8.3: Ecuación Contable de Entropía

El punto de partida recomendado para cualquier problema que requiera la aplicación de la Segunda Ley de la Termodinámica, la determinación de la producción de entropía, o el cambio en la entropía de un sistema, es la forma de tasa de la ecuación contable de entropía derivada anteriormente:\[\frac{d S_{sys}}{d t} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \nonumber \] Al aplicar esta ecuación a describir el comportamiento de un sistema, existen varios supuestos de modelado que se utilizan comúnmente. Estos se describen con detalle en los siguientes párrafos. Como siempre, debes enfocarte en comprender la física que subyace a la suposición y cómo se usan. No se limite a memorizar las ecuaciones simplificadas.

Supuestos típicos de modelado

Sistema de estado estacionario: Si un sistema está operando bajo condiciones de estado estacionario, todas las propiedades e interacciones intensivas son independientes del tiempo. Así, la entropía del sistema es constante,\(S_{sys}=\) constante. Cuando se aplica a la ecuación contable de entropía tiene lo siguiente\[\begin{aligned} \underbrace{\cancel{ \frac{d S_{sys}}{dt} }^{=0}}_{\text{Steady-state}} &= \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \\ 0 \ &=\sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \end{aligned} \nonumber \] En palabras, la tasa neta de transferencia de calor de entropía al sistema más la tasa de transporte de masa neta de entropía al sistema más la tasa neta de generación (producción) de entropía debe ser igual a cero.

Sistema cerrado: Un sistema cerrado no tiene flujo másico a través de su límite. Con esta restricción, la ecuación contable de entropía se simplifica de la siguiente manera:\[\begin{aligned} &\frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \underbrace{ \cancel{\sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i}-\sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e}}^{=0} }_{\text {Closed system} \rightarrow \text{no mass flow}} + \dot{S}_{gen} \\ &\frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}}+\dot{S}_{gen} \end{aligned} \nonumber \]

Sistema cerrado de tiempo finito: Para un sistema cerrado en un intervalo de tiempo finito, primero se aplica la suposición del sistema cerrado y luego se integra la ecuación durante el intervalo de tiempo especificado:\[\begin{aligned} \frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} &+ \cancel{\sum_{in} \dot{m}_{i} s_{j}-\sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e}}^{=0} + \dot{S}_{gen} \\ {\frac{d S_{sys}}{dt}} &= \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \dot{S}_{g e n} \\ \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\frac{d S_{sys}}{dt}\right) dt &= \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}}\right) dt + \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{S}_{gen} \ dt \\ S_{sys, \ 2}-S_{sys, \ 1} &= \sum_{j=1}^{N} \left[\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} d t\right] + S_{gen} \end{aligned} \nonumber \] En palabras, esto dice que el cambio en la entropía del sistema es igual al transferencia neta de calor de entropía al sistema más la cantidad de entropía producida dentro del sistema.

Proceso internamente reversible: Cuando un proceso es internamente reversible no hay producción de entropía y\(\dot{S}_{gen} \equiv 0\). Bajo estas condiciones la ecuación contable de entropía se reduce a lo siguiente:\[\begin{aligned} &\frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \underbrace{\cancel{\dot{S}_{gen}}^{=0}}_{\begin{array}{c} \text {Internally reversible} \\ \text{process} \end{array}} \\ & \frac{d S_{sys}}{dt} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} \end{aligned} \nonumber \] Esto plantea un punto interesante. A menos que se pueda suponer que un proceso es internamente reversible, todo lo que sabe es que la tasa de producción de entropía es mayor o igual a cero,\(\dot{S}_{gen} \geq 0\). Esto significa que cuando se buscan ecuaciones que ayuden a resolver un problema, la ecuación de contabilidad de entropía trae consigo un desconocido incorporado. Por ejemplo, si tienes tres ecuaciones y cuatro incógnitas antes de aplicar la ecuación contable de entropía, después de aplicar la ecuación contable de entropía tendrás cuatro ecuaciones y cinco incógnitas a menos que puedas asumir un proceso internamente reversible. En realidad, la situación no es tan sombría como esto parece. Aunque quizás no conozcas su valor exacto, sí sabe que la tasa de producción de entropía no puede ser negativa. Además, como mostraremos en breve, cualquier sistema real debe tener un valor que sea positivo y se acercará a cero a medida que nos acerquemos al mejor u óptimo comportamiento para las condiciones especificadas.

Supuestos sobre transferencia de calor y transferencia de trabajo de entropía:

Transferencia de calor de entropía — En este curso, usualmente haremos uno de tres supuestos sobre la transferencia de calor de la entropía para un sistema:

1. No hay transferencia de calor y por lo tanto no hay transferencia de calor de entropía.
2. La velocidad de transferencia de calor\(\dot{Q}_{j}\) y/o la temperatura de la superficie\(T_{b, \ j}\) pueden ser desconocidas y, por lo tanto, también se desconoce la tasa de transferencia de entropía con la transferencia En este caso, la ecuación contable de entropía puede proporcionar una ecuación adicional que relacione estas dos variables.
3. Tanto la tasa de transferencia de\(\dot{Q}\) calor como la temperatura de la superficie\(T_{b, \ j}\) están especificadas y, por lo tanto, se conoce la tasa de transferencia de entropía con transferencia de calor.

Recuerde que la transferencia de entropía con transferencia de calor solo se puede definir con respecto a un límite. Si mueve el límite, puede cambiar la velocidad de transferencia de calor o la temperatura de la superficie a la que se produce. Sin indicar claramente el límite de su sistema, es imposible aplicar ninguno de estos supuestos.

Al aplicar la ecuación de conservación de energía, usted calcula rutinariamente la tasa neta de transferencia de calor para un sistema sumando las tasas de transferencia de calor sobre el límite del sistema. Debido a que la tasa de transferencia de entropía con transferencia de calor depende tanto de la tasa de transferencia de calor como de la temperatura límite donde se produce la transferencia de calor, debe tener cuidado de sumar solo las tasas de transferencia de calor que ocurren a la misma temperatura al determinar la transferencia de calor de la entropía. Por ejemplo,\[\sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} = \frac{1}{T_{b}} \sum_{j=1}^{N} \dot{Q}_{j} = \frac{\dot{Q}_{\text {net, in}}}{T_{b}} \quad\quad \text { only if } T_{b,\ j} = T_{b} \text { for all surfaces. } \nonumber \] Otro problema común es asignar una temperatura límite cuando un sistema intercambia energía por transferencia de calor con una transferencia de calor por convección de fluido. Para ayudarnos a responder a esta pregunta, necesitamos examinar la variación de temperatura dentro del sistema y el fluido cerca del límite del sistema. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra la distribución de temperatura normal al límite en el sistema y el fluido circundante. Si la transferencia de calor por convección se está produciendo desde el sistema al fluido circundante, la distribución de temperatura aparece como se muestra en la figura. La temperatura disminuye dentro del sistema a medida que nos acercamos al límite. En el límite (la interfaz entre el sistema y el fluido circundante), la temperatura es\(T_{\text {surface}}\). Inmediatamente adyacente al sistema es una capa de aire comúnmente conocida como la capa límite. La capa límite es una capa de aire a través de la cual la temperatura cambia de\(T_{\text {surface}}\) a\(T_{\infty}\), la temperatura del fluido lejos de la pared.

Transferencia de calor por convección a través de la capa límite:\(\dot{Q}_{\text {convection}}=h A_{\text {surface}}\left(T_{\text {surface}}-T_{\infty}\right) \)

Tasa de producción de entropía dentro de la capa límite:\(\underbrace{\cancel{\dfrac{d S_{sys}}{dt}}^{=0}}_{\text{Steady-state}} = \dfrac{\dot{Q}_{\text {conv, in}}}{T_{\text {surface}}} - \dfrac{\dot{Q}_{\text {conv, out}}}{T_{\infty}} + \left.\dot{S}_{\text {gen}} \quad \rightarrow \quad \dot{S}_{\text {gen }}\right|_{\begin{array}{c} \text {boundary} \\ \text{layer} \end{array}} = \dot{Q}_{\text {conv, in}}\left[\dfrac{1}{T_{\infty}}-\dfrac{1}{T_{\text {surface}}}\right] \)

Figura\(\PageIndex{1}\): Producción de entropía en un límite del sistema con transferencia de calor por convección

Si nuestro sistema no incluye la capa límite, entonces la temperatura correcta a usar al calcular la transferencia de calor de entropía para el sistema es\(T_{b}=T_{\text {surface}}\). Si el sistema sí incluye la capa límite, entonces la temperatura correcta a usar al calcular la transferencia de calor de la entropía es\(T_{b}=T_{\infty}\). Sin embargo, debe tener en cuenta que debido a que este último sistema contiene material adicional (la capa límite) puede tener una tasa de producción de entropía diferente y diferentes tasas de transferencia de entropía. Como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), el proceso de transferencia de calor en estado estacionario a través del límite da como resultado una tasa de producción de entropía.

La razón por la que esta discusión es importante es que frecuentemente al aplicar la ecuación de contabilidad de entropía no conocerás una temperatura superficial y solo conocerás (o puedes asumir razonablemente) una temperatura ambiente del fluido, digamos temperatura ambiente. En estos casos, es perfectamente aceptable incluir la capa límite dentro de su sistema para que conozca una temperatura límite para calcular la transferencia de calor de la entropía. Sin embargo, recuerde que la producción de entropía que calcule para un sistema que incluya la capa límite será diferente y mayor que la que calcularía para un sistema más pequeño que no incluyó la capa límite.

Transferencia de trabajo de entropía — He incluido esto aquí para reforzar un punto de que no hay transporte de entropía con el trabajo. Déjenme decir eso una vez más: no hay transporte de entropía con trabajo.

Esto nos lleva a otra forma de distinguir entre una transferencia de trabajo de energía y una transferencia de calor de energía. Una transferencia de calor de energía siempre lleva consigo una cantidad de entropía; mientras que una transferencia de energía de trabajo nunca lo hace.

Supuestos sobre la sustancia:

Como descubrimos con la conservación de energía, necesitaremos evaluar las propiedades termofísicas —\(u\),\(h\), \(s\), \(T\), \(P\), \(\rho\), y\(\upsilon\). Esto requiere un conocimiento empírico sobre el comportamiento del material dentro del sistema. En el último capítulo presentamos dos modelos de sustancias diferentes y en breve los ampliaremos para incluir el cálculo de los cambios de entropía.

Resolución de problemas con la ecuación de contabilidad de entropía

En la práctica, normalmente aplicaremos la ecuación contable de entropía a tres tipos diferentes de problemas:

• problemas en los que se nos pide explícitamente determinar la tasa de producción de entropía,
• problemas donde se nos pide determinar si un proceso dado es posible, es decir, la tasa de producción de entropía está dentro de límites aceptables\(\dot{S}_{gen} \geq 0\), y
• problemas donde se nos pide determinar el “mejor” desempeño que teóricamente es posible.

Para el primer tipo de problema donde se nos pide explícitamente determinar la tasa de producción de entropía, normalmente aplicaremos tanto la conservación de energía como las ecuaciones contables de entropía. Además, debemos ser capaces de determinar valores para cada término en la ecuación contable de entropía excepto para la tasa de producción de entropía.

Para el segundo tipo de problema donde se nos pide determinar si un proceso o dispositivo dado es posible, nuevamente debemos poder determinar la tasa de producción de entropía. Las preguntas sobre si un proceso o dispositivo determinado es posible casi siempre requieren que encontremos la tasa de generación de entropía para el proceso. No todos los procesos que satisfagan la conservación de energía también cumplen con la ecuación contable de entropía. El incumplimiento de cualquiera de estas leyes físicas significa que un proceso dado es imposible.

Para el tercer tipo de problema, se nos pide determinar el “mejor” rendimiento posible para el dispositivo o proceso. Nuevamente, la clave para responder a estas preguntas involucra la ecuación contable de entropía. Para responder a estas preguntas es necesario combinar la conservación de energía y la ecuación contable de entropía para que se pueda estudiar el desempeño deseado en función de la tasa de generación de entropía. (Recordemos que la tasa de generación de entropía es la única cantidad ya sea en la conservación de energía o en la ecuación contable de entropía que tiene alguna limitación física puesta en su valor.) Para encontrar el “mejor” rendimiento posible, debe estudiar el rendimiento deseado del dispositivo en el rango de posibles valores de generación de entropía y ver qué constituye el “mejor” rendimiento para las condiciones de operación especificadas, por ejemplo, potencia máxima o entrada mínima para un sistema. Si bien se le anima a investigar casos específicos para probar esta conclusión, la experiencia ha demostrado que el “mejor” rendimiento que teóricamente es posible siempre ocurre cuando el dispositivo o proceso es internamente reversible.

Los siguientes ejemplos sirven para dos funciones. En primer lugar, demuestran la mecánica de cómo aplicar la contabilidad de entropía con los diversos supuestos de modelado. En segundo lugar, están diseñados para ayudarte a conocer más sobre la importancia de la entropía inmobiliaria y su producción. Por favor, lea atentamente los problemas y, cuando se le solicite, responda las diversas preguntas lo mejor que pueda.

Ejemplo — ¡El caso de la resistencia caliente!

Una batería de 9 voltios energiza una\(200 \text{-} \Omega\) resistencia. La resistencia funciona en condiciones de estado estacionario. La transferencia de calor por convección ocurre entre el aire ambiente en\(25^{\circ} \mathrm{C}\) y la resistencia. El área de superficie de la resistencia es\(2.5 \mathrm{~cm}^{2}\), y el coeficiente de transferencia de calor por convección es\(10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot { }^{\circ} \mathrm{C}\right)\).

Determine la (a) magnitud y dirección de la tasa de transferencia de calor, (b) la tasa de generación de entropía solo para la resistencia y (c) la tasa de generación de entropía para un sistema ampliado que incluye la resistencia y la capa límite de aire que rodea la resistencia.

Solución

Conocido: Una resistencia es energizada por una batería y opera en condiciones de estado estacionario.

Encuentre: (a) Tasa de transferencia de calor, en\(\mathrm{W}\).

(b) Tasa de generación de entropía solo para la resistencia, pulg\(\mathrm{W}/\mathrm{K}\).

(c) Tasa de generación de entropía para un sistema ampliado que incluye la capa límite de convección

Dado:

Figura\(\PageIndex{2}\): La corriente pasa a través de una resistencia, la cual está rodeada por una capa límite con el aire.

Temperatura del aire ambiente:\(T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}\)

Coeficiente de transferencia de calor por convección:\(h=10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot { }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)

Superficie:\(A=2.5 \mathrm{~cm}^{2}=2.5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}\)

Voltaje de CC a través de la resistencia:\(\Delta V = 9 \mathrm{~volts}\)

Resistencia de resistencia:\(R=200 \ \Omega\)

Sistema de estado estacionario

Análisis:

Estrategia\(\rightarrow\) Las preguntas sobre las tasas de transferencia de calor generalmente requieren la aplicación de conservación de energía.

Las preguntas sobre la producción de entropía siempre requieren la aplicación de la ecuación contable de entropía.

Sistema\(\rightarrow\) Comience con solo la resistencia.

Propiedad para contar\(\rightarrow\) Energía y luego entropía.

Intervalo de tiempo\(\rightarrow\) Debido a que describió al sistema como estado estacionario, podemos asumir un intervalo de tiempo infinitesimal.

Figura\(\PageIndex{3}\): Sistema cerrado que consiste únicamente en la resistencia.

(a) Para resolver la tasa de transferencia de calor trataremos la resistencia sola como un sistema cerrado y escribiremos la ecuación de conservación de energía para este sistema:

\[ \begin{aligned} & \underbrace{ \cancel{\frac{dE_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} + \underbrace{\cancel{ \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i} + \frac{V_{i}^{2}}{2} + gz\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e} + \frac{V_{e}^{2}}{2} + gz\right) }^{=0}}_{\text{Closed system}} \\ & 0=\dot{Q}_{\text {in}} + \dot{W}_{\text {electric, in}} \quad \rightarrow \quad \dot{Q}_{\text {in}} = -\dot{W}_{\text {electric, in}} \end{aligned} \nonumber \]Como cabría esperar, descubrimos que la tasa de transferencia de calor en equivale a la negativa de la energía eléctrica en. Alternativamente, podríamos decir que la energía eléctrica es igual a la tasa de transferencia de calor hacia fuera.

Suponiendo que la resistencia obedece a la Ley de Ohm, podemos calcular la potencia eléctrica y la tasa de transferencia de calor de la siguiente manera:\[\dot{Q}_{\text {in}} = -\underbrace{\dot{W}_{\text {electric, in}}}_{=i \cdot \Delta V} = -i \cdot \Delta V = -\left(\frac{\Delta V}{R}\right) \cdot \Delta V = -\frac{(\Delta V)^{2}}{R} = -\frac{(9 \mathrm{~V})^{2}}{(200 \ \Omega)} = -0.405 \mathrm{~W} \nonumber \] Así, la tasa de transferencia de calor fuera de la resistencia es\(0.405 \mathrm{~W}\).

(b) Para encontrar la tasa de generación de entropía utilizaremos el mismo sistema anterior y aplicaremos la ecuación contable de entropía:

\[ \underbrace{ \cancel{\frac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{b, \ j}} + \underbrace{ \cancel{\sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} s_{e}}^{=0} }_{\text{Closed system}} + \dot{S}_{\text{gen}} \quad \rightarrow \quad 0 = \frac{\dot{Q}_{\text{in}}}{T_{\text{surface}}} + \dot{S}_{\text{gen}} \quad \rightarrow \quad \underbrace{ -\frac{\dot{Q}_{\text{in}}}{T_{\text{surface}}} }_{\begin{array}{c} \text{Heat transfer of entropy} \\ out \text{ of the system} \end{array}} = \dot{S}_{\text{gen}} \nonumber \]

Esto dice que la tasa de transferencia de entropía fuera del sistema con transferencia de calor es igual a la tasa de generación de entropía dentro del sistema. Observe que a pesar de que nuestra suposición original para la dirección de la tasa de transferencia de calor era incorrecta, seguimos usando los mismos supuestos para aplicar el balance de entropía. (Cambiar signos y direcciones en medio de un problema es una fuente frecuente de errores en la resolución de problemas).

Para resolver la tasa de generación de entropía necesitamos encontrar la temperatura superficial de la resistencia\(T_{b}\), porque el límite del sistema coincide con la superficie de la resistencia. Para ello podemos hacer uso de la relación de transferencia de calor por convección de la siguiente manera:\[\begin{aligned} &\dot{Q}_{\text {in}} = h \cdot A \cdot \left(T_{\infty}-T_{\text {surface}}\right) \quad \rightarrow \quad T_{\text {surface}}-T_{\infty} = \frac{-\dot{Q}_{\text {in}}}{h \cdot A} = \frac{-(-0.405 \mathrm{~W})}{\left(10 \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)\left(2.5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}\right)} = 162^{\circ} \mathrm{C} \\[4pt] &T_{\text {surface}} = \left(T_{\text {surface}}-T_{\infty}\right)+T_{\infty} \quad \rightarrow \quad T_{\text {surface}} = 162^{\circ} \mathrm{C} + 25^{\circ} \mathrm{C} = 187^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned} \nonumber \] Desde un punto de vista práctico, esta temperatura superficial es inaceptablemente alta. Sin embargo, sí demuestra un problema significativo en la miniaturización de componentes electrónicos, manteniendo temperaturas de operación aceptables.

Ahora que conocemos la temperatura de la superficie, podemos calcular la tasa de generación de entropía para la resistencia:\[\left. \dot{S}_{\text{gen}}\right|_{\text {Resistor}} = \frac{-\dot{Q}_{\text {in}}}{T_{\text {surface}}} = \frac{-(-0.405 \mathrm{~W})}{(187+273) \mathrm{K}} = \frac{0.405 \mathrm{~W}}{460 \mathrm{~K}} = 0.880 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \nonumber \] Esta es la tasa de producción de entropía dentro de la resistencia y es el resultado directo de la conversión irreversible de la energía eléctrica en energía térmica. Para las resistencias, esto a veces se conoce como calentamiento Joule. Obsérvese que el valor de temperatura superficial se convirtió a la escala de temperatura Kelvin, una escala de temperatura termodinámica, antes de que se utilizara para calcular la tasa de transferencia de entropía con transferencia de calor. Si hubiéramos usado la temperatura en grados Celsius, ¡habríamos obtenido un valor diferente e incorrecto para la tasa de transferencia de entropía!

(c) Para resolver la tasa de generación de entropía del sistema ampliado que incluye la capa límite necesitamos redefinir nuestro sistema. (Ver la figura a continuación.) Si aplicamos conservación de energía a este sistema, encontramos el mismo resultado que encontramos solo para la resistencia:\(-\dot{Q}_{\text{in}} = \dot{W}_{\text {electric, in}}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Sistema cerrado que consiste en la resistencia y su capa límite circundante.

La ecuación contable de entropía también se verá igual con una excepción significativa: la temperatura límite a la que se produce la transferencia de calor. Para el sistema ampliado, la tasa de generación de entropía para este sistema ampliado es la siguiente:\[\left.\dot{S}_{\text{gen}}\right|_{\begin{array}{l} \text {Resistor}+ \\ \text{Boundary Layer} \end{array}} = \frac{-\dot{Q}_{\text {in}}}{T_{\infty}} = \frac{-(-0.405 \mathrm{~W})}{(25+273) \mathrm{K}} = \frac{0.405 \mathrm{~W}}{298 \mathrm{~K}} = 1.359 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \nonumber \] donde se tomó la temperatura límite como la temperatura del aire ambiente. Observe que, como cabría esperar, la tasa de producción de entropía para el sistema ampliado es mayor que la tasa de producción de entropía solo para la resistencia.

Comentario:

A pesar de que hemos respondido a todas las preguntas, este es un problema tan rico y ya hemos invertido tiempo para comenzar así que veamos qué más podemos aprender.

¿Podemos explicar con precisión de dónde viene la producción de entropía adicional? ¡SÍ!

Considera la capa límite de convección como un sistema por sí mismo. Observe que los cables que transportan la energía eléctrica a la resistencia pasan a través de este sistema sin transferencia neta de energía eléctrica; sin embargo, hay dos transferencias de calor. En la superficie interna de la capa límite, el sistema intercambia energía por transferencia de calor\(\dot{Q}_{\text {in, surface}}\) con la resistencia en\(T_{\text {surface}}\), y en la superficie exterior de la capa límite, el sistema intercambia energía por transferencia de calor\(\dot{Q}_{\text {out, } \infty}\) con el entorno en \(T_{\infty}\).

Figura\(\PageIndex{5}\): Sistema que consiste únicamente en la capa límite de convección.

Ahora bien, si escribimos la conservación de energía y la ecuación contable de entropía para este sistema cerrado tenemos

\[ \begin{aligned} & \underbrace{ \cancel{\frac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{Q}_{\text{in, surface}} - \dot{Q}_{\text{out, } \infty} \quad &\rightarrow \quad \dot{Q}_{\text{out, } \infty} = \dot{Q}_{\text{in, surface}} \\ & \underbrace{ \cancel{\frac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \frac{\dot{Q}_{\text{in, surface}}}{T_{\text{surface}}} - \frac{\dot{Q}_{\text{out, } \infty}}{T_{\infty}} + \dot{S}_{\text{gen}} &\rightarrow \quad \frac{\dot{Q}_{\text{out, } \infty}}{T_{\infty}} = \frac{\dot{Q}_{\text{in, surface}}}{T_{\text{surface}}} + \dot{S}_{\text{gen}} \end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que a partir del balance de entropía, la transferencia de calor de la entropía fuera del sistema no puede ser menor que la transferencia de calor de la entropía al sistema y aumenta por la producción de entropía en el sistema.

La combinación de estos resultados nos da la tasa de producción de entropía para la capa límite:

\[\begin{aligned} \left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\begin{array}{l} \text {Boundary} \\ \text{Layer} \end{array}} &= \frac{\dot{Q}_{\text {out, } \infty}}{T_{\infty}}-\frac{\dot{Q}_{\text {in, surface}}}{T_{\text {surface}}} \\ &=\dot{Q}_{\text {in, surface}}\left[\frac{1}{T_{\infty}}-\frac{1}{T_{\text {surface}}}\right] = (0.405 \mathrm{~W}) \left[\frac{1}{298 \mathrm{~K}}-\frac{1}{460 \mathrm{~K}}\right] = 0.479 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \end{aligned} \nonumber \]

Observe que esta producción de entropía es el resultado de una transferencia de calor en estado estacionario a través de una capa de aire con una diferencia de temperatura finita. (Recordemos que la transferencia de calor a través de una diferencia finita estaba en la lista de efectos disipativos). También observe que las tres tasas de producción de entropía tienen una relación bien definida:\[\underbrace{ \left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\begin{array}{l} \text {Resistor}+ \\ \text {Boundary Layer} \end{array}} }_{= 1.359 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} } = \underbrace{\left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\text {Resistor}}}_{=0.880 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}} + \underbrace{\left.\dot{S}_{\text {gen}}\right|_{\text {Boundary Layer}}}_{=0.479 \times 10^{-3} \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}} \nonumber \] porque el sistema ampliado es solo la suma de los dos subsistemas. Tenga en cuenta que la entropía no se puede generar en el límite de un sistema, ya que un límite es una superficie infinitesimalmente delgada sin masa.

¿Sería posible invertir la dirección de la transferencia de calor de energía para la resistencia y obtener energía eléctrica de esta resistencia caliente? ¡NO!

Entonces, ¿por qué no? Comencemos revisando nuestro sistema original que consistía únicamente en la resistencia e invertimos la dirección de la tasa de transferencia de calor y la energía eléctrica.

Figura\(\PageIndex{6}\): Sistema de la Figura\(\PageIndex{3}\) con la dirección de la energía eléctrica invertida.

Nuevamente podemos aplicar la contabilidad de conservación de energía y entropía para dar los siguientes resultados:

\[ \left. \begin{array}{ll} & \underbrace{ \cancel{\dfrac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{Q}_{\text{in}} - \dot{W}_{\text{electric, out}} \quad &\rightarrow \quad \dot{W}_{\text{electric, out}} = \dot{Q}_{\text{in}} \\ & \underbrace{ \cancel{\dfrac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dfrac{\dot{Q}_{\text{in}}}{T_{\text{surface}}} + \dot{S}_{\text{gen}} & \rightarrow \quad \dot{Q}_{\text{in}} = -\left( T_{\text{surface}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}} \right) \end{array} \right| \quad \rightarrow \quad \dot{W}_{\text{electric, out}} = - \underbrace{\left(T_{\text{surface}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\right)}_{\begin{array}{c} T_{\text{surface}} > 0 \\ \dot{S}_{\text{gen}} \geq 0 \end{array}} \leq 0 \nonumber \]

Por lo tanto, la potencia eléctrica máxima que sale de esta resistencia no es ninguna potencia. [Entonces supongo que hay que darle a ese chico en la feria de ciencias de la Sección 8.1.1 el premio al mejor engaño.]

Seguramente con la tecnología moderna podemos construir un dispositivo de estado estacionario que recibe energía por transferencia de calor a una sola temperatura\(\mathbf{T}_{\mathbf{b}}\) y convierte completamente esa energía en una transferencia de trabajo de energía fuera del sistema. ¡NO!

Guau, esto parece una restricción bastante fuerte. ¿Estás seguro? Revisar el desarrollo anterior. Aunque nuestro diagrama del sistema está etiquetado como una resistencia con salida de energía eléctrica, podríamos reescribirlo fácilmente para cualquier sistema de estado estacionario y para la salida de energía neta. La única otra restricción es que tenemos una transferencia neta de calor al sistema y que toda la transferencia de calor ocurre a una sola temperatura límite. Bajo estas condiciones obtenemos el mismo resultado.

Figura\(\PageIndex{7}\): Estructura básica de un ciclo de potencia.

Recuerden la Declaración de Kelvin-Planck en la Sección 8.1.1 que decía que era imposible tener un ciclo de energía que sea\(100 \%\) eficiente. Si tuviéramos un dispositivo de estado estacionario, como un ciclo de energía de ciclo cerrado y de estado estacionario que recibiera una transferencia de calor de energía\(\dot{Q}_{H, \text { in}}\) a una sola temperatura\(T_{\mathrm{H}}\) y la convirtiera todo en un trabajo neto fuera del sistema\(\dot{W}_{\text {net, out}}\), su térmica la eficiencia sería\(\eta=\dot{W}_{\text {net, out}} / \dot{Q}_{H, \text { in}}=100 \%\). ¡Pero solo demostramos que esto era imposible! Entonces supongo que Kelvin y Planck tenían razón. Si crees que la clave está en si hay alguna transferencia de calor fuera del sistema, tienes razón. (Investigaremos esto más adelante, o puede perseguirlo por su cuenta ahora tratando de determinar la tasa mínima de transferencia de calor de un sistema cuando las dos temperaturas límite y la tasa de transferencia de calor al sistema sean fijas).

Entonces, ¿qué hemos aprendido aquí?

En primer lugar, parece que el trabajo y la transferencia de calor, si bien ambos son mecanismos de transferencia de energía, no son intercambiables. Claramente podemos construir un dispositivo de estado estacionario que convierta completamente el trabajo en transferencia de calor a una sola temperatura, pero hacer lo contrario es imposible.

En segundo lugar, hemos visto cómo algunas aplicaciones bastante sencillas de la ecuación contable de entropía han demostrado que toda una clase de dispositivos es imposible. Si se nos da información suficiente para evaluar la producción de entropía, entonces podemos determinar si un determinado proceso es posible, internamente reversible o imposible. Si no tenemos suficiente información para calcular la producción de entropía, aún podemos usar la ecuación de contabilidad de entropía y la restricción en la producción de entropía para determinar un rango de soluciones físicamente posibles. Como veremos en breve, la ecuación contable de entropía también nos ayudará a determinar el teóricamente “mejor” rendimiento posible de un dispositivo.

Ejemplo — Entropía y el motor “perfecto”

Un motor eléctrico que opera en estado estacionario consume una corriente de 10 amperios con un voltaje de 220 voltios. El factor de potencia es uno. El eje de salida gira\(1800 \mathrm{RPM} =188.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\) con un par de torsión\(10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\) aplicado a la carga externa. La transferencia de calor del motor se produce por convección a los alrededores. El coeficiente de transferencia de calor por convección\(h_{\text{conv}}\),, es\(20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K}\right)\) y la superficie del motor es\(A=0.300 \mathrm{~m}^{2}\).

Determinar

(a) la tasa de producción de entropía para el motor, en\(\mathrm{W} / \mathrm{K}\), y

(b) la potencia máxima teóricamente posible de salida de eje para este dispositivo, es decir, ¿cuál es el mejor rendimiento posible?

Solución

Conocido: Un motor opera en condiciones de estado estacionario.

Encuentre: (a) La tasa de transferencia de calor desde el motor, en\(\mathrm{W}\).

b) La tasa de producción de entropía para el motor, en\(\mathrm{W} / \mathrm{K}\).

(c) La potencia máxima teóricamente posible de salida de eje para este dispositivo, en\(\mathrm{W}\).

Dado:

Información del Eje

\(\tau=10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\)

\(\omega=188.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\)

Información Eléctrica

\(\Delta \mathrm{V}_{\text {effective}}=220 \mathrm{~volts}\)

\(\mathrm{i}_{\text {effective}}=10 \mathrm{~amps}\)

Factor de potencia = 1

Funcionamiento en estado estacionario

\(\mathrm{h}_{\text {conv }}=20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)

Figura\(\PageIndex{8}\): Sistema que consiste únicamente en el motor.

Análisis:

Estrategia El\(\rightarrow\) cálculo de la transferencia de calor puede requerir la conservación de energía y/o la ecuación de transferencia de calor por convección. El cálculo de la tasa de producción de entropía siempre requiere el balance de entropía

Sistema\(\rightarrow\) Tome solo el motor como un sistema cerrado y no deformante.

Propiedad para contar\(\rightarrow\) Entropía y energía

Intervalo de tiempo Comportamiento en\(\rightarrow\) estado estacionario según la declaración del problema.

(a) Para iniciar el análisis nos referimos al sistema cerrado que contiene el motor mostrado en la figura anterior por la línea discontinua. Escribiendo el balance energético para este sistema cerrado para encontrar la tasa de transferencia de calor, tenemos lo siguiente:\[\underbrace{ \cancel{\frac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{W}_{\text {shaft, out}} - \dot{Q}_{\text {out}} \quad \rightarrow \quad \dot{Q}_{\text {out}}=\dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{W}_{\text {shaft, out}} \nonumber \]

Para ir más allá requiere que hagamos uso de las ecuaciones definitorias para la potencia eléctrica y del eje:\[\begin{gathered} \dot{W}_{\text {electric, in}} = i_{\text {effective}} \cdot \Delta V_{\text {effective}} \cdot \left(\begin{array}{c} \text {Power} \\ \text {Factor} \end{array}\right) = (10 \mathrm{~A}) \cdot (220 \mathrm{~V}) \cdot(1) = 2200 \mathrm{~W} \\ \dot{\mathrm{W}}_{\text {shaft, out}} = \tau \cdot \omega = (10 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}) \cdot \left(188.5 \ \dfrac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right) = 1885 \mathrm{~W} \end{gathered} \nonumber \] Sustituir esto de nuevo en el balance de energía da la tasa de transferencia de calor de la siguiente manera:\[\dot{Q}_{\text {out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{W}_{\text {shaft, out}} = (2200-1885) \mathrm{W}=315 \mathrm{~W} \nonumber \] Así, la tasa de transferencia de calor fuera del sistema es\(315 \mathrm{~W}\), o \(14.32 \%\)de la entrada de energía eléctrica. (Si hubiéramos comenzado a resolver la tasa de transferencia de calor escribiendo primero la relación de transferencia de calor por convección, nos habríamos dado cuenta rápidamente de que la temperatura del motor era desconocida. Al requerir otra ecuación, entonces habríamos recurrido a la conservación de la energía.)

(b) Ahora para encontrar la tasa de producción de entropía, utilizamos el mismo sistema cerrado pero escribimos la ecuación contable de entropía:\[\underbrace{ \cancel{\frac{d S_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\text{Steady-state}} = -\frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} + \dot{S}_{\text{gen}} \quad \rightarrow \quad \dot{S}_{\text {gen}} = \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} \nonumber \]

Para proceder, necesitamos encontrar la temperatura de la superficie del motor. Haremos esto usando la relación de transferencia de calor por convección de la siguiente manera:\[\begin{gathered} \dot{Q}_{\text {out}} = h_{\text {conv}} \cdot A \cdot\left(T_{\text {motor}}-T_{\text {air}}\right) \quad \rightarrow \quad T_{\text {motor}} = \frac{Q_{\text {out}}}{\left(h_{\text {conv}} \cdot A \right)} + T_{\text {air}} \\ T_{\text {motor}}=\frac{(315 \mathrm{~W})}{\left(20 \ \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right) \cdot \left(0.300 \mathrm{~m}^{2}\right)} + 20^{\circ} \mathrm{C} = 52.5^{\circ} \mathrm{C} + 20^{\circ} \mathrm{C} = 72.5^{\circ} \mathrm{C} \end{gathered} \nonumber \] Ahora para calcular la tasa de producción de entropía, tenemos lo siguiente:\[\dot{S}_{\text{gen}} = \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} = \frac{315 \mathrm{~W}}{(72.5+273) \ \mathrm{K}} = \ \frac{315 \mathrm{~W}}{345.5 \mathrm{~K}} = 0.912 \ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}} \nonumber \]

(c) La pregunta final nos pide considerar la potencia máxima de salida del eje que teóricamente es posible bajo las condiciones de operación especificadas, estado estacionario, operación adiabática. Con base en tu experiencia personal, podrías concluir que la salida máxima del eje se produciría cuando la tasa de transferencia de calor llega a cero. Pero, ¿qué hace que esto sea el máximo valor posible? ¿Por qué no pudo transferir energía al sistema por transferencia de calor, es decir\(\dot{Q}_{\text {out}} < 0\), y aumentar la potencia del eje del motor?

Para encontrar la respuesta a esta pregunta haremos uso tanto de la conservación de energía como de las ecuaciones contables de entropía desarrolladas previamente:\[\dot{W}_{\text {shaft, out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \dot{Q}_{\text {out}} \quad \text { and } \quad \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{T_{\text {motor}}} = \dot{S}_{\text{gen}} \nonumber \] Supondremos que solo la entrada de energía eléctrica es fija. Entonces parece que la salida de potencia del eje solo depende de la tasa de transferencia de calor, y a su vez depende de la tasa de producción de entropía. El único de estos términos del que podemos decir algo es la tasa de producción de entropía. Por lo que nuestro objetivo debería ser relacionar la salida de potencia del eje con la tasa de producción de entropía.

Para ello, combinamos estas dos ecuaciones eliminando la tasa de transferencia de calor de la siguiente manera:\[\dot{W}_{\text {shaft, out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \underbrace{\dot{Q}_{\text {out}}}_{=T_{\text {motor}} \cdot \dot{S}_{\text {gen}}} = \dot{W}_{\text {electric, in}} - \underbrace{\left(T_{\text {motor}} \cdot \dot{S}_{\text {gen}}\right)}_{\begin{array}{c} T_{\text {motor}}>0 \\ \dot{S}_{\text{gen}} \geq 0 \end{array}} \quad \rightarrow \quad \dot{W}_{\text {shaft, out }} \leq \dot{W}_{\text {electric, in}} \nonumber \] Así, la salida de potencia del eje siempre será menor o igual a la entrada de energía eléctrica. (Esto demuestra que aquellos de ustedes que querían incendiar y\(\dot{Q}_{\text {out}}<0\) hacer aumentar la potencia de salida del eje no tienen suerte).

Comentario:

¿Por qué un motor perfecto, uno con\(\dot{W}_{\text {shaft, out}} = \dot{W}_{\text {electric, in}}\), violar la prohibición de Kelvin-Planck contra un ciclo de energía 100% eficiente?

La prohibición de Kelvin-Planck solo se aplica a la conversión en estado estacionario de una transferencia de calor de energía completamente en una transferencia de energía de trabajo. Para el motor no hay transferencia de calor de energía al sistema.

Sigo confundida. ¿Qué es exactamente la producción de entropía?

La ecuación nos\(\PageIndex{2}\) da una idea adicional sobre el significado de la producción de entropía. Para este motor que opera bajo las condiciones especificadas, la potencia máxima teóricamente posible del eje del sistema es igual a la energía eléctrica en el sistema. Usando esto, podemos reescribir la Eq. \(\PageIndex{2}\)de la siguiente manera:

\[ \left. \begin{array}{c} \left. \dot{W}_{\text{shaft, out}} \right|_{\text{actual}} = \dot{W}_{\text{electric, in}} - \left(T_{\text{motor}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\right) \\ \dot{W}_{\text{shaft, out}} \left|_{\begin{array}{l} \text{max} \\ \text{possible} \end{array}} \right. \equiv \ \dot{W}_{\text{electric, in}} \end{array} \right| \quad \rightarrow \quad \left. \dot{W}_{\text{shaft, out}} \right|_{\text{actual}} = \dot{W}_{\text{shaft, out}} \left|_{\begin{array}{l} \text{max} \\ \text{possible} \end{array}} \right. - \left(T_{\text{motor}} \cdot \dot{S}_{\text{gen}}\right) \nonumber \]

Ahora resolviendo para la tasa de producción de entropía dentro del motor, tenemos la siguiente relación:\[\left.\dot{S}_{\text{gen}}\right|_{\text {motor}} = \frac{\left[ \dot{W}_{\text{shaft, out}} \left|_{\begin{array}{l} \text{max} \\ \text{possible} \end{array}} \right. - \left. \dot{W}_{\text{shaft, out}} \right|_{\text{actual}} \right]}{T_{\text {motor}}} \geq 0 \nonumber \] Ahora bien, ¿qué nos dice esto sobre la producción de entropía?

• Primero, la tasa de producción de entropía es una medida de hasta qué punto un proceso se desvía del comportamiento ideal.
• Segundo, el comportamiento ideal corresponde a una tasa de producción de entropía de cero y esto solo puede ocurrir para un proceso internamente reversible.
• En tercer lugar, cuando se ve como la diferencia entre la salida de potencia máxima posible y la salida de potencia real, la producción de entropía es también una medida de la pérdida irreversible del potencial para hacer el trabajo.

Para comprender este último punto, piense en el flujo de energía a través del motor. Inicialmente, la energía ingresa al motor como trabajo eléctrico y sale del sistema como trabajo de eje y transferencia de calor. La experiencia ha demostrado que una transferencia de energía de trabajo es claramente más valiosa que una transferencia de calor igual de energía. ¿Por qué? Porque podemos hacer cualquier cosa con una transferencia de energía de trabajo, incluida la conducción de un generador de CC ideal que convierte la energía del eje nuevamente en energía eléctrica y el suministro de energía eléctrica a una resistencia eléctrica que convierte el trabajo eléctrico nuevamente en una transferencia de calor de energía. Sin embargo, como se mostrará en el siguiente ejemplo, es imposible convertir toda la transferencia de calor del motor (o cualquier otro sistema) completamente en una transferencia de trabajo de energía.

Ejercicio — ¿El trabajo es más valioso que la transferencia de calor? ¡No lo creo!

Para investigar el “valor” relativo de las transferencias de trabajo de energía y las transferencias de calor de energía, considere dos sistemas cerrados de estado estacionario que se muestran en los diagramas:

• Un “convertidor de trabajo” que recibe una transferencia de energía de trabajo y luego la “convierte” en una transferencia de trabajo y una transferencia de calor de energía fuera del sistema. La transferencia de calor se produce por transferencia de calor por convección entre el convertidor de trabajo\(T_{\text {surface}}\) y los alrededores a temperatura\(T_{\mathrm{o}}\).
• Un “convertidor de calor” que recibe y rechaza energía por transferencia de calor a temperaturas límite\(T_{\text {surface}}\) y\(T_{\mathrm{o}}\), respectivamente, y tiene una producción neta de trabajo.

Figura\(\PageIndex{9}\): Estructura de un convertidor de trabajo y un convertidor de calor.

Responde las siguientes preguntas:

(a) A partir de las ecuaciones contables de conservación de energía y entropía que se muestran a continuación, desarrollar una expresión para la salida de energía del convertidor de trabajo en función de la temperatura superficial, la tasa de generación de entropía y la entrada de energía, i.e.\(\dot{W}_{\text {WC, out}} = f\left(T_{\text {surface}}, \ \dot{S}_{gen, \text{ WC}}, \ \dot{W}_{\text {in}}\right)\)

\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{W}_{\text{in}} - \dot{W}_{\text{WC, out}} - \dot{Q}_{\text {surface}} \quad\quad\quad \frac{d S_{sys}}{dt} = -\frac{\dot{Q}_{\text {surface}}}{T_{\text {surface}}} + \dot{S}_{gen, \text{ WC}} \nonumber \]

Responder

\( \dot{W}_{\mathrm{WC}, \text { out }}=\dot{W}_{i n}-\left(T_{\text {surface }} \cdot \dot{S}_{g e n, \mathrm{WC}}\right) \)

(b) ¿Qué fracción de la entrada de energía al convertidor de trabajo se puede devolver en teoría al entorno como salida de energía del convertidor de trabajo, es decir, cuál es el valor máximo de la relación\(\dot{W}_{\text{WC, out}} / \dot{W}_{\text {in}}\)?

(c) A partir de las ecuaciones contables de conservación de energía y entropía, desarrollar una expresión para la salida de potencia del motor en función de las dos temperaturas límite, la tasa de generación de entropía, la tasa de transferencia de calor al motor, i.e.\(\dot{W}_{\text{HC, out}} = f\left(\dot{Q}_{\text {surface}}, \ T_{\text{o}}, \ T_{\text {surface}}, \ \dot{S}_{gen, \text{ HC}}\right)\)

\[\frac{d E_{sys}}{dt}=\dot{Q}_{\text{surface}} - \dot{Q}_{\text{o}} - \dot{W}_{\text{HC, out}} \quad\quad\quad \frac{d S_{sys}}{dt} = \frac{\dot{Q}_{\text{surface}}}{T_{\text{surface}}} - \frac{\dot{Q}_{\text{o}}}{T_{\text{o}}} + \dot{S}_{gen, \text{ HC}} \nonumber \]

Responder

\ (\ punto {W} _ _ {\ texto {HC, fuera}} =\ punto {Q} _ _ {\ texto {superficie}}\ izquierda [1-\ frac {T_ {\ texto {o}}} {T_ {\ texto {superficie}}\ derecha] -\ izquierda (T_ {\ texto {o}}\ cdot\ punto {S} _ _ {gen,\ texto {HC}}\ derecha)\ nonumber\]

(d) ¿Qué fracción de la entrada de transferencia de calor al convertidor de calor se puede devolver en teoría al entorno como salida de energía del convertidor de calor, es decir, cuál es el valor máximo de la relación\(\dot{W}_{\text {HC, out}} / Q_{\text {surface}}\) asumiendo que los\(T_{\text {surface}}\) y\(T_{\mathrm{o}}\) son fijos?

De las partes (b) y (d) anteriores aprendemos dos cosas:

• dada una transferencia de trabajo de energía y un convertidor de trabajo ideal (internamente reversible), podemos convertir completamente toda la transferencia de trabajo de energía en el sistema en una cantidad igual de trabajo fuera del sistema. En las peores condiciones posibles, toda la energía en el convertidor de trabajo dejaría el sistema como transferencia de calor, y
• dada una transferencia de calor de energía y un convertidor de calor ideal (internamente reversible), en el mejor de los casos solo podemos convertir una fracción de la transferencia de calor de energía en el sistema en una transferencia de trabajo de energía fuera del sistema.

Ahora consideremos qué sucede cuando la energía fluye a través de un convertidor de trabajo no ideal. La siguiente figura da una interpretación gráfica del flujo de energía a través de un convertidor de trabajo combinado con un convertidor de calor.

Figura\(\PageIndex{10}\): Flujo de energía a través de un sistema que consiste en un convertidor de trabajo y un convertidor de calor, cuya entrada es la salida de calor del convertidor de trabajo.

Con un convertidor de trabajo ideal,\(\dot{S}_{gen, \text{ WC}}=0\) y toda la transferencia de trabajo de energía al sistema deja el sistema como una transferencia de trabajo igual de energía. Con un convertidor de trabajo no ideal,\(\dot{S}_{gen, \text{ WC}}>0\) y parte de la energía sale del sistema por transferencia de calor. Para convertir esta transferencia de calor de nuevo en trabajo la alimentamos en el convertidor de calor. Incluso en las mejores condiciones, solo una fracción de la transferencia de calor de la energía que ingresa al convertidor de calor se puede convertir en una transferencia de trabajo de energía fuera del sistema.

El trabajo que podría recuperarse combinando la salida de trabajo de ambos convertidores es

\[ \begin{aligned} \dot{W}_{\text{combined}} &= \dot{W}_{\text{WC, out}} + \dot{W}_{\text{HC, out}} = \underbrace{\dot{W}_{\text{HC, out}}}_{\begin{array}{c} \text{Actual power out} \\ \text{of the work converter} \end{array}} + \underbrace{ \dot{Q}_{\text{surface}} \left[1 - \left(\frac{T_{\text{o}}}{T_{\text{surface}}}\right)\right] - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}} }_{\begin{array}{c} \text{Actual power out} \\ \text{of the heat converter} \end{array}} \\ &= \underbrace{ \left[\dot{W}_{\text{WC, out}} + \dot{Q}_{\text{surface}}\right] }_{=W_{\text{in}}} - \underbrace{ \dot{Q}_{\text{surface}} }_{= T_{\text{surface}} \dot{S}_{gen, \text{ WC}}} \cdot \left(\frac{T_{\text{o}}}{T_{\text{surface}}}\right) - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}} = \dot{W}_{\text{in}} - \left(T_{\text{surface}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}}\right) \left(\frac{T_{\text{o}}}{T_{\text{surface}}}\right) - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ HC}} \\ &= \dot{W}_{\text{in}} - T_{\text{o}} \left(\dot{S}_{gen, \text{ WC}} + \dot{S}_{gen, \text{ HC}}\right) \leq \dot{W}_{\text{in}} \end{aligned} \nonumber \]

Ahora bien, ¿cuál es el impacto de la producción de entropía en el convertidor de trabajo? Cualquier producción de entropía en el convertidor de trabajo da como resultado una transferencia de calor fuera del convertidor de trabajo. Si pudiéramos convertir toda la transferencia de calor de nuevo en trabajo, no habría ningún problema. Desafortunadamente este no es el caso. Incluso si asumimos un convertidor de calor ideal para recuperar la cantidad máxima de trabajo de la transferencia de calor, solo recuperamos parte de la transferencia de trabajo de la energía suministrada al convertidor de trabajo:\[\dot{W}_{\text {combined}}\left|_{\begin{array}{l} \text {Ideal} \\ \text {Heat Converter} \end{array}} \right. = \dot{W}_{\text {in}}-T_{\text{o}} \left(\dot{S}_{gen, \text{ WC}} + \underbrace{ \cancel{\dot{S}_{gen, \text { HC}}}^{=0} }_{\text {Ideal Heat Converter}}\right) = \dot{W}_{\text{in}} - T_{\text{o}} \dot{S}_{gen, \text{ WC}} < \dot{W}_{\text{in}} \nonumber \]

Así, cualquier producción de entropía dentro del convertidor de trabajo reducirá nuestro potencial para hacer trabajo. Esto refuerza el punto de que nos paga al menos termodinámicamente para minimizar la producción de entropía porque cada vez que se produce entropía perdemos la capacidad de hacer algún trabajo. Económicamente, este puede no ser el mejor enfoque; sin embargo, a medida que aumenta el costo de la energía hay un mayor incentivo económico para reducir la producción de entropía. La termoeconomía es la disciplina que intenta asignar el verdadero valor a diversas formas de energía. Al combinar la conservación de la energía y el principio de contabilidad de entropía, los ingenieros han desarrollado una nueva propiedad extensa llamada exergía o disponibilidad que describe el potencial de trabajo de cualquier cantidad o transferencia de energía. De esta manera, es posible fijar precios a la energía y las transferencias de energía en función de su potencial de trabajo.

Ejercicio: transferencia de calor en estado estacionario a través de una pared

La energía fluye constantemente a través de un “tapón” cilíndrico con diámetro\(D=0.5 \mathrm{~m}\) y longitud\(L=0.25 \mathrm{~m}\). La velocidad de transferencia de calor y la temperatura de la superficie en la Superficie 1 son\(500 \mathrm{~kW}\) y\(300 \mathrm{~K}\), respectivamente. La temperatura de la superficie en la Superficie 2 es\(400 \mathrm{~K}\). Asumir el comportamiento en estado estacionario.

Figura\(\PageIndex{11}\): La energía pasa por el eje de un tapón cilíndrico de acero.

(a) Determinar la velocidad de transferencia de calor en la Superficie 2, pulg\(\mathrm{W}\).

Responder

\(500 \mathrm{~kW}\)

(b) Utilizando el balance de entropía, determinar la tasa de producción de entropía dentro del tapón de acero, in\(\mathrm{W} / \mathrm{K}\).

Responder

\(0.4167 \mathrm{~kW} / \mathrm{K}\)

(c) ¿Qué pasaría con la tasa de producción de entropía ya que la diferencia de temperatura a través del tapón de acero se vuelve muy pequeña? ¿Cuál es la tasa de producción de entropía ya que la diferencia de temperatura va a cero? [Pista: Reemplazar\(T_{2}\) por la expresión\(T_{2}=T_{1}-\Delta T\). Luego examine la producción de entropía a medida que\(\Delta T\) se hace pequeña.]

d) Si las temperaturas límite permanecieran invariables, ¿sería posible que la transferencia de calor fluyera en sentido contrario? ¿Sí o no? ¿Por qué?

Ejemplo — Comportamiento de un sistema cerrado sin transferencia de energía

a) Esbozar un sistema cerrado que no tenga transferencias de energía con el entorno.

(b) Simplificar la forma de tasa de conservación de masa, conservación de energía y balance de entropía para este sistema y escribir la ecuación resultante en la columna en blanco de la tabla:

Masa	\[\frac{\mathrm{dm}_{\text {sys}}}{\mathrm{dt}} = \sum_{\text {in}} \dot{m}_{i}-\sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \nonumber \]
Energía	\[\frac{\mathrm{dE}_{\text {sys}}}{dt} = \dot{Q}_{\text {net, in}}+\dot{W}_{\text {net, in}} + \sum_{\mathrm{in}} \dot{m}_{i}\left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right)_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} \left(h+\frac{V^{2}}{2}+gz\right)_{e} \nonumber \]
Entropía	\[\frac{dS_{\mathrm{sys}}}{dt} = \sum_{j} \frac{\dot{Q}_{j}}{T_{\text{b, j}}} + \sum_{\mathrm{in}} \dot{m}_{i} s_{i} - \sum_{\text {out}} \dot{m}_{e} s_{e} + \dot{S}_{gen} \nonumber \]

(c) Ahora usando esta información, grafica la energía del sistema\(E_{\mathrm{sys}}\), la masa\(m_{\mathrm{sys}}\) del sistema y la entropía\(S_{\mathrm{sys}}\) del sistema en función del tiempo en las gráficas siguientes. (El pequeño punto en\(t=0\) en cada gráfica representa el valor inicial de\(m_{\mathrm{sys}},\) \(E_{\mathrm{sys}}\), y\(S_{\mathrm{sys}}\).)

Figura\(\PageIndex{12}\): Ejes para trazar la masa del sistema, la energía y la entropía.

¿Qué pasa por tiempos muy largos, es decir, a medida que el tiempo va al infinito? (Por ejemplo, si asumiste que el sistema finalmente alcanzó un estado estacionario, valor de equilibrio, ¿qué debe suceder\(S_{\text {sys}}\)? ¿Qué restricción coloca esto en la forma de tu curva para\(S\) vs.\(t\)?)