3.1: Cuatro preguntas

Al desarrollar una ecuación contable o de saldo para una nueva propiedad, hay cuatro preguntas que deben ser respondidas:

1. ¿Qué es?
2. ¿Cómo se puede almacenar en un sistema?
3. ¿Cómo se puede transportar a través de los límites de un sistema?
4. ¿Cómo se puede generar o consumir?

En esta sección, utilizaremos estas preguntas para guiarnos a medida que desarrollamos un balance de masas construido sobre un principio físico fundamental la conservación de la masa.

3.1.1 ¿Qué es la masa?

La masa se puede describir de muchas maneras diferentes. Newton lo describió como una “medida de la inercia” de un cuerpo; sin embargo, esto no es muy útil sin definir la inercia. De igual manera, podríamos definirlo como la cantidad de una sustancia; sin embargo, esto también es defectuoso precisamente porque descuida la idea de inercia.

Este problema de definición es común en la ciencia y el lenguaje en general. Toda definición debe basarse necesariamente en otras palabras que se asuman para ser entendidas. En ciencia e ingeniería, haremos uso de una definición operativa para proporcionar una definición precisa de un nuevo término o concepto. Una definición operativa es una serie de pasos u operaciones que deben realizarse para definir la cantidad o concepto en cuestión.

Usando este enfoque, la masa de cualquier objeto podría describirse en términos de la masa de un objeto estándar o de referencia:

Masa: En términos de masa gravitacional de un objeto de referencia

La relación entre la masa gravitacional de un objeto y la masa gravitacional de un objeto estándar o de referencia es igual a la relación entre el peso del objeto de masa desconocida y el peso del objeto estándar.

Esta definición supone que se entiende el concepto de peso. Se podría desarrollar una definición alternativa a partir de la segunda ley de Newton que relaciona la fuerza\(\vec{F}\), la masa del sistema\(m\) y la aceleración\(\vec{a}\),\(\vec{F} = m \vec{a}\):

Masa: En términos de masa inercial de un objeto de referencia

La relación de la masa inercial de un objeto a la masa inercial del objeto estándar o de referencia es igual a la relación de la aceleración del objeto a la aceleración del objeto de referencia cuando ambos objetos están sometidos a la misma fuerza.

Como has aprendido en física, la masa inercial y la masa gravitacional de un objeto son iguales. Para nuestros propósitos, tomaremos la definición de masa como un término indefinido y confiaremos en su formación desde la física.

3.1.2 ¿Cómo se puede almacenar la masa en un sistema?

La masa es una propiedad intrínseca de la materia. Cualquier sistema que contenga materia tiene masa. Si la masa de una partícula es\(m_i\), entonces la masa de un sistema de partículas\(m_{sys}\) es igual a la suma de la masa de las partículas individuales:

\[ m_{sys} = \sum_{i=1}^n m_i \nonumber \]

Dado que la masa de un sistema depende del número de partículas (o extensión) del sistema, reconocemos que la masa también es una propiedad extensa.

De manera más general, la masa de un sistema se puede encontrar integrando la densidad de masa\(\rho\) sobre el volumen del sistema\(V_{sys}\).

\[ m_{sys} = \int \limits_{V_{sys}} \rho \, dV \nonumber \]

La densidad de masa o más comúnmente solo la densidad de una sustancia se define como la masa por unidad de volumen. Debido a que tiene un valor en un punto, la densidad es una propiedad intensiva. Las dimensiones de densidad son\([\text{M}]/[\text{L}]^3\). Las unidades típicas para densidad están\(\text{kg/m}^3\) en SI y\(\text{lb} \cdot \text{m/ft}^3\) en USCS.

En general, las sustancias pueden clasificarse como incompresibles o compresibles. Una sustancia incompresible es aquella cuya densidad es constante con respecto tanto al espacio como al tiempo. No hay sustancias verdaderamente incompresibles; sin embargo, muchas sustancias pueden modelarse como incompresibles bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, el fluido hidráulico en las líneas de freno de su automóvil es esencialmente incompresible. Lo mismo es cierto para la mayoría de los líquidos y sólidos. Una sustancia compresible es aquella cuya densidad puede cambiar significativamente durante un cambio de estado. Los gases y vapores entran en esta categoría.

Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema

Para comprender mejor la importancia de esta relación simple, considere el sistema y el sistema de coordenadas en la Figura 3-1. Dependiendo de si se trata de un sistema abierto o cerrado, la masa de un sistema puede cambiar con el tiempo. Matemáticamente, diríamos que la masa del sistema depende del tiempo,\(m_{sys} = m_{sys}(t)\). La densidad de masa\(\rho\) en cualquier punto del sistema puede depender tanto de su posición\((x,y,z)\) como de su tiempo\((t)\), es decir\(\rho = \rho (x,y,z,t)\). Sustituyendo estos términos de nuevo en la Ec. \(\PageIndex{2}\)tenemos

\[ m_{sys} (t) = \int\limits_{V_{sys}} \rho (x,y,z,t) \, dV \nonumber \]

Observe cómo la integración sobre el volumen del sistema elimina la dependencia espacial dejando solo la dependencia del tiempo. Normalmente no escribiremos la dependencia espacial y temporal como en la Eq. \(\PageIndex{3}\); sin embargo, debes recordar que estas variaciones pueden existir.

Ejemplo — Masa en un estanque solar

Un estanque solar contiene una mezcla estratificada de sal y agua. El estanque solar tiene una superficie de sección rectangular\(1000 \ \text{m}^2\) y una profundidad uniforme de\(6 \ \text{m}\). La densidad de la mezcla de agua salada varía con la distancia por debajo de la superficie\(h\) según la relación\(\rho / \rho_{H2O} = 1+0.001(h/\text{m})^2\) donde\(\rho_{H2O} = 998 \text{kg/m}^3\). Determinar la masa de agua salada en el estanque, en kilogramos.

Solución

Conocido: Un estanque solar contiene una mezcla estratificada de sal y agua.

Encuentra: La masa de agua salada en el estanque, en\(\text{kg}\).

Análisis:

Comenzamos con la relación matemática que define la masa dentro de un sistema en términos de su densidad de masa y volumen:

\[ m_{sys(t)} = \int\limits_{V_{sys}} \rho _{(x, y, z, t)} \, dV \nonumber \]

Debido a que la densidad solo depende de la profundidad\(h\), tiene sentido definir el volumen diferencial como\(dV = A_{surface} \ dh\) y los límites de integración desde\(0 \to H\). Combinando esto con la relación de densidad da

\[ \begin{align*} m_{sys} &= \int\limits_{0}^{H} \rho_{H2O} \left[ 1 + 0.001 \left( \frac{h}{\text{m}} \right) ^2 \right] \underbrace{ \left( A_{surface} \, dh \right) }_{V_{sys}} \\ &= \rho_{H2O} A_{surface} \left. \left[ h + \frac{0.001}{3} \frac{h^3}{\text{m} ^2} \right] \ \right\vert_{0}^{H} \\ &= \rho_{H2O} A_{surface} \left[ H + \frac{0.001}{3} \frac{H^3}{\text{m} ^2} \right] = \underbrace{ \rho_{H2O} \left[ 1 + \frac{0.001}{3} \left( \frac{H}{\text{m}} \right)^2 \right] }_{\rho_{average}} \underbrace{ \left( A_{surface} H \right) }_{V_{sys}} \end{align*} \nonumber \]

Sustituyendo en los números, tenemos

\[ \begin{align*} m_{pond} &= \left( 998 \frac{ \text{kg} }{ \text{m}^3 } \right) \times \left[ 1 + \frac{0.001}{3} \left( \frac{6 \ \text{m}}{\text{m}} \right)^2 \right] \times \left[ \left( 1000 \ \text{m}^2 \right) \left( 6 \ \text{m} \right) \right] \\ &= \left[ (998) (1 + 0.012) (6000) \right] \left[ \frac{ \text{kg} }{ \text{m}^3 } \cdot \text{m}^2 \cdot \text{m} \right] \\ &= 6.06 \times 10^6 \ \text{kg} \end{align*} \nonumber \]

Comentarios:

1. Observe la forma de la ecuación para la densidad. Esta ecuación es dimensionalmente homogénea porque funciona correctamente con cualquier conjunto de unidades. Si la ecuación se hubiera presentado sin la unidad métrica en la expresión, es decir, en\(\rho / \rho_{H2O} = 1+0.001(h)^2\) lugar de\(\rho / \rho_{H2O} = 1+0.001(h/ \text{m})^2\), la ecuación solo podría haberse utilizado correctamente si los valores numéricos de siempre\(h\) se suministraron en metros.
2. También observe cómo los cálculos se hicieron primero simbólicamente. Este es el método preferido para resolver problemas, ya que permite realizar un seguimiento de la física sin perderse en los números. Observe cómo pudimos identificar el volumen del estanque,\(V_{pond}\), y la densidad promedio,\(\rho_{avg}\), en el último paso del cálculo. Conectando constantemente nuestras matemáticas con nuestra comprensión física del problema proporciona una verificación continua de nuestro trabajo.
3. Al sustituir en la magnitud de las cantidades físicas,\(H\( and \(\rho_{H2O}\), observe cómo sustituimos tanto en un número como en una unidad. Estrictamente hablando, si tuviéramos que dejar fuera las unidades la expresión sería matemáticamente incorrecta. Un enfoque para simplificar los cálculos, especialmente cuando se trata de unidades desconocidas, es separar los cálculos numéricos y unitarios en dos partes como se muestra en el problema.

3.1.3 ¿Cómo se puede transportar la masa a través de los límites de un sistema?

Hay dos formas en que la masa puede cruzar el límite de un sistema:

• Movimiento bruto de la masa a través del límite.
• Movimiento microscópico de la masa debido a la difusión molecular.

En este curso nos centraremos únicamente en el primer mecanismo. Específicamente definiremos el caudal másico\(\dot{m}\) como la velocidad de tiempo a la que la masa cruza un límite. El caudal másico tiene dimensiones de\([\text{M}]/[\text{T}]\). Las unidades típicas están\(\text{kg/s}\) en SI,\(\text{lb m/s}\) y/o\(\text{slugs/s}\) en USCS.

3.1.4 ¿Cómo se puede crear o destruir la masa?

A partir de tus experiencias pasadas, ¿cómo responderías a esta pregunta? Si dijiste: “¡No puede!” estás reconociendo una ley física fundamental conocida como la Conservación de la Misa. Reconociendo que la masa es una propiedad, podemos exponer esta ley de la siguiente manera: La misa es una propiedad conservada.

Específicamente esto significa que, excluyendo la conversión de energía a masa, es imposible generar o consumir masa.

3.1.5 Poniéndolo todo junto

Combinando lo que hemos aprendido de las primeras cuatro secciones sobre masa, podemos usar nuestro marco contable o de balance para escribir la siguiente ecuación de conservación de masa o balance de masas:

\[ \frac{d m_{sys}}{dt} = \sum_{in} \dot{m}_i - \sum_{out} \dot{m}_e \nonumber \]

donde la primera suma está sobre todas las entradas (entradas) y la segunda suma está sobre todas las salidas (salidas). En palabras, podríamos decir que

La tasa de cambio de tiempo de la masa en el sistema es igual a la suma de los caudales másicos hacia el sistema menos la suma de los caudales másicos que salen del sistema.

Otra declaración podría ser

La tasa de acumulación de masa dentro del sistema es igual al caudal másico neto en el sistema.

Al igual que con cualquiera de nuestras ecuaciones de balance, tenga en cuenta que todos los términos de la ecuación de balance tienen definiciones independientes y pueden calcularse independientemente de las otras expresiones. La contribución única de este balance de masas y su ley física relacionada, La Conservación de la Masa, es que ahora tenemos una relación única entre todas estas cantidades.