3.7: Ecuaciones constitutivas

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Basado en Introducción al Análisis de Ingeniería Química por T.W.F. Russell y M. M. Denn, John Wiley & Sons, Inc, Nueva York, 1972, p.41- 43.

Como hemos resuelto problemas relacionados con la conservación de la masa y la contabilidad de especies químicas, frecuentemente hemos encontrado problemas donde la aplicación directa de la ecuación de conservación y contabilidad fue insuficiente para desarrollar un modelo completo, y de ahí una solución a nuestro problema o requirió mucho más tiempo y esfuerzo del que podríamos gastar. Cuando esto ocurre, a menudo requeriremos relaciones adicionales entre variables importantes que no parecen encajar en el marco de conservación y contabilidad. Estas ecuaciones se denominan relaciones constitutivas o ecuaciones.

Una relación constitutiva es una relación matemática entre variables que describe algunos fenómenos físicos. Existen varias fuentes comunes para estas relaciones. Pueden basarse únicamente en experimentos, como la Ley de Ohm que relaciona la caída de voltaje y la corriente eléctrica a través de una resistencia. Pueden basarse en fundamentos puramente teóricos, como las predicciones de la mecánica estadística para las propiedades de los gases. Pueden basarse en una combinación de experimentos y teoría, tales como el caudal másico a través de un orificio en función de la altura del fluido por encima del orificio. Todas ellas son relaciones constitutivas.

Las relaciones constitutivas son por su naturaleza específicas. No se pueden aplicar en general y sólo son válidos bajo un conjunto restringido de condiciones. Esto contrasta con las leyes fundamentales de conservación y la ecuación contable de entropía que siempre son válidas bajo cualquier circunstancia. Un excelente ejemplo de ello es la “ley” de gas ideal que discutiremos a continuación. Aunque comúnmente se presenta como una “ley”, es realmente un modelo para el comportamiento de sustancias bajo condiciones restringidas de presión y temperatura y no es aplicable en todas las situaciones.

Las relaciones constitutivas suelen hacer una de dos cosas: describir fenómenos microscópicos o representar relaciones empíricas entre variables para un fenómeno específico. La “ley” de Fourier de conducción de calor, la “ley” de Ohm y la “ley” de difusión de Fick describen el flujo de una propiedad extensa (energía térmica, carga y masa, respectivamente) en términos de una fuerza impulsora: temperatura, voltaje y concentración, respectivamente. Todos estos son fenómenos microscópicos. Otro ejemplo es la “ley” de gas ideal que relaciona la presión, densidad y temperatura de un gas. Las tres variables macroscópicas están relacionadas con el comportamiento microscópico del gas. En la otra categoría se encuentran cosas como el diagrama Moody que relaciona la caída de presión en una tubería con varias variables que describen la situación del flujo. La ecuación de orificio\(\dot{V}=C_d A_o \sqrt{2 g h}\) es un ejemplo de cómo los datos empíricos y la teoría pueden ser utilizados para desarrollar una relación constitutiva.

Las relaciones constitutivas juegan un papel extremadamente importante en el modelado de sistemas físicos. Se debe estar pendiente de las relaciones constitutivas y de cómo se utilizan en el proceso de modelización. Si bien utilizaremos varias relaciones constitutivas durante el trimestre, es posible que no aportemos muchos antecedentes sobre cómo se desarrollaron. Posteriormente conocerás más sobre sus limitaciones específicas y su desarrollo. Recuerde que las relaciones constitutivas por su propia naturaleza tienen rangos de aplicabilidad limitados. Una de las principales tareas del ingeniero es conocer cuáles son estos rangos y cómo determinar la relación constitutiva adecuada para una situación dada.