10.3: Ejercicios

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Ejercicio 10.1

(a) Dar un ejemplo de una matriz distinta de cero cuyos valores propios son todos 0.

(b) Demostrar que\(A^{k} = 0\) para alguna potencia positiva finita\(k\) si y sólo si todos los valores propios de\(A\) igual 0. Tal matriz se llama nilpotente. Argumentan eso\(A^{n} = 0\) para una matriz nilpotente de tamaño\(n\).

c) Si los tamaños de los bloques Jordan de la matriz nilpotente\(A\) son\(n_{1} \leq n_{2} \leq \ldots \leq n_{q}\), ¿cuál es el valor más pequeño\(k\) para cuál\(A^{k} = 0\)?

(d) Para una matriz cuadrada arbitraria\(A\), ¿cuál es el valor más pequeño\(k\) para el cual el rango de\(A^{k+1}\) es igual al de\(A^{k}\) (Pista: Su respuesta puede afirmarse en términos de los tamaños de bloques Jordan particulares de\(A\).)

Ejercicio 10.2

Considera el sistema que varía periódicamente en el Problema 7.4. Encuentra la forma general de la solución.

Ejercicio 10.3

Ruina del jugador

Considera apostar contra un banco de capital\(A_{1}\) de la siguiente manera: se voltea una moneda, si el resultado son cabezas, el banco paga un dólar al jugador, y si el resultado es colas, el jugador paga un dólar al banco. Supongamos que la probabilidad de una cabeza es igual a\(p\), el capital del jugador es\(A_{2}\), y el juego continúa hasta que una parte pierde todo su capital. Calcular la probabilidad de quebrar el banco.