21.8: Ejercicios

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Ejercicio\(\PageIndex{21.1}\)

En el control descentralizado, se supone que la planta es diagonal y los controladores se desfirman independientemente para cada elemento diagonal. Sin embargo, si el proceso real no está completamente decou- plado, las interacciones entre estos subsistemas separados pueden llevar al sistema a la inestabilidad.

Considera la\(2 \times 2\) planta

\ [P (s) =\ left (\ begin {array} {ll}
P_ {11} & P_ {12}\\
P_ {21} & P_ {22}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Supongamos que\(P_{12}\) y\(P_{21}\) son estables y relativamente pequeños en comparación con los elementos diagonales, y solo se dispone de un límite en su respuesta de frecuencia. Supongamos que un controlador\(K=\operatorname{diag}\left(K_{1}, K_{2}\right)\) está diseñado para estabilizar el sistema\(P_{0}=\operatorname{diag}\left(P_{11}, P_{22}\right)\).

Configurar el problema como un problema de estabilidad y robustez, es decir, poner el problema en la\(M - \Delta\) forma.
Derivar una condición no conservadora (necesaria y suficiente) que garantice la robustez de estabilidad del sistema anterior. Supongamos que los elementos fuera de la diagonal se perturban independientemente. Reducir el resultado a la forma más simple (una respuesta como no\(\mu(M)<1\) es aceptable; este problema tiene una solución exacta que es computable).
¿Cómo cambia tu respuesta si los elementos fuera de la diagonal se perturban simultáneamente con los mismos\(\Delta\)?

Ejercicio\(\PageIndex{21.2}\)

Considera el\(\mu\) problema de rango 1. Supongamos\(\Delta_{0}\), contiene sólo perturbaciones reales. Calcula la expresión exacta de\(\mu(M)\).

Ejercicio\(\PageIndex{21.3}\)

Considere el conjunto de plantas caracterizadas por los siguientes conjuntos de numeradores y denominadores de la función de transferencia:

\[N(s)=N_{0}(s)+N_{\delta}(s) \delta, \quad D(s)=D_{0}(s)+D_{\delta}(s) \delta\nonumber\]

Donde ambos\(N_{0}\) y\(D_{0}\) son polinomios en\(s, \delta \in \mathbb{R}^{n}\), y\(N_{\delta}, D_{\delta}\) son vectores de fila polinomial. El conjunto de todas las plantas viene dado entonces por:

\[\Omega=\left\{\frac{N(s)}{D(s)}\left|\delta \in \mathbb{R}^{n},\right| \delta_{i} \mid \leq \gamma\right\}\nonumber\]

Deja\(K\) ser un controlador que estabilice\(N_{0}/D_{0}\). Calcula el margen de estabilidad exacto; es decir, computar el mayor de\(\gamma\) tal manera que el sistema sea estable.