21.3: El Valor Singular Estructurado
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Para una perturbación no estructurada, el supremo del valor singular máximo de\(M\) (es decir\(\|M\|_{\infty}\)) proporciona un método limpio y numéricamente tratable para evaluar la estabilidad robusta. Recordemos que, para el\(M-\Delta\) bucle estándar, el sistema no logra ser robustamente estable si existe un admisible\(\Delta\) tal que\((I - M(\Delta\)) es singular. Lo que distingue la situación actual del caso no estructurado es que hemos puesto restricciones al conjunto\(\Delta_{0}\). Dado este conjunto más limitado de perturbaciones admisibles, deseamos una medida de estabilidad robusta similar a\(\|M\|_{\infty}\). Esto se puede derivar del valor singular estructurado\(\mu(M)\).
Definición: Word
El valor singular estructurado de una matriz compleja M con respecto a una clase de perturbaciones\(\Delta_{0}\) viene dado por
\[\mu(M) \triangleq \frac{1}{\inf \left\{\sigma_{\max }(\Delta) \mid \operatorname{det}(I-M \Delta)=0\right\}}, \quad \Delta \in \Delta_{0}\label{21.4}\]
Si\(\operatorname{det}(I-M \Delta) \neq 0\) por todos\(\Delta \in \Delta_{0}\), entonces\(\mu(M)=0\).
Teorema\(\PageIndex{21.1}\)
El\(M-\Delta\) Sistema es estable para todos\(\Delta \in \Delta_{0} \text { with }\|\Delta\|_{\infty}<1\) si y solo si
\[\sup _{\omega} \mu(M(j \omega)) \leq 1\nonumber\]
- Prueba
-
Inmediata, a partir de la definición. Claramente, si\(\mu \leq 1\), entonces la norma de la perturbación desestabilizadora más pequeña permisible\(\Delta\) debe por definición ser mayor que 1.