10.1: Modelos lineales variables en el tiempo

Una descripción general\(n\) del espacio-estado lineal de tiempo discreto de orden th toma la siguiente forma:

\ [\ comenzar {alineado}
x (k+1) &=A (k) x (k) +B (k) u (k)\\
y (k) &=C (k) x (k) +D (k) u (k)
\ final {alineado}\\ etiqueta {10.1}\]

donde\(x(k) \in \mathbb{R}^{n}\). Dada la condición inicial\(x(0)\) y la secuencia de entrada\(u(k)\), nos gustaría encontrar la secuencia de estado o trayectoria de estado así\(x(k)\) como la secuencia de salida\(y(k)\).

Respuesta no impulsada

Primero consideremos la respuesta no impulsada, esa es la respuesta cuando\(u(k) = 0\) para todos\(k \in \mathbb{Z}\). La ecuación de la evolución del estado luego se reduce a

\[x(k+1)=A(k) x(k) \ \tag{10.2}\]

La respuesta se puede derivar directamente de (10.2) simplemente iterando hacia adelante:

\ [\ begin {alineado}
x (1) &=A (0) x (0)\\
x (2) &=A (1) x (1)\\
&=A (1) A (0) x (0)\
x (k) &=A (k-1) A (k-2)\ lpuntos A (1) A (0) x (0)
\ final {alineado}\ {10.3}\]

Motivado por (10.3), definimos la matriz de transición de estado, que relaciona el estado del sistema no impulsado en el momento\(k\) con el estado en un momento anterior\(l\):

\[x(k)=\Phi(k, l) x(l) \quad k \geq l \ \tag{10.4}\]

La forma de la matriz sigue directamente de (10.3):

\ [\ Phi (k, l) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
A (k-1) A (k-2)\ cdots A (l) &,\ quad k>l\ geq 0\\
I &,\ quad k=l
\ end {array}\ derecha.\\ tag {10.5}\]

Si todos\(A(k-1), A(k-2), \ldots, A(l)\) son invertibles, entonces uno podría usar la matriz de transición de estado para obtener\(x(l)\) incluso\(x(k)\) de cuándo\(k < l\), pero normalmente asumiremos\(k \geq l\) al escribir\(\Phi(k, l)\).

Cabe destacar las siguientes propiedades de la matriz de transición de estado de tiempo discreto:

\ [\ comenzar {alineado}
\ Phi (k, k) &=I\\
x (k) &=\ Phi (k, 0) x (0)\\
\ Phi (k+1, l) &=A (k)\ Phi (k, l)
\ final {alineado}\\ etiqueta {10.6}\]

Ejemplo 10.1 (Una condición suficiente para la estabilidad asintomática)

El sistema lineal (10.1) se denomina asintóticamente estable si, con\(u(k) \equiv 0\), y para todos\(x(0)\), tenemos\(x(n) \rightarrow 0\) (con lo que queremos decir\(\|x(n)\| \rightarrow 0\)) como\(n \rightarrow \infty\). Ya que\(u(k) \equiv 0\), en efecto estamos tratando con (10.2)

Supongamos

\[\|A(k)\| \leq \gamma<1 \ \tag{10.7}\]

para todos k, donde la norma es cualquier norma submultiplicativa y\(\gamma\) es una constante (independiente de\(k\)) que es menor que 1. Entonces

\[\|\Phi(n, 0)\| \leq \gamma^{n}\nonumber\]

y por lo tanto

\[\|x(n)\| \leq \gamma^{n}\|x(0)\|\nonumber\]

así\(x(n) \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\), no importa lo que\(x(0)\) sea. De ahí que (10.7) constituya una condición suficiente (aunque débil, como veremos) para una estabilidad asintótica de (10.1).

Ejemplo 10.2 (“Elevación” de un modelo periódico a un modelo LTI)

Considere un modelo lineal no gobernado, que varía periódicamente (LPV) en forma de espacio de estado. Se trata de un sistema de la forma (10.2) para el cual hay un entero positivo más pequeño\(N\) tal que\(A(k + N) = A(k)\) para todos\(k\); así\(N\) es el periodo del sistema. (Si\(N = 1\), el sistema es en realidad LTI, entonces los casos de interés aquí son realmente los que tienen\(N \geq 2\).) Ahora concéntrese en el vector de estado\(x(mN)\) para entero\(m\), es decir, el estado del sistema LPV muestreado regularmente una vez cada período. Evidentemente

\ [\ comenzar {alineado}
x (m N+N) &= [A (N-1) A (N-2)\ cpuntos A (0)] x (m N)\\
&=\ Phi (N, 0) x (m N)
\ final {alineado}\\ etiqueta {10.8}\]

El estado muestreado admite un modelo LTI estado-espacio. El proceso de construcción de este modelo muestreado para un sistema LPV se conoce como elevación.

Respuesta Impulsada

Ahora consideremos el sistema impulsado, es decir,\(u(k) \neq 0\) para al menos algunos\(k\). Refiriéndose de nuevo a (10.1), tenemos

\ [\ comenzar {alineado}
x (1) &=A (0) x (0) +B (0) u (0)\\
x (2) &=A (1) x (1) +B (1) u (1)\
&=A (1) A (0) x (0) +A (1) B (0) u (0) +B (1) u (1)
\ fin {alineado}\\ etiqueta {10.9}\]

lo que lleva a

\ [\ begin {alineado}
x (k) &=\ Phi (k, 0) x (0) +\ sum_ {l=0} ^ {k-1}\ Phi (k, l+1) B (l) u (l)\\
&=\ Phi (k, 0) x (0) +\ Gamma (k, 0)\ mathcal {U} (k, 0)
\ end {alineado}\\ tag {10.10}\]

donde

\ [\ Gamma (k, 0) = [\ Phi (k, 1) B (0) |\ Phi (k, 2) B (1) |\ cdots\ mid B (k-1)],\ mathcal {U} (k, 0) =\ left (\ begin {array} {c}
u (0)\\
u (1)\
\ vdots\\
u (k-1)
\ end {array}\ derecha)\\ tag {10.11}\]

Lo que (10.10) muestra es que la solución del sistema sobre\(k\) pasos tiene la misma forma que la solución sobre un paso, que se da en la primera ecuación de (10.1). También tenga en cuenta que la respuesta del sistema se divide en dos términos: uno depende únicamente del estado inicial\(x(0)\) y el otro depende únicamente de la entrada. Estos términos se denominan respectivamente la respuesta natural o no forzada o de entrada cero, y la respuesta de estado cero. Tenga en cuenta también que la respuesta de estado cero tiene una forma que recuerda a una suma de convolución; esta forma a veces se denomina suma de superposición.

Si (10.10) hubiera sido simplemente reclamado como una solución, sin ningún tipo de derivación, entonces su validez podría verificarse sustituyéndola de nuevo en las ecuaciones del sistema:

\ [\ begin {alineado}
x (k+1) =&\ Phi (k+1,0) x (0) +\ sum_ {l=0} ^ {k}\ Phi (k+1, l+1) B (l) u (l)\\
=&\ Phi (k+1,0) x (0) +\ sum_ {l=0} ^ {k-1}\ Phi (k+1, l+1) B (l) u (l) +B (k) u (k)\\
=& A (k)\ izquierda [\ Phi (k, 0) x (0) +\ suma_ {l=0} ^ {k-1}\ Phi (k, l+1) B (l) u (l)\ derecha] +B (k) u (k)\
=& A (k) x (k) +B (k) u (k)
\ final {alineado}\\ etiqueta {10.12}\]

Claramente, (10.12) satisface las ecuaciones del sistema (10.1). Queda por verificar que la solución pro- puesta coincide con el estado inicial en\(k = 0\). Tenemos

\[x(0)=\Phi(0,0) x(0)=x(0) \ \tag{10.13}\]

que completa el cheque

Si\(\mathcal{Y}(k, 0)\) se define de manera similar a\(\mathcal{U}(k, 0)\), entonces siguiendo el tipo de derivación que condujo a (10.10), podemos establecer que

\[\mathcal{Y}(k, 0)=\Theta(k, 0) x(0)+\Psi(k, 0) \mathcal{U}(k, 0)\ \tag{10.14}\]

para matrices adecuadamente definidas\(\Theta(k, 0)\) y\(\Psi(k, 0)\). Te dejamos para que trabajes los detalles. Una vez más, (10.14) para la salida sobre\(k\) pasos tiene la misma forma que la expresión para la salida en un solo paso, que se da en la segunda ecuación de (10.1).