c}
0\\
0\\
0\\
\ vdots\\
0\\
1
\ end {array}\ derecha] u\ nonumber\]
\ [w=\ left [\ begin {array} {cccccc}
w & = & 1 & 0 & 0 & 0 &\ ldots & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\\
\ vdots\\
x_ {n-1}\\
x_ {n}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
(La matriz A aquí está nuevamente en una de las formas acompañantes; las dos formas acompañantes restantes son las transpone de la de aquí y la transposición de la de la de la sección anterior.)
Supongamos ahora que queremos realizar otro caso especial, a saber, la ecuación diferencial
\[r^{(n)}+a_{n-1} r^{(n-1)}+\cdots+a_{0} r=\dot{u}\ \tag{8.30}\]
que es la misma ecuación que (8.29), salvo que el RHS es\(\dot{u}\) más bien que\(u\). Por linealidad, la respuesta de (8.30) será\(r = \dot{w}(t)\), y esta respuesta se puede obtener de la realización anterior simplemente tomando la salida a ser\(x_{2}\) en lugar de\(x_{1}\), ya que\(x_{2} = \dot{w} = r\).
Superponiendo casos especiales de la forma anterior, vemos que si tenemos la ecuación diferencial (8.28), con un RHS de
\[c_{0} u+c_{1} \dot{u}+\cdots+c_{n-1} u^{(n-1)}\nonumber\]
entonces la realización anterior es suficiente, siempre que tomemos la salida para ser
\[y=c_{0} x_{1}+c_{1} x_{2}+\cdots+c_{n-1} x_{n}\ \tag{8.31}\]
es decir, simplemente cambiamos la ecuación de salida para tener
\ [c=\ left [\ begin {array} {lllll}
c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} &\ cdots & c_ {n-1}
\ end {array}\ derecha]\ tag {8.32}\]
A continuación se muestra un diagrama de bloques de la realización final en 8.3.2. A esto se le llama la forma canónica de alcanzabilidad o controlabilidad.
Figura\(\PageIndex{2}\): Forma canónica de alcanzabilidad
Finalmente, para la obvia ecuación de diferencia DT que es análoga a la ecuación diferencial CT que usamos en este ejemplo, funcionará el mismo esquema, con derivados reemplazados por diferencias.